205
Turunan
4. Tentukan biaya marjinal jika diketahui rumus fungsi biaya total C dalam Q unit
berikut. a.
C = 2Q + 5
d. C
= Q
2
– 2Q + 1 b.
C = 6Q – 3
e. C
= 2Q
2
+ 3Q + 5 c.
C = –8Q + 6
f. C
= Q
3
+ 4Q
2
– 2Q + 6
2. Rumus Turunan Fungsi fx = ax
n
Dengan menggunakan rumus turunan fungsi f
x = lim
A h
h x
– f x + h
f ,
kita dapat menentukan turunan fungsi konstan, turunan fungsi identitas, rumus turunan fungsi pangkat fx = x
n
, dan rumus turunan fungsi fx = ax
n
dengan a konstanta real.
a. Turunan Fungsi Konstan fx = c, dengan c Konstanta
Real Misalkan fx = c maka f x =
f x + h f x
h
= lim
A h
c c
h = 0
Jadi, dapat disimpulkan sebagai berikut. Jika fx = c, dengan c konstanta real maka f x = 0.
b. Turunan Fungsi Identitas fx = x
Misalkan fx = x maka f x = lim
A h
f x h
f x h
+ =
lim
A h
x h
x h
+ =
lim lim
h h
h h
A A
= 1
= 1 Dengan demikian, dapat kita simpulkan sebagai berikut.
Jika fx adalah fungsi identitas atau fx = x maka f
x = 1.
c. Turunan Fungsi Pangkat fx = x
n
dengan n Bilangan Asli
Misalkan fx = x
n
, dengan n bilangan asli. Untuk n = 1 maka fx = x. Oleh karena itu, untuk n = 1 maka f x = 1.
Bagaimana turunan fungsi fx = x
n
? Untuk itu, lakukan kegiatan berikut.
Tes Mandiri
Kerjakan di buku tugas Jika f3 – 2x = 4 – 2x
+ x
2
maka f 1 = .... a. –6
b. –3 c. –2
d. 0 e. 3
Soal SPMB, Kemam- puan Dasar, 2003
206
Mmt Aplikasi SMA 2 IPS
Tujuan: Menentukan rumus turunan fx = x
n
.
Permasalahan: Bagaimanakah turunan fx = x
n
, n bilangan asli?
Langkah-Langkah:
1. Dengan menggunakan
lim
h
f c h
f c h
A
+ , tentukan
hasilnya jika fx = x
2
. 2.
Analog dengan langkah 1, gantilah fx = x
3
, kemudian fx = x
4
. Manfaatkan teorema binomial. 3.
Amati pola turunan dari x
2
, x
3
, dan x
4
. Hal ini dapat kalian lanjutkan untuk n = 5, 6, ... sehingga
turunan fungsi fx = x
n
, dengan n bilangan asli tampak seperti pada tabel berikut. Lengkapilah.
fx x
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
… x
n
f x ...
... ...
... ...
... …
...
Kegiatan
Kerjakan di buku tugas
Kesimpulan: Secara umum dapat disimpulkan sebagai berikut.
Jika fx = x
n
, dengan n bilangan asli maka f x = nx
n –1
. Apakah rumus di atas juga berlaku untuk n bilangan real?
Dengan cara serupa, tentu kalian dapat menunjukkan bahwa: Jika fx = ax
n
, dengan n bilangan real maka f x = nax
n – 1
.
Investigasi
Diskusi
Diberikan fungsi
f x x x
x x ,
, =
¨ ©
ª
. Tentukan nilai turunan fungsi tersebut di titik x = 0.
Diskusikan dengan teman-teman kalian.
207
Turunan
Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut. a.
f x = 10
d. f
x = 1
3
3
x
–
b. f
x = 4x
5
e. f
x = 2x
x c.
f x =
2
1 2
x
f. f
x = 3x
5
– 7x
2
Penyelesaian:
a. f
x = 10 maka f x = 0 b.
f x = 4x
5
maka f x = 54x
5–1
= 20x
4
c. f
x = 2
1 2
x maka nilai f x =
1 2
2
1 2
1 1
2
x = x
d. f
x = 1
3
3
x maka nilai f x =
3
3 1 4
1 3
x =
x
e. f
x = 2x
x maka f x = 21
x x
1 1
2 1
1
1 2
= 2
1 2
1 2
x f.
f x = 3x
5
– 7x
2
+ 1 maka f x = 53x
5 – 1
– 27x
2 – 1
= 15x
4
– 14x
Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut. 1.
f x = 4x
2
– 5x + 7 6.
f x =
2 x
2 3
+ 4 2.
f x = x
3
– 4x
2
+ 4x – 10 7.
f x =
5 3
x
3 5
– 8 3.
