147
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
fungsi dari himpunan B ke himpunan C dinamakan fungsi komposisi
dari f dan g yang dilambangkan dengan g º f dibaca g bundaran f. Untuk lebih jelasnya, perhatikan
gambar di samping. Diketahui himpunan A, B, dan C seperti pada gambar
di samping. Jika a D
A, b D
B, c D
C, fa = b, dan fb = c maka gº fa = gfa = c. Secara umum, fungsi komposisi
didefinisikan sebagai berikut.
Gambar 3.1
a b
c A
B C
f g
g º f
Misalkan fungsi f : A A
B ditentukan oleh aturan fa = b,
sedangkan fungsi g : B A
C ditentukan oleh aturan gb = c.
Fungsi komposisi g dan f, ditulis g º f adalah sebuah fungsi yang ditentukan dengan aturan g º fa = gfa.
Fungsi g º f adalah komposisi fungsi g dan f yang pengerjaan- nya dilakukan pada fungsi f terlebih dahulu, kemudian dilanjut-
kan fungsi g.
1. Diketahui fungsi-fungsi f dan g dalam diagram panah
sebagai berikut. Tentukan g º f1, g º f2, dan g º f3.
Penyelesaian:
Dari gambar di samping, tampak bahwa g º f1 = gf1 = gm = 12;
g º f2 = gf2 = gm = 12; g º f3 = gf3 = gk = 10.
Gambar 3.2
1 2
3 m
l k
10 11
12 A
B C
f g
2. Diketahui fungsi-fungsi f dan g pada bilangan real ditentukan oleh aturan fx = 3x – 2
dan gx = 2x. Tentukan komposisi fungsi berikut ini. a.
g º fx b.
f º gx c.
Apakah f º g = g º f?
Penyelesaian:
a. g º fx = gfx = g3x – 2 = 23x – 2 = 6x – 4
b. f º gx = fgx = f2x = 32x – 2 = 6x – 2
c. Karena g º fx = 6x – 4, sedangkan f º gx = 6x – 2 maka g º f
f º g.
Menurutmu, apakah setiap fungsi aljabar
dapat dikomposisi- kan? Jika tidak, sya-
rat apa yang harus dipenuhi? Berikan
contoh kasus fungsi- fungsi yang tidak
dapat dikomposisi- kan.
Diskusi
Berpikir Kritis
Contoh:
148
Mmt Aplikasi SMA 2 IPS
2. Nilai Fungsi Komposisi
Nilai dari suatu fungsi komposisi dapat ditentukan dengan menggunakan dua cara, yaitu
a. dengan langsung mengoperasikan fungsi-fungsi tersebut
secara berurutan; b.
dengan menentukan rumus komposisi fungsi terlebih dahulu, kemudian menyubstitusikan nilai-nilai pada domainnya ke
dalam rumus komposisi itu.
1. Diketahui fungsi-fungsi f dan g pada himpunan bilangan real yang didefinisikan dengan
f x = 4x dan gx =
3 2
x – 2. Tentukan nilai f º g2 dengan dua cara di atas.
Penyelesaian:
b. Cara 2:
f º gx = fgx = f
2 3
x – 2
= 4 2
3 x
– 2 =
8 3
x – 8
f º g2 = 8
3 2 – 8
= – 8
3 a.
Cara 1: f º g2 = fg2
= f 2
3 2
2 £
¤ ¥
¦ = f
£ ¤
¥ ¦
2 3
= 4– 2
3 = –
8 3
2. Diketahui fungsi f dan g dinyatakan sebagai himpunan pasangan berurutan berikut.
f = {1, 3, 2, 6, 3, 9}
g = {3, 4, 6, 7, 9, 10}
Tentukan g º f dan g º f2.
Penyelesaian:
Perhatikan gambar berikut.
Gambar 3.3
A B
C f
g 1
2 3
3 6
9 4
7 10
Pada gambar di samping, tampak bahwa •
g º f = {1, 4, 2, 7, 3, 10};
• g º f2 = 7.
Contoh:
149
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
Tujuan: Memahami sifat-sifat yang berlaku pada komposisi fungsi.
Permasalahan: Sifat-sifat apakah yang berlaku pada komposisi fungsi?
