160
Mmt Aplikasi SMA 2 IPS
Coba kalian perhatikan kembali contoh tersebut. Apa yang dapat kalian katakan tentang grafik fungsi f dan grafik fungsi f
–1
? Tentu kalian dapat mengatakan sebagai berikut.
Grafik fungsi f dan grafik fungsi f
–1
simetris terhadap garis y
= x.
Hal ini dapat kalian perhatikan pada Gambar 3.15 b.
Perhatikan contoh berikut.
Gambar 3.16
1 2 3 O
1 2
3 8
Y
X 4
8 f
–1
x y
= x f
x 4
Diberikan fungsi fx = 2
x
, untuk –1 x
3. Gambarlah grafik fungsi f
–1
dari grafik fungsi f.
Penyelesaian:
Terlebih dahulu digambar grafik fungsi fx = 2
x
, untuk –1
x 3. Selanjutnya, dengan ketentuan bahwa grafik
fungsi f dan grafik fungsi f
–1
simetris terhadap garis y = x dapat digambar grafik fungsi f
–1
seperti di samping. Misalkan y = fx maka
y = 2
x
log y = log 2
x
log y = x log 2
x =
log log
y 2
x =
2
log y
f
–1
y =
2
log y Jadi, f
–1
x =
2
log x.
Contoh:
Karena f
–1 –1
= f, maka fungsi invers dari f
–1
x =
2
log x adalah fx = 2
x
. Soal Terbuka
Kerjakan di buku tugas
1. Diketahui fungsi f dan g pada himpunan bilangan real
dengan fx = 3x + 1 dan gx = 5 – 6x. a.
Tentukan f
–1
, g
–1
, g
–1
º f
–1
, dan f
–1
º g
–1
. b.
Tentukan g
–1
º f
–1
5 dan f
–1
º g
–1
2. 2.
Gambarlah grafik fungsi f: R A
R R = himpunan bilangan
real yang ditentukan oleh fx = x
2
+ 2. a.
Apakah fungsi f tersebut mempunyai fungsi invers? Apa sebabnya?
b. Tentukan domain untuk f sehingga ada fungsi invers
f
–1
. c.
Tentukan invers untuk f
–1
dan gambarlah grafiknya.
161
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
1. Tentukan invers fungsi f yang terdefinisi pada bilangan real berikut.
a. f
x = 3x – 2 d.
f x =
4 2
1 x
x +
b. f
x = x – 4 e.
f x = 2
x – 3
c. f
x =
5 3 2
x
f. f
x = 5x
3 2.
Diketahui P = {x | x 0, x D
R} dan f, g, dan h adalah fungsi-fungsi pada P yang ditentukan dengan aturan fx = x + 1, gx = x, dan hx = 2x
2
. a.
Tentukan rumus untuk fungsi invers f
–1
, g
–1
, dan h
–1
. b.
Tentukan nilai f
–1
2, g
–1
5, dan h
–1
4. 3.
Fungsi f dan g pada bilangan real ditentukan dengan aturan fx = x dan gx = 2x + 3. a.
Tulislah rumus untuk fungsi invers f dan g. b.
Carilah rumus g º f, f
–1
º g
–1
, dan g º f
–1
. c.
Nyatakan hubungan antara f
–1
º g
–1
dan g º f
–1
. 4.
Diketahui fungsi f dan g pada bilangan real positif, dengan fx = x
3
– 1 dan gx = 4x – 3. Tentukan berikut ini.
a. f
–1
7 c.
f
–1
º g
–1
x b.
g
–1
9 d.
f
–1
º g
–1
3 5.
Tentukan invers fungsi f berikut, kemudian tentukan domain dan kodomain f agar f
–1
merupakan fungsi invers. a.
f x =
2 x
+ 5
d. f
x = 3
x
– 2 b.
f x =
3x +
2 4
x
e. f
x =
x
2
4
c. f
x = –
2 x x
2
f. f
x =
x 1
6. Tentukan domain dan kodomainnya agar fungsi yang dinyatakan dengan grafik
berikut ini mempunyai fungsi invers.
Gambar 3.17
a b
c 3
O 2
3 Y
X O
O 4
Y Y
X f
x f
x
9 4
2 3
X
Uji Kompetensi 3
Kerjakan di buku tugas
162
Mmt Aplikasi SMA 2 IPS
7. Gambarlah grafik fungsi f
–1
dari grafik fungsi f jika diberikan fungsi-fungsi berikut. a.
f x = 4, untuk –2
x 6
d. f
x = 2x
2
– 1, untuk 0 x
3 b.
f x = 3x – 1, untuk –1
x 8
e. f
x = 2 – x
2
, untuk 0 x
4 c.
f x = 1 – x, untuk –6
x 2
f. f
x = 3x, untuk 0 x
3 8.
Tentukan fungsi invers dari fungsi fx = log x dan gambar grafik fungsi inversnya.
D. Fungsi Invers dari Fungsi Komposisi Pengayaan
Fungsi invers dari fungsi komposisi dapat didefinisikan sebagai berikut.
