227
Turunan
Carilah turunan kedua dari fungsi-fungsi berikut. a.
f x = 2x
5
– x
4
+ 3x
2
+ 1 b.
f x = 3x + 2
5
c. f
x =
2 1
1
2
x + x +
Penyelesaian:
a. f
x= 2x
5
– x
4
+ 3x
2
+ 1 f
x = 10x
4
– 4x
3
+ 6x f
x = 40x
3
– 12x
2
+ 6 b.
f x
= 3x + 2
5
f x = 53x + 2
4
3 = 153x + 2
4
f x = 4153x + 2
3
3 = 1803x + 2
3
c. f
x =
2 1
1
2
x + x +
Misalkan ux = 2x + 1 maka ux = 2 dan vx = x
2
+ 1 maka vx = 2x. f
x =
v v
u x v x u x v x
v x
2
= 2
1 2
1 2 1
2 2
2
x + x +
x x +
=
2 2
4 2
2 1
2 2
4 2
x + x x
x + x +
= 2
2 2
2 1
2 4
2
x x +
x + x + Selanjutnya, dari f x dapat ditentukan f x sebagai berikut.
Misalkan ux = –2x
2
– 2x + 2
u x = –4x – 2 dan
v x = x
4
+ 2x
2
+ 1
v x = 4x
3
+ 4x. f
x = v
v u x v x
u x v x v x
2
= 4
2 4
4 2
3 4
2
x x
x x
x x
x x
x 2
+ 2 +1
2 + 2 + 4
+ 2 1
2 2
= 4
5 2
4 2
x x
x x
x x
x + 6
8 + 4
12 2
+ 2 +1
4 3
2
Contoh:
2. Menentukan Nilai Stasioner Suatu Fungsi dan Penerapannya
Selain menggunakan turunan pertama, jenis-jenis titik stasioner suatu fungsi juga dapat ditentukan dengan menggunakan turunan
kedua fungsi tersebut. Untuk memahami penggunaan turunan kedua, perhatikan kembali contoh halaman 222 dan 223, yaitu
sebagai berikut.
228
Mmt Aplikasi SMA 2 IPS
a. Menentukan titik stasioner, jenis titik stasioner, serta nilai
maksimum dan minimum fungsi fx = 2x
3
– 9x
2
+ 12x halaman 222.
Dari contoh tersebut diperoleh hasil titik stasioner 1, 5 meru- pakan titik balik maksimum, titik stasioner 2, 4 merupakan
titik balik minimum. Nilai maksimum dan minimum fungsi masing-masing adalah f1 = 5 dan f2 = 4. Dengan meng-
gunakan turunan kedua dapat kita selidiki sebagai berikut. Perhatikan fungsi f x = 6x
2
– 18x + 12. Titik stasioner diperoleh jika fx = 0.
f x = 12x – 18 sehingga f 2 = 122 – 18 = 6 0 dan f
1 = 121 – 18 = –6 0. •
Jika f 2 = 0 dan f 2 0 maka 2, f2 = 2, 4 adalah titik balik minimum.
• Jika f 1 = 0 dan f 1 0 maka 1, f1 = 1, 5
adalah titik balik maksimum. b.
Menentukan nilai maksimum dan minimum fungsi fx = x
3
, –2 x 2 halaman 223. Dengan menggunakan turunan pertama, diperoleh
f x = 3x
2
0 = 3x
2
x
= 0 Titik stasionernya adalah 0, f0, yaitu 0, 0.
Titik 0, 0 merupakan titik belok horizontal. Dengan menggunakan turunan kedua, diperoleh f x = 6x.
Dengan demikian, untuk x = 0, diperoleh f 0 = 0. Jadi, jika f 0 = 0 dan f x berganti tanda maka titik
0, f0 = 0, 0 merupakan titik belok horizontal.
Oleh karena itu, misalkan terdapat suatu fungsi kontinu f dalam interval b x c yang memuat x = a, turunan pertama
dan turunan kedua fx terdefinisi pada interval tersebut. 1
Jika f a = 0 dan f a 0 maka a, fa adalah titik balik minimum.
2 Jika f a = 0 dan f a 0 maka a, fa adalah titik
balik maksimum. 3
Jika f a = 0 dan f a bergantian tanda pada sebelah kiri dan kanan titik a maka a, fa merupakan titik
belok horizontal .
Dengan demikian, untuk mendapatkan titik belok horizon- tal, selain syarat bahwa turunan kedua harus sama dengan nol,
perlu diselidiki bahwa turunan kedua itu berubah tanda dari tanda positif ke nol, kemudian ke tanda negatif atau dari tanda negatif
ke nol, kemudian ke tanda positif. Untuk lebih jelasnya, perhati- kan contoh berikut.
