Turunan Hasil Kali Dua Fungsi

214 Mmt Aplikasi SMA 2 IPS f g a b c F = gfa A B C Gambar 5.2 f g g x = y F F f g g x + h = y + k f y = fgx f y + k = fgx + h x + h x Gambar 5.3 Pada bab sebelumnya, kalian telah mem- pelajari tentang fungsi komposisi. Jika diketahui fungsi f: A A B dan g: B A C seperti pada gambar di samping, fungsi F: A A C disebut fungsi komposisi dari f dan g dengan rumus F a = g º fa = gfa Notasi ”g º f” dibaca g bundaran f, yaitu komposisi fungsi yang mengerjakan fungsi f lebih dahulu, kemudian dilanjutkan fungsi g. Seperti yang telah disinggung sebelum- nya, aturan rantai dapat digunakan untuk menentukan turunan fungsi-fungsi komposisi. Misalkan terdapat fungsi komposisi F x = fgx seperti pada diagram di samping. Dengan mengingat definisi turunan suatu fungsi, dapat ditentukan F x = lim h F x h F x h A + = lim h f y k f y h A + = lim h f y k f y k k h A + × g º f Karena gx + h = y + k maka k = gx + h – y ‹ k = gx + h – gx sehingga diperoleh F x = lim h f y k f y k g x h g x h A + × + = lim h h f y k f y k g x h g x h A A + × + lim = f y × gx = f gx × gx Jadi, berdasarkan uraian di atas, dapat kita peroleh kesimpulan sebagai berikut. Jika Fx = fgx maka F x = f gx gx. Dalam notasi Leibniz, jika y = fu dan u = gx maka dy dx dy du du dx = × Rumus penurunan fungsi komposisi seperti inilah yang disebut aturan rantai . Tes Mandiri Kerjakan di buku tugas Turunan fungsi f x = 2 3 2 3 4 x adalah .... a. x x 2 3 2 4 b. 3 2 3 2 4 x x c. 16 3 2 3 2 4 x x d. 3x 2 3 2 4 x e. 3 2 3 2 4 x x Soal UMPTN, Kemam- puan Dasar, 2001 215 Turunan Tentukan turunan fungsi fx = 23x + 1 2 . Penyelesaian: Cara 1 : f x = 23x + 1 2 = 29x 2 + 6x + 1 = 18x 2 + 12x + 2 Oleh karena itu, f x = 36x + 12. Cara 2: Misalkan y = fx = 2u 2 , dengan u = 3x + 1. Berarti, dy du = 4u dan du dx = 3. Dengan aturan rantai, diperoleh f x = dy dx dy du du dx = × = 4u × 3 = 43x + 1 × 3 = 123x + 1 = 36x + 12. Contoh: Problem Solving Tentukan turunan fungsi Fx = 3x 2 – 2x 5 . Penyelesaian: Misalkan y = Fx = 3u 5 , dengan u = x 2 – 2x. Dengan demikian, dy du = 15u 4 dan du dx = 2x – 2. Dengan aturan rantai, diperoleh dy dx = dy du du dx × = 15u 4 × 2x – 2 = 15x 2 – 2x 4 2x – 2 = 30x – 1x 2 – 2x 4 Rumus penurunan fungsi dengan aturan rantai dapat dikembangkan untuk komposisi lebih dari dua fungsi. Misalkan untuk tiga fungsi f, g, dan h. Jika Fx = fghx maka F x = fghx × ghx × hx. Dalam notasi Leibniz, jika y = fu, u = gv, dan v = hx maka dy dx dy du du dv dv dx = × × 216 Mmt Aplikasi SMA 2 IPS Tentukan turunan fungsi Fx = 2x 3 – x 2 + 1 5 . Penyelesaian: F x = 2x 3 – x 2 + 1 5 Misalkan y = u 5 , u = v + 1, dan v = 2x 3 – x 2 . Dengan demikian, dy du = 5u 4 , du dv = 1, dan dv dx = 6x 2 – 2x = 2x3x – 1 dy dx = dy du du dv dv dx × × = 5u 4 × 1 × 2x3x – 1 = 52x 3 – x 2 + 1 4 2x 3x – 1 = 10x3x – 12x 3 – x 2 + 1 4 Contoh: Uji Kompetensi 5 Kerjakan di buku tugas Dengan aturan rantai, tentukan turunan fungsi-fungsi berikut ini. 1. F x = 3x – 2x 2 – x 3 6 7. F x = 3 2 1 2 3 x x + + 2. F x = 12 + 3x – x 2 4 8. F x = 5 2 3 1 4 2 x x + 3. F x = 4x 1 3 9. F x = x + 1 2 x – 3 2 4. F x = 2 3 1 2 + x x 10. Fx = x x + 3 1 2 2 5. F x = 3x 2 + x x 2 11. Fx = x x x 2 2 3 3 1 + 6. F x = x 5 – 7x + 1 5 – 1 2 12. Fx = 6 1 3 2 2 3 2 x x x + +

D. Persamaan Garis Singgung Suatu Kurva

1. Gradien Garis Singgung Kurva y = fx di x = a

Gambar 5.4 adalah grafik fungsi dengan persamaan y = f x, titik P adalah suatu titik tetap pada grafik itu, sedangkan titik Q adalah titik di dekat P yang dapat dipindah-pindahkan bergerak sepanjang grafik y = fx. Jika koordinat titik Pa, fa dan titik Qa + h, fa + h, gradien kemiringan garis yang menghubungkan titik P dan Q adalah m = f a h f a h + .