211
Turunan
Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut. a.
f x = 2x + 3x
2
+ x b.
f x = x
2
+ 2x + 13x
4
+ 2x
2
Penyelesaian:
a. f
x = 2x + 3x
2
+ x Cara 1
: f
x = 2x + 3x
2
+ x = 2x
3
+ 5x
2
+ 3x Oleh karena itu, f x = 6x
2
+ 10x + 3. Cara 2:
Misalkan ux = 2x + 3 maka ux = 2 dan vx = x
2
+ x maka vx = 2x + 1. Oleh karena itu,
f x = ux vx + ux vx
= 2x
2
+ x + 2x + 32x + 1 = 2x
2
+ 2x + 4x
2
+ 8x + 3 = 6x
2
+ 10x + 3 b.
f x = x
2
+ 2x + 13x
4
+ 2x
2
Cara 1 :
f x = x
2
+ 2x + 13x
4
+ 2x
2
= 3x
6
+ 2x
4
+ 6x
5
+ 4x
3
+ 3x
4
+ 2x
2
= 3x
6
+ 6x
5
+ 5x
4
+ 4x
3
+ 2x
2
Oleh karena itu, f x = 18x
5
+ 30x
4
+ 20x
3
+ 12x
2
+ 4x. Cara 2:
Misalkan ux = x
2
+ 2x + 1 maka ux = 2x + 2 dan v
x = 3x
4
+ 2x
2
maka vx = 12x
3
+ 4x. Oleh karena itu,
f x = ux vx + ux vx
= 2x + 23x
4
+ 2x
2
+ x
2
+ 2x + 112x
3
+ 4x = 6x
5
+ 6x
4
+ 4x
3
+ 4x
2
+ 12x
5
+ 24x
4
+ 12x
3
+ 4x
3
+ 8x
2
+ 4x = 18x
5
+ 30x
4
+ 20x
3
+ 12x
2
+ 4x
Contoh:
Kreativitas
Diskusi
Misalkan diberikan suatu fungsi fx = uxvxwx. Tunjukkan bahwa turunan fungsi fx adalah
f x = u xvxwx + uxv xwx + uxvxw x.
212
Mmt Aplikasi SMA 2 IPS
4. Turunan Hasil Bagi Suatu Fungsi oleh Fungsi Lain
Misalkan fx = u x
v x dengan vx
0. Dari persamaan tersebut, diperoleh ux = fx vx. Misalkan ux turunan dari
u x dan vx turunan dari vx. Dengan menggunakan rumus
turunan hasil kali fungsi, diperoleh u
x = f x vx + fx vx
f x vx = ux – fx vx
f x vx = ux –
u x v x
vx
f x vx =
v v
u x v x u x v x
v x
f x =
v v
u x v x u x v x
v x
2
Jadi, kita peroleh kesimpulan sebagai berikut. Jika fx =
u x v x
dengan vx 0, ux turunan dari ux dan
v x turunan dari vx maka berlaku
f x =
v v
u x v x u x v x
v x
2
Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut. a.
f x =
2 1
3 2
x + x +
b. f
x = x + x
x +
2 2
2 3
5
Penyelesaian
a. f
x = 2
1 3
2 x +
x + Misalkan ux = 2x + 1 dan vx = 3x + 2. Akibatnya, ux = 2 dan vx = 3. Oleh
karena itu, f
x =
v v
u x v x u x v x
v x
2
= 23 + 2 2 +13
+ 2 x
x x
3
2
Contoh:
213
Turunan
=
6 + 4 6
3 + 2
x x
x 3
2
= 1
3
2
x + 2
b. f
x = x + x
x +
2 2
2 3
5 Misalkan ux = x
2
+ 2x – 3 dan vx = x
2
+ 5. Akibatnya, ux = 2x + 2 dan vx = 2x. Oleh karena itu,
f x =
v v
u x v x u x v x
v x
2
= 2
2 5
2 3 2
5
2 2
2 2
x + x +
x + x x
x + =
2 2
10 10
2 4
6 5
3 2
3 2
2 2
x + x + x +
x x + x
x + =
2 16
10 5
2 2
2
x + x +
x +
Uji Kompetensi 4
Kerjakan di buku tugas
Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut. 1.
f x = 3x
2
+ 2x4x
3
+ 5x
2
6. f
x = 5 3
4 7
x x +
2. f
x = 6x
4
3x
3
+ 2x
2
7. f
x =
4 3
4 2
5
2 2
x x
x x
+ +
+
3. f
x = 8
2 1
x
– 4
2 3
x
3
2 3
x
– x
8. f
x =
2 1
1
2 2
x x
x +
+
4. f
x = 8 – 2x4x
2
– 6x + 1 9.
f x =
8 3 1
4 1
2 4
x x
x +
+
5. f
x = 5x
4
+ 2x6x
3
+ 2x
2
+ x – 1 10. fx =
2 5
3 5
1
4 2
2
x x
x x
x +
+ +
C. Menentukan Turunan Fungsi Komposisi dengan Aturan Rantai Pengayaan
Aturan rantai adalah suatu metode atau cara untuk menentukan
turunan fungsi komposisi atau fungsi majemuk. Untuk itu, kita mulai pembahasan ini dengan mengingat kembali pengertian fungsi kom-
posisi.
214
Mmt Aplikasi SMA 2 IPS
f g
a b
c
F = gfa
A B
C
Gambar 5.2
f g
g x = y
F
F f
g
g x + h = y + k
f y = fgx
f y + k = fgx + h
x + h x
Gambar 5.3
Pada bab sebelumnya, kalian telah mem- pelajari tentang fungsi komposisi. Jika diketahui
fungsi f: A A
B dan g: B
A C
seperti pada gambar di samping, fungsi F: A
A C
disebut fungsi komposisi
dari f dan g dengan rumus F
a = g º fa = gfa Notasi ”g º f” dibaca g bundaran f, yaitu
komposisi fungsi yang mengerjakan fungsi f lebih dahulu, kemudian dilanjutkan fungsi g.
Seperti yang telah disinggung sebelum- nya, aturan rantai dapat digunakan untuk
menentukan turunan fungsi-fungsi komposisi. Misalkan terdapat fungsi komposisi
F x = fgx seperti pada diagram di samping.
Dengan mengingat definisi turunan suatu fungsi, dapat ditentukan
F x =
lim
h
F x h
F x h
A
+ =
lim
h
f y k
f y h
A
+ =
lim
h
f y k
f y k
k h
A
+ ×
g º
f
Karena gx + h = y + k maka k = gx + h – y
k = gx + h – gx sehingga diperoleh
F x =
lim
h
f y k
f y k
g x h
g x h
A
+ ×
+ =
lim
h h
f y k
f y k
g x h
g x h
A A
+ ×
+ lim
= f y
×
gx = f gx
×
gx Jadi, berdasarkan uraian di atas, dapat kita peroleh kesimpulan sebagai
berikut. Jika Fx = fgx maka F x = f gx gx.
Dalam notasi Leibniz, jika y = fu dan u = gx maka dy
dx dy
du du
dx =
× Rumus penurunan fungsi komposisi seperti inilah yang disebut aturan
rantai .
Tes Mandiri
Kerjakan di buku tugas Turunan fungsi f x =
2 3
2 3
4
x adalah ....
a. x
x 2
3
2
4
b. 3
2 3
2
4
x x
c. 16
3 2
3
2
4
x x
d.
3x 2
3
2
4
x e.
3 2
3
2
4
x x
Soal UMPTN, Kemam- puan Dasar, 2001