Jika h merupakan fungsi komposisi dari fungsi f dan g ditulis h
= g º f, invers dari fungsi h merupakan fungsi invers dari fungsi komposisi f dan g yang ditulis h
–1
= g º f
–1
. Misalnya f dan g adalah fungsi-fungsi pada bilangan real dan g º f
adalah komposisi fungsi f dan g. Salah satu cara untuk menentukan nilai g º f
–1
adalah dengan langkah-langkah berikut. Langkah 1
: Menentukan terlebih dahulu fungsi komposisi g º f.
Langkah 2 :
Dari hasil fungsi komposisi itu, kemudian ditentukan fungsi inversnya.
Tes Mandiri
Kerjakan di buku tugas NJika f x =
x
+ 1
dan gx = x
2
– 1 maka g º f x adalah ....
a. x d. 2x – 1
b. x – 1 e. x
2
+ 1 c. x + 1
Soal UMPTN, Kemam- puan Dasar, 1997
Contoh:
Diketahui fungsi-fungsi f dan g pada bilangan real yang didefinisikan fx = 3x + 2 dan g
x = 2x. Tentukan a.
f º gx; b.
f º g
–1
x.
Penyelesaian: a.
f º gx = fgx = f2x = 32x + 2 = 6x + 2. b.
Misalkan y = f º gx
y = 6x + 2
6x = y – 2
x
= y
2 6
f º g
–1
y = y
2 6
f º g
–1
x = x
2 6
Jadi, fungsi invers dari f º gx adalah f º g
–1
x = x
2 6
.
163
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
Gambar 3.18
g
o
f f
g x
f x
g fx
f
–1
g
–1
f
–1
o
g
–1
g
o
f
–1
A B
C
1. Memahami f º g
–1
= g
–1
º f
–1
Perhatikan gambar di samping. Jika f dan g adalah fungsi-fungsi bijektif dengan
f : A
A B
dan g : B A
C maka g º f adalah
fungsi komposisi yang memetakan A ke C. Invers dari fungsi komposisi g º f atau
g º f
–1
pada gambar tersebut dapat dinyata- kan sebagai komposisi antara g
–1
dan f
–1
, yaitu f
–1
º g
–1
. Dengan demikian, diperoleh g º f
–1
x = f
–1
º g
–1
x Dengan cara yang sama, dapat kita peroleh f º g
–1
x = g
–1
º f
–1
x. Oleh karena itu, secara umum dapat kita simpulkan sebagai berikut.
Jika f
–1
dan g
–1
adalah invers dari fungsi-fungsi f dan g, berlaku g º f
–1
x = f
–1
º g
–1
x; f º g
–1
x = g
–1
º f
–1
x.
Contoh:
Diketahui fungsi f : R A
R dan g : R
A R
R = himpunan bilangan real didefinisikan oleh fx = 4x – 6 dan gx = x + 3. Tentukan fungsi berikut ini.
a. f
–1
x b.
g
–1
x c. f º g
–1
x
Penyelesaian:
Misalkan y = fx. a.
y = 4x – 6
b. y
= gx
4x = y – 6
y = x + 3
x
= y
+ 6 4
x
= y – 3
f
–1
y = y
+ 6 4
g
–1
y = y – 3 Jadi, f
–1
x = x
+ 6 4
. Jadi, g
–1
x = x – 3. c.
Cara 1: f º gx = fgx
= fx + 3 = 4x + 3 – 6
= 4x + 6
164
Mmt Aplikasi SMA 2 IPS
Misalkan y = f º gx
y = 4x + 6
4x = y – 6
x
= y
6 4
f º g
–1
y = y
6 4
f º g
–1
x = x
6 4
Cara 2: f º g
–1
x = g
–1
º f
–1
x = g
–1
f
–1
x = g
–1
x 6
4 +
£ ¤
¥ ¦
= x
+ 6 4
– 3 = x
6 4
2. Penggunaan Sifat Fungsi Komposisi
Di antara penerapan invers fungsi komposisi adalah menentukan rumus sebuah fungsi apabila diketahui sebuah fungsi lainnya dan
komposisi kedua fungsi itu. Untuk itu, kita ingat kembali sifat komposisi sebuah fungsi dengan fungsi inversnya, antara lain
f º f
–1
x = f
–1
º fx = Ix = x. Misalkan f dan g adalah fungsi pada bilangan real yang dapat
dikomposisikan dan g
–1
adalah invers dari fungsi g. Berdasarkan sifat di atas, dapat diperoleh
f x = Ifx = g
–1
º gfx = g
–1
º g º fx = g
–1
º g º fx Karena pada komposisi fungsi berlaku sifat asosiatif maka
f x = g
–1
º g º fx. Di samping itu,
f x = Ifx = fg º g
–1
x = f º g º g
–1
x = f º g º g
–1
x Karena pada komposisi fungsi berlaku sifat asosiatif maka
f x = f º g º g
–1
x. Jadi, berdasarkan uraian di atas, dapat kita simpulkan sebagai berikut.
