150
Mmt Aplikasi SMA 2 IPS
Gambar 3.5
Dari gambar di samping, yaitu f : A A
B dan g
: B A
C tampak bahwa f
a
1
= b
1
dan gb
1
= c
1
sehingga g º fa
1
= c
1
; f
a
2
= b
1
dan gb
1
= c
1
sehingga g º fa
2
= c
1
; f
a
3
= b
3
dan gb
3
= c
3
sehingga g º fa
3
= c
3
; f
a
4
= b
3
dan gb
3
= c
3
sehingga g º fa
4
= c
3
; f
a
5
= b
4
dan gb
4
= c
4
sehingga g º fa
5
= c
4
. Dengan demikian, disimpulkan bahwa
g º f: A A
C merupakan sebuah fungsi atau
fungsi komposisi.
Gambar 3.4
A B
C g
f a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
b
1
b
2
b
3
b
4
c
1
c
2
c
3
c
4
Dari gambar tersebut, terlihat bahwa g
adalah fungsi dengan domain himpunan B
, sedangkan f adalah fungsi dengan daerah kawan himpunan B. Range f adalah
{b
1
, b
3
, b
4
} sehingga range f merupakan himpunan bagian dari himpunan B.
Dengan kata lain, range f merupakan himpunan bagian dari domain g. Sekarang,
perhatikan fungsi f dan g yang didefinisi- kan seperti Gambar 3.5.
Pada gambar tersebut, fungsi f: A A
B dan fungsi g: D
A C
dengan D
B. Jika dibuat komposisi fungsi g º f, komposisi fungsi tersebut bukan merupakan sebuah fungsi karena fa
3
= b
3
bukan anggota domain g sehingga b
3
oleh g tidak dipetakan. Jika kita perhatikan, ternyata domain g merupakan himpunan bagian
dari range f. Oleh karena itu, dapat diambil kesimpulan sebagai berikut.
Fungsi g dapat dikomposisikan dengan fungsi f sehingga komposisi fungsi g º f merupakan sebuah fungsi apabila
range f merupakan himpunan bagian dari domain g atau dapat ditulis R
f
D
g
.
5. Komposisi dari Dua Fungsi atau Lebih
Suatu fungsi komposisi dapat tersusun atas dua fungsi atau lebih. Jika komposisi fungsi terdiri atas 3 fungsi atau lebih,
pengerjaannya harus dilakukan secara berurutan atau tidak boleh terbalik ingat: komposisi fungsi pada umumnya bersifat
komutatif. Perhatikan contoh berikut.
a
1
a
2
a
3
b
1
b
2
b
3
c
1
c
2
c
3
A f
B g
C D
4. Syarat agar Dua Fungsi Dapat Dikomposisikan
Tidak setiap dua fungsi dapat dikomposisikan menjadi fungsi komposisi. Untuk mengetahui syarat agar komposisi dua buah
fungsi merupakan sebuah fungsi komposisi, perhatikan gambar berikut.
Tes Mandiri
Kerjakan di buku tugas Jika f: R
A
R, dengan f x = 2x – 2
dan g : R
A
R, dengan gx = x
2
– 1 maka f º gx + 1 = ....
a. 2x
2
– 4 b. 2x
2
– 5 c. 2x
2
+ 4x – 2 d. 2x
2
– 4x + 1 e. 2x
2
– 2
Soal UMPTN, Kemam- puan Dasar 1996
151
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
Diketahui fungsi f, g, dan h pada bilangan real dan didefinisikan fx = x
2
, gx = 5x + 3, dan hx =
x + 1
. Tentukan komposisi fungsi berikut ini. a.
f º gx b.
g º f º hx
Penyelesaian:
a. f º gx = fgx = f5x + 3 = 5x + 3
2
= 25x
2
+ 30x + 9 b.
g º f º hx = g º fhx = g º f
x + 1
= gf
x + 1
= g
x + 1
2
= gx + 1 = 5x + 1 + 3 = 5x + 8
6. Menentukan Fungsi Penyusun dari Fungsi Komposisi
Jika suatu fungsi f diketahui dan fungsi komposisi f º g atau g
º f juga diketahui maka fungsi g dapat ditentukan. Demikian juga jika yang diketahui fungsi g dan fungsi komposisi f º g atau
g º f, fungsi f dapat ditentukan. Untuk memahami cara menentu-
kan sebuah fungsi jika diketahui fungsi komposisi dan fungsi yang lain, perhatikan contoh-contoh berikut.
Diketahui fungsi f º gx = 4 – 2x dan gx = x + 6. Tentukan fungsi fx.
Penyelesaian:
f º gx = 4 – 2x
fgx = 4 – 2x
fx + 6 = 4 – 2x
Misalkan x + 6 = y maka x = y – 6. Akibatnya, f
y = 4 – 2y – 6 = 4 – 2y + 12
= 16 – 2y Jadi, fx = 16 – 2x.
Contoh:
Tes Mandiri
Kerjakan di buku tugas Dari fungsi f : R
A
R diketahui bahwa
fx = x + 3 dan f º gx = x
2
+ 6x + 7, maka gx = ....
a. x
2
+ 6x – 4 b. x
2
+ 3x – 2 c. x
2
– 6x + 4 d. x
2
+ 6x + 4 e. x
2
– 3x + 2
Soal Ebtanas SMA, 1993
Contoh:
152
Mmt Aplikasi SMA 2 IPS
1. Diketahui fungsi f : A
A B
dan g : B A
C yang ditentukan dengan aturan seperti
pada diagram di samping. a.
Nyatakan fungsi f dan g dalam himpunan pasangan berurutan.
b. Tentukan nilai g º fa, g º fb,
dan g º fc. 2.
Diketahui fungsi f dan g yang ditentukan sebagai himpunan pasangan berurutan
berikut. f
= {1, 3, 2, 2, 3, 1, 4, 4} g
= {1, 4, 2, 3, 3, 2, 4, 1} Diketahui fungsi fx = 4x – 1 dan f º g x = 2x
2
– x + 3. Tentukan fungsi gx.
Penyelesaian:
f º gx = 2x
2
– x + 3
fgx = 2x
2
– x + 3
4gx – 1 = 2x
2
– x + 3
4gx = 2x
2
– x + 4
gx =
1 4
2x
2
– x + 4 Jadi, gx =
1 2
x
2
–
1 4
x + 1.
Problem Solving
1. Fungsi f, g, dan h terdefinisi pada bilangan real, dengan fx =
1 – 3x dan gx = 5x + 2. Tentukan rumus fungsi hx jika diketahui komposisi fungsi sebagai berikut.
a. f º g º hx = 15 – 30x
b. g º h º fx = –45x – 17
c. h º g º fx = 15x
2
– 65 d.
f º g º hx = 30x + 13 2.
Diketahui fungsi f : R A
R dan g : R A
R. Jika fx = x
5 dan g º fx = x – 2, tentukan gx
2
– 1. Diketahui fx = x + 1 dan f º gx = 3x
2
+ 4. Tentukan rumus fungsi gx.
Soal Terbuka
Kerjakan di buku tugas
Gambar 3.6
a b
c 1
2 3
4 p
q r
s
g f
A B
C
Uji Kompetensi 2
Kerjakan di buku tugas
