Turunan Hasil Kali Dua Fungsi
214
Mmt Aplikasi SMA 2 IPS
f g
a b
c
F = gfa
A B
C
Gambar 5.2
f g
g x = y
F
F f
g
g x + h = y + k
f y = fgx
f y + k = fgx + h
x + h x
Gambar 5.3
Pada bab sebelumnya, kalian telah mem- pelajari tentang fungsi komposisi. Jika diketahui
fungsi f: A A
B dan g: B
A C
seperti pada gambar di samping, fungsi F: A
A C
disebut fungsi komposisi
dari f dan g dengan rumus F
a = g º fa = gfa Notasi ”g º f” dibaca g bundaran f, yaitu
komposisi fungsi yang mengerjakan fungsi f lebih dahulu, kemudian dilanjutkan fungsi g.
Seperti yang telah disinggung sebelum- nya, aturan rantai dapat digunakan untuk
menentukan turunan fungsi-fungsi komposisi. Misalkan terdapat fungsi komposisi
F x = fgx seperti pada diagram di samping.
Dengan mengingat definisi turunan suatu fungsi, dapat ditentukan
F x =
lim
h
F x h
F x h
A
+ =
lim
h
f y k
f y h
A
+ =
lim
h
f y k
f y k
k h
A
+ ×
g º
f
Karena gx + h = y + k maka k = gx + h – y
k = gx + h – gx sehingga diperoleh
F x =
lim
h
f y k
f y k
g x h
g x h
A
+ ×
+ =
lim
h h
f y k
f y k
g x h
g x h
A A
+ ×
+ lim
= f y
×
gx = f gx
×
gx Jadi, berdasarkan uraian di atas, dapat kita peroleh kesimpulan sebagai
berikut. Jika Fx = fgx maka F x = f gx gx.
Dalam notasi Leibniz, jika y = fu dan u = gx maka dy
dx dy
du du
dx =
× Rumus penurunan fungsi komposisi seperti inilah yang disebut aturan
rantai .
Tes Mandiri
Kerjakan di buku tugas Turunan fungsi f x =
2 3
2 3
4
x adalah ....
a. x
x 2
3
2
4
b. 3
2 3
2
4
x x
c. 16
3 2
3
2
4
x x
d.
3x 2
3
2
4
x e.
3 2
3
2
4
x x
Soal UMPTN, Kemam- puan Dasar, 2001
215
Turunan
Tentukan turunan fungsi fx = 23x + 1
2
.
Penyelesaian:
Cara 1 :
f x = 23x + 1
2
= 29x
2
+ 6x + 1 = 18x
2
+ 12x + 2 Oleh karena itu, f x = 36x + 12.
Cara 2: Misalkan y = fx = 2u
2
, dengan u = 3x + 1. Berarti,
dy du
= 4u dan
du dx
= 3. Dengan aturan rantai, diperoleh
f x =
dy dx
dy du
du dx
= ×
= 4u
×
3 = 43x + 1
×
3 = 123x + 1 = 36x + 12.
Contoh:
Problem Solving
Tentukan turunan fungsi Fx = 3x
2
– 2x
5
.
Penyelesaian:
Misalkan y = Fx = 3u
5
, dengan u = x
2
– 2x. Dengan demikian,
dy du
= 15u
4
dan du
dx = 2x – 2.
Dengan aturan rantai, diperoleh dy
dx =
dy du
du dx
× = 15u
4
×
2x – 2 = 15x
2
– 2x
4
2x – 2 = 30x – 1x
2
– 2x
4
Rumus penurunan fungsi dengan aturan rantai dapat dikembangkan untuk komposisi lebih dari dua fungsi. Misalkan untuk tiga fungsi f, g,
dan h. Jika Fx = fghx maka F x = fghx
×
ghx
×
hx. Dalam notasi Leibniz, jika y = fu, u = gv, dan v = hx maka
dy dx
dy du
du dv
dv dx
= ×
×
216
Mmt Aplikasi SMA 2 IPS
Tentukan turunan fungsi Fx = 2x
3
– x
2
+ 1
5
.
Penyelesaian:
F x = 2x
3
– x
2
+ 1
5
Misalkan y = u
5
, u = v + 1, dan v = 2x
3
– x
2
. Dengan demikian,
dy du
= 5u
4
,
du dv
= 1, dan
dv dx
= 6x
2
– 2x = 2x3x – 1
dy dx
=
dy du
du dv
dv dx
× ×
= 5u
4
×
1
×
2x3x – 1 = 52x
3
– x
2
+ 1
4
2x 3x – 1
= 10x3x – 12x
3
– x
2
+ 1
4
Contoh:
Uji Kompetensi 5
Kerjakan di buku tugas
Dengan aturan rantai, tentukan turunan fungsi-fungsi berikut ini. 1.
F x = 3x – 2x
2
– x
3 6
7. F
x =
3 2
1
2 3
x x
+ +
2. F
x = 12 + 3x – x
2 4
8. F
x =
5 2
3 1
4 2
x x
+
3. F
x = 4x
1
3
9. F
x = x + 1
2
x – 3
2
4. F
x =
2 3
1
2
+ x
x
10. Fx = x
x +
3 1
2 2
5. F
x = 3x
2
+ x
x 2
11. Fx = x
x x
2 2
3
3 1
+ 6.
F x = x
5
– 7x + 1
5
– 1
2
12. Fx =
6 1
3 2
2 3
2
x x
x +
+