1. Apabila diketahui gx dan g º fx maka
f x = g
–1
º g º fx. 2.
Apabila diketahui gx dan f º gx maka f
x = f º g º g
–1
x.
Tes Mandiri
Kerjakan di buku tugas Jika f º gx = 4x
2
+ 8x – 3 dan gx = 2x + 4
maka f
–1
x = .... a. x + 9
b. 2 + x
c. x
2
– 4x – 3 d. 2 +
x
+ 1
e. 2 + x
+ 7
Soal UMPTN, Kemam- puan Dasar, 2001
Tes Mandiri
Kerjakan di buku tugas Jika f x =
1 x
dan gx = 2x – 1
maka f º g
–1
x = .... a.
2 1
x x
d. 2
1 x
x +
b. x
x 2
1 e.
2 1
2
x x
c. x
x + 1
2
Soal UMPTN, Kemam- puan Dasar 1998
165
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
Diketahui fungsi f dan g terdefinisi pada bilangan real dengan gx = x + 5. Tentukan f
x jika diketahui a.
g º fx = 3x
2
+ 7x; b.
f º gx = 3x – 5.
Penyelesaian:
Agar rumus di atas dapat digunakan, kita perlu menentukan invers fungsi g, yaitu g
–1
. Misalkan gx = y.
y = x + 5
x = y – 5
g
–1
y = y – 5 Jadi, g
–1
x = x – 5.
Contoh:
Pada pembahasan fungsi komposisi, kita telah belajar cara menentukan sebuah fungsi jika fungsi komposisi dan fungsi yang
lain diketahui. Coba kerjakan kembali soal-soal di atas dengan cara yang telah kita pelajari sebelumnya. Bagaimana kesimpulan-
mu, cara mana yang lebih praktis digunakan?
Uji Kompetensi 4
Kerjakan di buku tugas
1. Fungsi f dan g terdefinisi pada R himpunan bilangan real dengan fx = 2x + 5 dan
g x = x – 2.
a. Tentukan f
–1
x dan g
–1
x. b.
Tentukan f º g
–1
x dan g º f
–1
x. c.
Tentukan f
–1
º g
–1
x dan g
–1
º f
–1
x. d.
Kesimpulan apa yang kalian peroleh? 2.
a. Jika fungsi f pada R didefinisikan oleh fx =
3x 2
3
, tentukan f
–1
x dan f
–1 –1
x? Apa kesimpulanmu? b.
Tentukan fungsi f pada R jika diketahui 1
f
–1
x = 2x – 1; 2
f
–1
x = 2 – 10x; 3
f
–1
x = 3 –
2 3
x ;
4 f
–1
x =
x x
+ 2
1
, untuk x –1.
a. f
x = g
–1
º g º fx = g
–1
g º fx = g
–1
3x
2
+ 7x = 3x
2
+ 7x + 5 b.
f x = f º g º g
–1
x = f º gg
–1
x = f º gx – 5
= 3x – 5 – 5 = 3x – 20
166
Mmt Aplikasi SMA 2 IPS
3. Jika fx =
ax b
cx d
+ +
, dengan x d
c , tentukan rumus f
–1
x. 4.
Gunakan rumus pada jawaban soal nomor 3 untuk menentukan invers fungsi-fungsi berikut.
a. f
x = x
x +
3 2
1 d.
f x =
2 3
3x x
b. f
x = 2
1 1
x x
e. f
x =
x x
+ 3
c. f
x =
x x
+ 2
3
f. f
x = 3
4 x
x 5
5. Tentukan fungsi f yang didefinisikan pada himpunan bilangan real jika diketahui
a. g
x = 3x dan g º fx = 3 – 4x; b.
g x = 2x + 1 dan f º gx = 2x + 5;
c. g
x = 5 – x dan f º gx = x
2
– 9x + 12; d.
g x = 2x + 5 dan f º gx = 8x
2
+ 40x + 54; e.
g x =
2 x
dan f º gx =
2
2
x + 4
.
Tentukan rumus fungsi f yang didefinisikan pada himpunan bilangan real sedemikian rupa sehingga
a. f
x – 2 = x – x
2
; e.
f x + 1 = x
2
+ 4x + 3; b.
f 2 – 2x = 3x – 5x
2
; f.
f x + 4 = x
2
–3x – 4; c.
f x
+ £
¤ ¥
¦ 1
2 =
2 x x
+ 3
2 ;
g. f
x – 2 = x
x +
3 8
; d.
f x
x +
£ ¤
¥ ¦
1 1
= 3
x x
; h.
f x + 3 =
x x
+ +
7 16
2
. Soal Terbuka
Kerjakan di buku tugas
Refleksi
Masih adakah materi yang belum kalian kuasai? Jika ada, diskusikan dengan
teman-teman kalian. Menurut kalian, apa- kah manfaat dari belajar fungsi komposisi
dan fungsi invers jika dikaitkan dengan kehidupan sehari-hari?
