Pengertian Nilai Stasioner dan Titik Stasioner Jenis-Jenis Titik Stasioner

225 Turunan X O -1, 11 Y 0, 4 -2, 4 -3, -5 1, -5 Gambar 5.17 1. Tentukan interval yang menunjukkan fungsi berikut naik dan interval yang menunjuk- kan fungsi berikut turun. a. f x = x 2 – 5x + 6 d. f x = 1 4 x 4 + 1 b. f x = x 3 + 9 2 x 2 – 13 2 e. f x = x 4 + 4x c. f x = 1 3 x 3 – x 2 – 3x + 4 f. f x = 2x – 1 x 2. Tunjukkan bahwa fungsi-fungsi berikut selalu naik untuk setiap x bilangan real. a. f x = 3x 3 + 4x – 7 b. f x = x 3 + 2x – 5 c. f x = x 5 + 3x 3 + x – 12 d. f x = 1 5 x 5 + x 3 + x – 12 3. Tunjukkan bahwa fungsi-fungsi berikut selalu turun untuk setiap x bilangan real. a. f x = – 1 3 x 3 – 8x + 6 c. f x = –x 5 – 3x 3 – 15x + 7 b. f x = –x 3 – 12x + 1 d. f x = – 3 5 x 5 – 1 2 x 3 – x + 36 Dengan memerhatikan sketsa tersebut, nilai minimum fungsi fx = x 4 + 4x 3 – 2x 2 –12x + 4 pada interval –2 x 0 adalah 4, yaitu untuk x = –2 dan x = 0, sedangkan nilai maksimumnya adalah 11, yaitu untuk x = –1. Uji Kompetensi 7 Kerjakan di buku tugas 226 Mmt Aplikasi SMA 2 IPS 4. Tentukan titik stasioner, jenis titik stasioner, nilai maksimum, dan nilai minimum dari fungsi-fungsi berikut. a. f x = x 2 – 8x + 7 f. f x = x 3 – 3x 2 + 4 b. f x = –x 2 + 4x – 3 g. f x = x 3 – 9x 2 + 24x – 1 c. f x = x 2 – 2x + 3 h. f x = x 3 – 9x 2 + 15x + 2 d. f x = x 3 – 3x – 1 i. f x = x 4 – 2x 2 + 2 e. f x = x 3 – 3x 2 – 9x j. f x = 3x 4 – 4x 3 5. Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi-fungsi berikut dalam interval tertutup I. a. f x = x – 3 2 , I = [0, 5] b. f x = x 2 – 2x – 1, I = [–1, 2] c. f x = x 2 + x – 12, I = [–2, 4] d. f x = –x 3 , I = [–1, 1] e. f x = x – 3 3 + 4, I = [1, 4] f. f x = x 3 – 3x 2 + 1, I = [–1, 3] g. f x = x 3 – 12x, I = [–3, 4] h. f x = 2x 3 – 3x 2 – 12x + 8], I = [–3, 4] i. f x = x + 1 4 , I = [–2, 1] j. f x = x 4 , I = [–2, 5] 6. Penerimaan penjualan barang elekronik sebanyak x unit dinyatakan dengan P x = 60x – 0,025x 2 , untuk 0 x 2.400. Px dalam puluh ribuan. Untuk x unit berapakah penerimaan penjualan akan menurun? Berapakah penerimaan maksimum yang dicapai?

F. Turunan Kedua Suatu Fungsi

1. Pengertian Turunan Kedua

Misalkan terdapat fungsi fx yang diferensiabel dengan fungsi turunannya f x. Dalam hal ini, f x dinamakan turunan pertama dari fx. Selanjutnya, jika f x didiferensialkan, akan diperoleh fungsi baru yang disebut turunan kedua dari fx. Jika turunan pertama fungsi fx dapat dinyatakan dengan salah satu notasi f x, y, df x dx , atau dy dx , dengan cara yang sama turunan kedua fx dapat dituliskan dengan salah satu notasi f x, y, d f x dx 2 2 , atau d y dx 2 2 . Notasi d f dx 2 2 berasal dari d dx df x dx £ ¤ ¥ ¦ , sedangkan notasi d y dx 2 2 berasal dari d dx dy dx £ ¤ ¥ ¦ . 227 Turunan Carilah turunan kedua dari fungsi-fungsi berikut. a. f x = 2x 5 – x 4 + 3x 2 + 1 b. f x = 3x + 2 5 c. f x = 2 1 1 2 x + x + Penyelesaian: a. f x= 2x 5 – x 4 + 3x 2 + 1 f x = 10x 4 – 4x 3 + 6x f x = 40x 3 – 12x 2 + 6 b. f x = 3x + 2 5 f x = 53x + 2 4 3 = 153x + 2 4 f x = 4153x + 2 3 3 = 1803x + 2 3 c. f x = 2 1 1 2 x + x + Misalkan ux = 2x + 1 maka ux = 2 dan vx = x 2 + 1 maka vx = 2x. f x = v v u x v x u x v x v x 2 = 2 1 2 1 2 1 2 2 2 x + x + x x + = 2 2 4 2 2 1 2 2 4 2 x + x x x + x + = 2 2 2 2 1 2 4 2 x x + x + x + Selanjutnya, dari f x dapat ditentukan f x sebagai berikut. Misalkan ux = –2x 2 – 2x + 2 ‹ u x = –4x – 2 dan v x = x 4 + 2x 2 + 1 ‹ v x = 4x 3 + 4x. f x = v v u x v x u x v x v x 2 = 4 2 4 4 2 3 4 2 x x x x x x x x x 2 + 2 +1 2 + 2 + 4 + 2 1 2 2 = 4 5 2 4 2 x x x x x x x + 6 8 + 4 12 2 + 2 +1 4 3 2 Contoh:

2. Menentukan Nilai Stasioner Suatu Fungsi dan Penerapannya

Selain menggunakan turunan pertama, jenis-jenis titik stasioner suatu fungsi juga dapat ditentukan dengan menggunakan turunan kedua fungsi tersebut. Untuk memahami penggunaan turunan kedua, perhatikan kembali contoh halaman 222 dan 223, yaitu sebagai berikut.