Langkah-Langkah: Jawablah soal-soal berikut.
1. Misalkan fungsi f dan g pada himpunan bilangan real
didefinisikan oleh fx = 3x + 2 dan gx = x – 3. Tentukan a.
g º fx; b.
f º gx; c.
Apakah g º f = f º g? 2.
Misalkan fungsi-fungsi f, g, dan h pada bilangan real didefinisikan oleh fx = x
2
, gx = 2x – 2, dan hx = 3x. a.
Tentukan f º gx, f º g º hx, g º hx, dan f º g º hx.
b. Apakah f º g º hx = f º g º hx?
3. Misalkan f dan I adalah fungsi pada himpunan bilangan
real yang didefinisikan fx = x
2
+ 3x – 4 dan Ix = x. a.
Tentukan f º Ix dan I º fx. b.
Apakah f º Ix = I º fx?
Kesimpulan: Dari langkah-langkah di atas, dapat ditemukan sifat-sifat
komposisi fungsi.
Dari kegiatan di atas, diperoleh beberapa sifat komposisi fungsi sebagai berikut.
Sifat-sifat komposisi fungsi a.
Komposisi fungsi pada umumnya tidak bersifat komutatif: f º gx
g º fx. b.
Komposisi fungsi bersifat asosiatif: f º g º hx = f º g º hx.
c. Terdapat fungsi identitas Ix = x sehingga
f º Ix = I º fx = fx.
3. Sifat-Sifat Komposisi Fungsi
Untuk dapat mengetahui sifat-sifat dari komposisi fungsi, lakukan kegiatan berikut.
Kegiatan
Kerjakan di buku tugas
Tes Mandiri
Kerjakan di buku tugas NFungsi f : R
A
R. Diketahui fx = 2 – 3
dan gx = x
2
+ 2x – 3. Nilai dari f º g2 = ....
a. 0 d. 8
b. 1 e. 11
c. 7
Soal Ebtanas SMA, 1990
150
Mmt Aplikasi SMA 2 IPS
Gambar 3.5
Dari gambar di samping, yaitu f : A A
B dan g
: B A
C tampak bahwa f
a
1
= b
1
dan gb
1
= c
1
sehingga g º fa
1
= c
1
; f
a
2
= b
1
dan gb
1
= c
1
sehingga g º fa
2
= c
1
; f
a
3
= b
3
dan gb
3
= c
3
sehingga g º fa
3
= c
3
; f
a
4
= b
3
dan gb
3
= c
3
sehingga g º fa
4
= c
3
; f
a
5
= b
4
dan gb
4
= c
4
sehingga g º fa
5
= c
4
. Dengan demikian, disimpulkan bahwa
g º f: A A
C merupakan sebuah fungsi atau
fungsi komposisi.
Gambar 3.4
A B
C g
f a
1
a
2
a
3
a
4
a
5
b
1
b
2
b
3
b
4
c
1
c
2
c
3
c
4
Dari gambar tersebut, terlihat bahwa g
adalah fungsi dengan domain himpunan B
, sedangkan f adalah fungsi dengan daerah kawan himpunan B. Range f adalah
{b
1
, b
3
, b
4
} sehingga range f merupakan himpunan bagian dari himpunan B.
Dengan kata lain, range f merupakan himpunan bagian dari domain g. Sekarang,
perhatikan fungsi f dan g yang didefinisi- kan seperti Gambar 3.5.
Pada gambar tersebut, fungsi f: A A
B dan fungsi g: D
A C
dengan D
B. Jika dibuat komposisi fungsi g º f, komposisi fungsi tersebut bukan merupakan sebuah fungsi karena fa
3
= b
3
bukan anggota domain g sehingga b
3
oleh g tidak dipetakan. Jika kita perhatikan, ternyata domain g merupakan himpunan bagian
dari range f. Oleh karena itu, dapat diambil kesimpulan sebagai berikut.
Fungsi g dapat dikomposisikan dengan fungsi f sehingga komposisi fungsi g º f merupakan sebuah fungsi apabila
range f merupakan himpunan bagian dari domain g atau dapat ditulis R
f
D
g
.
5. Komposisi dari Dua Fungsi atau Lebih
