217
Turunan
y = fx
a+h X
a f
a + h
f a
O P
Y
Q
R g
h
Gambar 5.4
Jika Q mendekati P dalam hal ini h mendekati 0, maka garis g menjadi garis
singgung kurva y = fx di titik P. Garis singgung di titik P ini
merupakan garis singgung kurva y = fx di titik dengan absis x = a. Oleh karena
itu, gradien garis singgung kurva y = fx di titik ini adalah turunan dari fungsi
y
= fx di x = a, yaitu f
a =
lim
h
f a h
f a h
A
+
. Dengan demikian, gradien garis singgung pada kurva y = fx di
titik Pa, fa adalah m
= f a = lim
h
f a + h f a
h
A
Dengan notasi Leibniz, nilai gradien kurva y = fx di x = a seperti di atas dapat ditulis
m =
df dx
x a
£ ¤
¥ ¦
=
dibaca ”m sama dengan turunan fungsi f ke x untuk x = a”.
2. Persamaan Garis Singgung pada Kurva
Jika titik Px
1
, y
1
terletak pada kurva y = fx, persamaan garis singgung kurva yang melalui titik Px
1
, y
1
adalah y
– y
1
= mx – x
1
dengan m adalah gradien garis singgung kurva y = fx di x = x
1
. Nilai m dapat ditentukan menggunakan rumus turunan fungsi, yaitu
m = f x
1
Tes Mandiri
Kerjakan di buku tugas Persamaan garis yang
menyinggung kurva y = 2x
3
– 4x + 3 di titik yang berbasis –1 ada-
lah .... a. y = 2x + 3
b. y = 2x + 7 c. y = –2x + 3
d. y = –2x – 1 e. y = –2x – 2
Soal UMPTN, Kemam- puan Dasar, 1998
Contoh:
Tentukan gradien dan persamaan garis singgung kurva y = 2x
2
– 3 di titik 1, –1.
Penyelesaian:
Karena y = 2x
2
– 3 maka
dy dx
= 4x. Gradien garis singgung di titik 1, –1 adalah m =
dy dx
x
£ ¤
¥ ¦
= 1
= 41 = 4. Jadi, persamaan garis singgung pada parabola y = 2x
2
– 3 di titik 1, –1 adalah y
+ 1 = 4x – 1
y = 4x – 5.
218
Mmt Aplikasi SMA 2 IPS
Garis singgung kurva y = x
2
+ 8x + 1 di titik P sejajar dengan garis 4x + 2y + 1 = 0. Tentukan koordinat titik P dan persamaan garis singgung kurva yang melalui titik P.
Penyelesaian:
Misalkan koordinat titik P adalah a, b. Persamaan kurvanya y = x
2
+ 8x + 1, berarti
dy dx
= 2x + 8. Gradien garis singgung kurva y = x
2
+ 8x + 1 di titik a, b adalah m
1
, dengan m
1
= dy
dx
x a
£ ¤
¥ ¦
=
= 2a + 8. Misalkan gradien garis 4x + 2y + 1 = 0 adalah m
2
. 4x + 2y + 1 = 0
2y = –4x – 1
y
= –2x –
1 2
Jadi, diperoleh m
2
= –2. Syarat agar dua buah garis sejajar adalah m
1
= m
2
. Dengan demikian,
m
1
= –2
2a + 8 = –2
2a = –10
a = –5 Karena titik Pa, b terletak pada kurva y = x
2
+ 8x + 1 maka y
= a
2
+ 8a + 1
y = –5
2
+ 8–5+1
y = –14 Jadi, koordinat titik P adalah –5, –14.
Persamaan garis singgung kurva y = x
2
+ 8x + 1 di titik P–5, –14 adalah y
+ 14 = –2x + 5
y = –2x – 24.
Problem Solving
Soal Terbuka
Kerjakan di buku tugas
1. Garis singgung kurva y = x
2
– 4x + 4 di titik Q tegak lurus dengan garis 2x – y + 2 = 0. Tentukan koordinat titik Q dan
persamaan garis singgung kurva yang melalui titik Q. 2.
Tentukan persamaan garis singgung kurva x
3
– 9x
2
+ 8y – 4 = 0 yang tegak lurus dengan garis 3x – y + 5 = 0.
219
Turunan
1. Tentukan koordinat titik A pada kurva y = x
2
+ 2x + 2 yang gradien garis singgungnya di titik tersebut adalah 2.
2. Tentukan koordinat titik-titik pada kurva y = x
3
– 4x
2
yang gradien garis singgung di titik tersebut adalah –5.
3. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x
2
– 4x di titik 1, –3. 4.
Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x
3
– x
2
– 2x + 4 di titik 0, 4. 5.
Garis singgung kurva y = x
2
– 4x + 4 di titik P sejajar dengan garis 2x – y + 2 = 0. Tentukan koordinat titik P dan persamaan garis singgung kurva yang melalui titik P.
6. Diketahui kurva y = x
4
. Tentukan persamaan garis singgung kurva yang sejajar dengan garis x – 2y + 5 = 0.
7. Diketahui kurva 3y = x
3
– 3x
2
+ 6x + 4. Tentukan persamaan garis singgung kurva yang tegak lurus dengan garis 2x – y + 3 = 0.