f x =
1 4
x
2
–
2 5
x + 6
8. f
x = 5
1 5
x – 12
4. f
x = 5x
8
+ 3x
6
– x
3
+ 7 9.
f x =
x
4 9
3 +
5. f
x = 4x
–3
– 5x
–2
+ 4x – 5 10. fx =
4 2
3 4
1 4
1 2
2
x x
x x
+ +
+
Contoh:
Uji Kompetensi 2
Kerjakan di buku tugas
B. Rumus-Rumus Turunan Fungsi
1. Turunan Hasil Kali Konstanta dengan Suatu Fungsi
Misalkan fx = cux dengan c konstanta real dan ux yang mempunyai turunan, yaitu ux. Turunan dari fx adalah sebagai
berikut.
208
Mmt Aplikasi SMA 2 IPS
f x =
lim
h
f x +h f x
h
A
=
lim
h
cu x +h cu x
h
A
=
lim
h
c u x h
u x h
A
+
= c
lim
h
u x h
u x h
A
+ £
¤ ¥
¦
= cux Dengan demikian, dapat kita peroleh kesimpulan sebagai berikut.
Jika ux adalah turunan fungsi ux, maka turunan fungsi f
x = cux dengan c konstanta real adalah f x = cux.
Tentukan turunan fungsi fx = 4x
2
+ 1.
Penyelesaian:
Diketahui fx = 4x
2
+ 1. Misalkan ux = x
2
+ 1. Oleh karena itu, ux = 2x. Karena untuk fx = cux turunannya f x = cux maka f x = 42x = 8x.
Tes Mandiri
Kerjakan di buku tugas Jika fx =
2 3
2
x x
, maka f 2 = ....
a. 1
8 d. –
1 4
b. 1
4 e.
1 2
c. – 1
8
Soal UMPTN, Kemam- puan Dasar, 1997
Contoh:
2. Turunan Jumlah dan Selisih Dua Fungsi
Misalkan fungsi-fungsi ux dan vx berturut-turut mempunyai turunan ux dan vx. Jika fx = ux + vx maka
f x dapat ditentukan sebagai berikut.
f x =
lim
h
f x h
f x h
A
+ =
lim
h
u x h
v x h
u x v x
h
A
+ +
+ +
= lim
h
u x h
u x v x
h v x
h
A
+ + +
= lim
h
u x h
u x h
A
+ +
lim
h
v x h
v x h
A
+ = ux + vx
Dengan cara yang sama, jika fx = ux – vx maka f
x = ux – vx. Jadi, dapat disimpulkan sebagai berikut. a.
Jika fx = ux + vx maka f x = ux + vx. b.
Jika fx = ux – vx maka f x = ux – vx.
209
Turunan
Contoh:
Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut. a.
f x = x
2
+ 3x + 5x
3
+ 1 b.
f x = 4x
3
– x
– 5
2 3
x x
± 3
2
Penyelesaian:
a. f
x = x
2
+ 3x + 5x
3
+ 1 f
x = 2x + 3 + 15x
2
= 15x
2
+ 2x + 3 b.
f x
= 4x
3
–
x
– 5
2 3
x x
3 2
f x = 12x
2
– 1
2
1 2
x –
5 2
3 2
3 2
1 3
x x
2 3
= 12x
2
– 1
2
1 2
x –
5 2
3 2
1 3
x x
= 12x
2
+
x x
x +
1 3
1 2
3 2
1 2
5 2
= 12x
2
+ 1
1 2
5 2
3
x x
x x +
Uji Kompetensi 3
Kerjakan di buku tugas
1. Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut.
a. f
x = 3x – 6x
2
d. f
x = 124x
3
– 3x b.
f x = 56 – x
2
e. f
x = 1
2 8x
2
– 4x + 21 c.
f x = 73x
2
+ 2x – 2 f.
f x = 18
1 2
1 4
1 6
3
3 2
x x
x +
2. Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut, kemudian tulislah hasilnya dalam bentuk
yang paling sederhana. a.
f x = x
2
+ 3 + x
3
– 2x
2
d. f
x = 5
2 x
2
– 7x + 4 x
x
1 2
3
+ 1
3 b.
f x =
x
+ 2x + 1
x – 3x
2
e. f
x = 1
2 3
2 5
3
2 3
3 2
x x
x x
+ +
c. f
x = 2 + 3x + 4 – 3x f.
f x = x
3
– 6x
2
– 7x + 8 – 12x – 9x
2
3. Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut, kemudian tulislah hasilnya dalam bentuk
yang paling sederhana. a.
f x = 3x
2
+ 2x
2
– 4x
3
– 3x b.
f x = 5 – 3x – 16x
3
– 6x – 12x
2
