Pengertian Invers Suatu Fungsi

157 Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers 1. Diketahui fungsi f ditentukan dengan rumus fx = 2 x + 1 . a. Carilah rumus f –1 x. b. Tentukan domain dan kodomain fungsi f agar fx mempunyai fungsi invers. Penyelesaian: a. Misalkan y = fx ‹ y = 2 x + 1 ‹ xy + y = 2 ‹ xy = 2 – y ‹ x = 2 y y ‹ f –1 y = 2 y y Jadi, invers fungsi fx = 2 x + 1 adalah f –1 x = 2 x x . b. 1 Dengan memerhatikan definisi sebuah fungsi maka domain dari fungsi f x = 2 x + 1 adalah semua bilangan real yang membuat penyebutnya tidak nol atau x + 1 0. Jadi, domain fx = 2 x + 1 adalah x –1 untuk x D R. R = himpunan bilangan real. 2 Dari jawaban a, diperoleh f –1 x = 2 x x sehingga domain f –1 x adalah semua bilangan real yang membuat penyebutnya tidak bernilai nol atau D f –1 = {x | x 0, x D R}. Selanjutnya, karena domain dari f –1 adalah kodomain dari f, maka agar mempunyai fungsi invers, kodomain fungsi f adalah semua x bilangan real dengan x 0. 3 Jadi, domain f adalah D f = {x | x –1, x D R} dan kodomain f adalah K f = {x | x 0, x D R}. 2. Diketahui fx = x 2 + 1. a. Tentukan domain dari fungsi f agar fungsi fx mempunyai fungsi invers. b. Tentukan rumus f –1 x. Penyelesaian: a. Domain alami fungsi fx = x 2 + 1 adalah D f = {x | x D R}. Fungsi f bukan fungsi bijektif karena terdapat nilai x yang berbeda mempunyai peta yang sama seperti terlihat pada Gambar 3.11. Misalkan untuk x = 1 dan x = –1, nilai f1 = 2 dan f–1 = 2. Contoh: 158 Mmt Aplikasi SMA 2 IPS Gambar 3.12 b Fungsi f x = x 2 + 1 D f = {x | x 0, x D R} 1 2 3 -3 -2 -1 O -1 1 2 4 3 5 Y X 6 a Karena fx = x 2 + 1 bukan fungsi bijektif maka fx tidak mempunyai fungsi invers. Fungsi fx dapat diusahakan mempunyai fungsi invers dengan cara membatasi domain alaminya. Misalkan domain alaminya dipecah menjadi dua bagian seperti pada Gambar 3.12 sehingga fx masing-masing adalah fungsi bijektif. Fungsi f x = x 2 + 1 D f = {x | x 0, x D R} 1 2 3 -3 -2 -1 O -1 1 2 4 3 5 Y X 6 b. Misalkan y = fx. y = x 2 + 1 ‹ x 2 = y – 1 ‹ x = y 1 atau x = – y 1 ‹ f –1 y = y 1 atau f –1 y = – y 1 1 Untuk D f = {x | x 0, x D R}, dipilih tanda negatif. Oleh karena itu, f –1 y = – y 1 . Jadi, rumus fungsi invers dari f adalah f –1 x = – x 1 . 2 Untuk D f = {x | x 0, x D R}, dipilih tanda positif. Oleh karena itu, f –1 y = y 1 . Jadi, rumus fungsi invers dari fx adalah f –1 x = x 1 . Adapun grafik fungsi tersebut tampak pada Gambar 3.13. Gambar 3.11 1 2 3 -3 -2 -1 O -1 1 2 4 3 5 Y X Y X O 1 2 3 4 5 1 2 3 Gambar 3.13 Y X O 1 2 3 4 5 1 -1 -2 a b f –1 x = x 1 f –1 x = x 1