8. Diketahui kurva y = x
4
– 4x
3
+ 2x
2
+ 8. Tentukan persamaan garis singgung kurva yang tegak lurus dengan garis 4x + y – 7 = 0.
E. Fungsi Naik, Fungsi Turun, dan Nilai Stasioner
1. Pengertian Fungsi Naik dan Fungsi Turun
Uji Kompetensi 6
Kerjakan di buku tugas
Gambar 5.5
Y
X 2
O j
l
k m
= 0 f
x = x
2
+2
Condong ke kanan
Condong ke kiri
+ + + – – –
Misalkan fungsi fx = x
2
+ 2 digambarkan dalam dia-
gram Cartesius seperti Gambar 5.5. Garis j, k, dan l masing- masing adalah garis singgung kurva fungsi tersebut. Dari
grafik pada Gambar 5.5 dapat dikatakan sebagai berikut. a.
f x adalah fungsi turun pada interval x 0 di sebelah
kiri sumbu Y. b.
f x adalah fungsi naik pada interval x 0 di sebelah
kanan sumbu Y. c.
f x tidak naik dan tidak turun pada x = 0 pada titik
potong kurva dengan sumbu Y. Secara matematis, pengertian fungsi naik dan fungsi turun
adalah sebagai berikut. Misalkan fungsi fx terdefinisi pada interval I.
a. Fungsi fx dikatakan fungsi naik dalam interval I apabila
untuk setiap x
1
dan x
2
dalam interval I dan x
1
x
2
maka berlaku fx
1
fx
2
, dengan notasi matematika dapat ditulis x
1
x
2
fx
1
fx
2
b. Fungsi fx dikatakan fungsi turun dalam interval I apabila
untuk setiap x
1
dan x
2
dalam interval I dan x
1
x
2
maka berlaku fx
1
fx
2
, dengan notasi matematika dapat ditulis x
1
x
2
fx
1
fx
2
Tes Mandiri
Kerjakan di buku tugas Grafik y = x
4
– 4x turun untuk x yang meme-
nuhi a. x 0
b. 0 x 1 c. x 1
d. x 1 e. x 0 atau x 1
Soal SPMB, Kemam- puan Dasar, 2006
220
Mmt Aplikasi SMA 2 IPS
2. Syarat Fungsi Naik dan Fungsi Turun
Perhatikan kembali Gambar 5.5, yaitu kurva y = x
2
+ 2. Seperti yang telah kita ketahui bahwa turunan dari fungsi fx atau
f x dapat ditafsirkan sebagai gradien garis singgung kurva y = fx
di titik x, fx. Dengan demikian, dapat kita ketahui hal-hal berikut. a.
Dalam interval x 0, fungsi fx = x
2
+ 2 merupakan fungsi turun karena gradien garis singgungnya bernilai negatif
condong ke kiri sehingga f x 0. b.
Dalam interval x 0, fungsi fx = x
2
+ 2 merupakan fungsi naik karena gradien garis singgungnya bernilai positif condong
ke kanan sehingga f x 0. c.
Pada x = 0 fungsi fx = x
2
+ 2 tidak naik dan tidak turun karena gradien garis singgungnya bernilai nol mendatar sehingga
f x = 0. Pada fungsi fx = x
2
+ 2, f0 merupakan nilai stasioner. Dari uraian di atas, dapat dikemukakan syarat fungsi naik
dan fungsi turun. Misalkan fungsi fx kontinu dalam interval I dan diferen-
siabel dapat diturunkan di setiap titik dalam interval tersebut.
a. Jika f x 0 untuk setiap x dalam interval I maka fungsi
f x dikatakan fungsi naik dalam interval I.
b. Jika f x 0 untuk setiap x dalam interval I maka fungsi
f x dikatakan fungsi turun dalam interval I.
Untuk menentukan interval-interval pada saat fungsi fx naik atau turun, langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.
a. Tentukan turunan fungsi fx, yaitu f x.
b. Selesaikan pertidaksamaan f x 0 untuk fungsi naik atau
f x 0 untuk fungsi turun.
Tes Mandiri
Kerjakan di buku tugas Kurva fx = x
3
+ 3x
2
– 9x + 7 naik pada
interval .... a. x 0
b. –3 x 1 c. –1 x 3
d. x –3 atau x 1 e. x –1 atau x 3
Soal UMPTN, Kemam- puan Dasar, 1996
Contoh:
Tentukan interval-interval yang menunjukkan fungsi fx = x
3
+ 9x
2
+ 15x + 4 a.
naik; b.
turun.
Penyelesaian:
Diketahui fx = x
3
+ 9x
2
+ 15x + 4 maka f
x = 3x
2
+ 18x + 15 = 3x
2
+ 6x + 5. a.
f x merupakan fungsi naik jika
f x 0
3x
2
+ 6x + 5 0
x
2
+ 6x + 5 0
x + 1x + 5 0
x –5 atau x –1 Jadi, fx merupakan fungsi naik pada interval x –5 atau x –1.
Gambar 5.6
---- +++
+++ -5
-1