Gambar 5.18
f x
+ + + + + +
Gambar 5.19
– – – + + +
f x berganti tanda
229
Turunan
Tentukan titik balik maksimum, titik balik minimum, dan titik belok fungsi fx = x
4
– 8x
2
.
Penyelesaian:
Diketahui fx = x
4
– 8x
2
maka f x = 4x
3
– 16x dan f x = 12x
2
– 16. Titik stasioner terjadi jika f x = 0.
4x
3
– 16x = 0
4xx
2
– 4 = 0
x = 0 atau x = 2 atau x = –2. Untuk x = 0, nilai f0 = 0
4
– 80
2
= 0 dan f 0 = 120
2
– 16 = –16 0. Berarti, 0, 0 adalah titik balik maksimum.
Untuk x = 2, nilai f2 = 2
4
– 82
2
= –16 dan f 2 = 122
2
– 16 = 32 0. Berarti, 2, –16 adalah titik balik minimum.
Untuk x = –2, nilai f–2 = –2
4
– 8–2
2
= –16 dan f –2 = 12–2
2
– 16 = 32 0. Berarti, –2, –16 adalah titik balik minimum.
Untuk mendapatkan titik belok horizontal, syaratnya f x = 0. 12x
2
– 16 = 0
43x
2
– 4 = 0
3x
2
= 4
x
2
= 4
3
x = ±
2 3
Untuk x = 2
3 , nilai f
2 3
£ ¤
² ¥
¦ ´
= 2
3
4
£ ¤
² ¥
¦ ´
– 8 2
3
2
£ ¤
² ¥
¦ ´
= –
80 9
. Untuk x = –
2 3
, nilai f £
¤ ²
¥ ¦
´ = £
¤ ²
¥ ¦
´ = £
¤ ²
¥ ¦
´ = 2
3 2
3 8
2 3
80 9
4 2
. Selanjutnya, diselidiki beberapa nilai x berikut.
1 Untuk x
2 3
, diambil x = 0 sehingga f 0 = 120
2
– 16 = –16 0. 2
Untuk x – 2
3 , diambil x = 0 sehingga
f 0 = 120
2
– 16 = –16 0. 3
Untuk x 2
3 , diambil x = 2 sehingga
f 2 = 122
2
– 16 = 48 – 16 = 32 0. 4
Untuk x – 2
3 , diambil x = –2 sehingga
f –2 = 12–2
2
– 16 = 32 0.
Contoh:
230
Mmt Aplikasi SMA 2 IPS
1. Tentukan turunan kedua dari fungsi-fungsi berikut.
a. f
x = 4x
2
– 8x + 12 f.
f x = x + 4
2
x – 3
3
b. f
x = –8x
2
+ 5x – 15 g.
f x = 2x + 7
3
x
2
+ 2x – 1 c.
f x = –5x
3
+ 4x
2
– 15x + 20 h.
f x =
x x +
3 4
d. f
x = 4x
4
– 5x
3
+ 2x
2
– 3x + 12 i.
f x =
x x
x
2
2 3
4 +
e. f
x = x
–4
+ x
–3
– 6x
–2
+ 4x
–1
+ 6 j.
f x =
3 10
7 4
2
x x
x +
2. Tentukan titik belok dari kurva fx = x
3
. 3.
Buktikan bahwa kurva fx = x
6
tidak mempunyai titik belok. 4.
Tentukan titik balik maksimum, titik balik minimum, dan titik belok dari fungsi- fungsi berikut dengan menggunakan turunan kedua.
a. f
x =
1 3
x
3
– 4x + 2 d.
f x = x
3
– 5x
2
+ 7x b.
f x = x
3
– 3x e.
f x = x
4
– 18x
2
+ 36 c.
f x = x
3
– 3x
2
f. f
x = 6x
5
5. Tentukan nilai stasioner fungsi-fungsi di bawah ini, kemudian tentukan sifatnya.
a. f
x = 3 +
3 2
x
d. f
x = x
3
– 6x
2
+ 3x – 8 b.
f x =
1 4
2
x x
2 2
1 3
6x 7
+ +
e. f
x = x
2
– 4
2
c. f
x = 2x12 – 2x
2
f. f
x = 10x
6
6. Tunjukkan bahwa fungsi fx = 3 – x
2
tidak memiliki nilai maksimum dan minimum. Apabila digambarkan dalam garis bilangan, tampak seperti gambar berikut.
Jadi, titik beloknya adalah £
¤ ¥
¦ 2
3 80
9 ,
dan 2
3 80
9 ,
£ ¤
¥ ¦
.
+++ ---
+++ 2
3 2
3
Gambar 5.20
f x
f x
Uji Kompetensi 8
Kerjakan di buku tugas
