221
Turunan
b. f
x merupakan fungsi turun jika f
x 0
3x
2
+ 6x + 5 0
x
2
+ 6x + 5 0
x + 1x + 5 0
–5 x –1 Jadi, fx merupakan fungsi turun pada interval –5 x –1.
3. Nilai Stasioner
a. Pengertian Nilai Stasioner dan Titik Stasioner
Misalkan terdapat sebuah kurva dengan persamaan y
= fx dan gradien garis singgung kurva itu di titik a, f
a dapat dinyatakan sebagai turunan fungsi di x = a atau f
a. Grafik beberapa macam bentuk kurva y = fx, antara
lain terlihat seperti pada Gambar 5.8.
Gambar 5.7
---- +++
+++ -5
-1
Tes Mandiri
Kerjakan di buku tugas Fungsi fx = x
3
– 3x
2
– 9x + 5 mencapai ....
a. maksimum di 0, 5 b. maksimum di
3, –22 c. minimum di
–1, 10 d. minimum di
–3, 22 e. minimum di
3, –22
Soal SPMB, Kemam- puan Dasar, 2004
Gambar 5.8
f x
Y
O a
a
1
a
2
a
3
a
4
e d
c X
b
Pada Gambar 5.8 arah garis singgung di titik a
1
, fa
1
, a
2
, fa
2
, a
3
, fa
3
, dan a
4
, fa
4
sejajar sumbu X. Oleh karena itu, gradien garis singgungnya bernilai nol sehingga
f a
1
= 0, f a
2
= 0, f a
3
= 0 dan f a
4
= 0. Titik-titik ini disebut titik stasioner, yaitu suatu titik pada kurva di mana
gradien garis singgung kurva di titik tersebut bernilai nol. Nilai fungsi f di titik itu dinamakan nilai stasioner.
b. Jenis-Jenis Titik Stasioner
Jenis-jenis titik stasioner dapat kita tentukan dengan me-
merhatikan tanda dari f x. Perhatikan kembali Gambar 5.8. 1
Untuk x a
1
, nilai f x negatif; untuk x = a
1
, nilai f a
1
= 0; sedangkan untuk x a
1
, nilai f x positif. Karena nilai f x berubah tanda dari negatif ke nol,
kemudian ke positif, dalam garis bilangan hal ini dapat digambarkan seperti gambar di samping.
Ingat, tanda 0 di atas garis bilangan bukan menunjuk- kan nilai suatu bilangan, tetapi hanya tanda arah
Gambar 5.9
--- +++
a
1
f x
222
Mmt Aplikasi SMA 2 IPS
Gambar 5.10
--- +++
a
2
f x
+++ a
3
f x
+++
Gambar 5.11
Gambar 5.12
--- +++
a
4
f x
gradien. Pada keadaan ini, titik a
1
, fa
1
disebut titik balik minimum
, sedangkan nilai fa
1
disebut nilai balik minimum
atau harga minimum. 2
Untuk x a
2
, nilai f x positif; untuk x = a
2
, nilai f
a
2
= 0; sedangkan untuk x a
2
, nilai f x negatif. Karena nilai f x berubah tanda dari positif
ke nol, kemudian ke negatif, dalam garis bilangan hal ini dapat digambarkan seperti gambar di samping.
Pada keadaan ini, titik a
2
, fa
2
disebut titik balik maksimum
, sedangkan nilai fa
2
disebut nilai balik maksimum
atau harga maksimum. 3
Untuk x a
3
, nilai f x positif; untuk x = a
3
, nilai f
a
3
= 0; sedangkan untuk x a
3
, nilai f x juga positif. Karena nilai f x berubah tanda dari positif
ke nol, kemudian ke positif lagi, dalam garis bilangan hal ini dapat ditampilkan seperti gambar
di samping.
4 Untuk x a
4
, nilai f x negatif; untuk x = a
4
, nilai f
a
4
= 0; sedangkan untuk x a
4
, nilai f x juga negatif. Karena nilai fx berubah tanda dari
negatif ke nol, kemudian ke negatif lagi, dalam garis bilangan hal ini dapat digambarkan seperti
gambar di samping.
Pada dua keadaan yang terakhir, yaitu titik a
3
, fa
3
dan a
4
, fa
4
disebut titik belok horizontal atau sering disebut titik belok saja.
Contoh:
Diketahui fungsi fx = 2x
3
– 9x
2
+ 12x. Tentukan a.
titik stasioner; b.
jenis titik stasionernya; c.
nilai maksimum dan nilai minimum.
Penyelesaian:
Karena fx = 2x
3
– 9x
2
+ 12x maka f x = 6x
2
– 18x + 12 = 6x
2
– 3x + 2. a.
Titik stasioner syaratnya f x = 0. x
2
– 3x + 2 = 0
x – 1x – 2 = 0
x = 1 atau x = 2 Untuk x = 1 maka f1 = 21
3
– 91
2
+ 12 1 = 5, sedangkan untuk x = 2 maka
f 2 = 22
3
– 92
2
+ 122 = 4.
Jadi, terdapat dua titik stasioner, yaitu 1, 5 dan 2, 4.
Gambar 5.13
--- +++
1 f
x 2
+++
223
Turunan
b. Untuk menentukan jenis titik stasioner, dibuat garis
bilangan seperti Gambar 5.13. Dari Gambar 5.13, dapat kita simpulkan bahwa titik
1, 5 merupakan titik balik maksimum sebab f x berubah tanda dari positif ke nol, kemudian ke negatif,
sedangkan titik 2, 4 merupakan titik balik minimum sebab f x berubah tanda dari negatif ke nol, kemudian
ke positif.
c. Nilai maksimum fungsi adalah f1 = 5 dan nilai mini-
mum fungsi adalah f2 = 4.
O 1
2 X
1 4
Y
5 1, 5
2, 4 f
x = 2x
3
– 9x
2
+ 12x
Gambar 5.14
4. Nilai Maksimum dan Minimum Suatu Fungsi dalam Interval Tertutup
Pada pembahasan sebelumnya kita sudah mempelajari baik cara menentukan nilai maksimum maupun nilai minimum suatu
fungsi fx. Sekarang, jika fungsi fx terletak dalam interval tertutup, bagaimana cara menentukan nilai maksimum atau nilai
minimumnya? Untuk dapat menjawab permasalahan tersebut, perhatikan contoh berikut.
Contoh:
Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi fx = x
3
dalam interval –2 x
2.
Penyelesaian:
Grafik fungsi fx = x
3
adalah seperti di samping. Dengan memperhatikan grafik fungsi di samping, tampak
bahwa pada interval –2 x
2 nilai maksimum fungsi di atas adalah 8, yaitu untuk x = 2, sedangkan nilai minimumnya
adalah –8, yaitu untuk x = –2. Perhatikan pula bahwa nilai maksimum dalam interval
tersebut, yaitu f2 merupakan nilai fungsi pada ujung kanan interval, sedangkan nilai minimumnya, yaitu f–2,
merupakan nilai fungsi pada ujung kiri interval.
Y
X 1
O f
x = x3 8
1 2 -1
-8 -1
-2
Gambar 5.15
