Menentukan Nilai Stasioner Suatu Fungsi dan Penerapannya

231 Turunan

G. Menggambar Grafik Suatu Fungsi

Secara umum, untuk menggambar grafik suatu fungsi diperlukan beberapa titik yang memenuhi fungsi tersebut. Kemudian jika kita hubungkan beberapa titik tersebut dengan kurva mulus maka akan diperoleh grafik fungsi yang dimaksud. Setelah kita mempelajari turunan sebuah fungsi, cara menentukan titik stasioner dan jenisnya, serta mengetahui interval di mana fungsi naik dan fungsi turun, maka kita akan dapat menggambarkan fungsi aljabar y = fx. Adapun langkah-langkahnya sebagai berikut. 1. Tentukan titik potong kurva y = fx dengan sumbu-sumbu koordinat jika mudah ditentukan. a. Titik potong kurva dengan sumbu X, syaratnya y = 0. b. Titik potong kurva dengan sumbu Y, syaratnya x = 0. 2. Tentukan titik stasioner dan jenisnya. 3. Tentukan interval di mana fungsi naik dan fungsi turun. 4. Tentukan nilai fungsi fx untuk x besar positif dan untuk x besar negatif. 5. Tentukan titik-titik bantu apabila diperlukan. 6. Hubungkan titik-titik yang diperoleh pada langkah 1, 2, dan 5 de- ngan kurva mulus dengan tetap memerhatikan langkah 3 dan 4. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh-contoh berikut. Gambarlah kurva y = 4 – x 2 . Penyelesaian: a. Titik potong kurva dengan sumbu-sumbu koordinat 1 Titik potong kurva dengan sumbu X syaratnya y = 0 sehingga 0 = 4 – x 2 ‹ x 2 = 4 ‹ x = 2 atau x = –2. Jadi, titik potong kurva dengan sumbu X adalah –2, 0 dan 2, 0. 2 Titik potong kurva dengan sumbu Y syaratnya x = 0 sehingga y = 4 – 0 2 = 4. Jadi, titik potong kurva dengan sumbu Y adalah 0, 4. Gambar 5.21 --- f x +++ Tes Mandiri Kerjakan di buku tugas Grafik fungsi fx = 5 + 15x + 9x 2 + x 3 naik untuk x yang memenuhi .... a. x 1 atau x 5 b. 1 x 5 c. –5 x –1 d. x –5 atau x –1 e. –5 x 1 Soal SPMB, Kemam- puan Dasar, 2002 Contoh: b. Titik stasioner dan jenisnya Titik stasioner diperoleh jika f x = 0 sehingga –2x = 0 atau x = 0. Untuk x = 0, nilai f 0 = 4. Jadi, titik stasioner tersebut dapat adalah 0, 4. Jenis titik stasionernya ditentukan dengan membuat garis bilangan seperti Gambar 5.21. Dari garis bilangan itu tampak bahwa titik stasioner itu adalah titik balik maksimum. c. Pada interval x 0, nilai f x positif, berarti fungsi fx naik, sedangkan untuk interval x 0, nilai f x negatif, berarti fungsi fx turun. d. Untuk x = + , nilai fx = 4 –+ 2 = – besar negatif dan untuk x = – , nilai f x = 4 – – 2 = – besar negatif. 232 Mmt Aplikasi SMA 2 IPS Gambar 5.22 Y X O -2, 0 2, 0 0,4 –1, 3 1, 3 e. Titik bantu Untuk x = 1 maka y = 4 – 1 2 = 3 dan untuk x = –1 maka y = 4 – –1 2 = 3. Jadi, diperoleh titik bantu 1, 3 dan –1, 3. f. Dengan menghubungkan titik-titik yang diperoleh pada langkah a, b, dan e, tetapi tetap memerhatikan langkah c dan d diperoleh grafik y = 4 – x 2 seperti Gambar 5.22. Gambarlah kurva y = x – 1 2 x + 2. Penyelesaian: a. Titik potong kurva dengan sumbu-sumbu koordinat 1 Titik potong kurva dengan sumbu X syaratnya y = 0 sehingga 0 = x – 1 2 x +2 ‹ x = 1 atau x = –2. Jadi, titik potong kurva dengan sumbu X adalah 1, 0 dan –2, 0. 2 Titik potong kurva dengan sumbu Y syaratnya x = 0 sehingga y = 0 – 1 2 0 + 2 = 2. Jadi, titik potong kurva dengan sumbu Y adalah 0, 2. b. Titik stasioner dan jenisnya Titik stasioner diperoleh jika f x = 0. Misalkan ux = x – 1 2 = x 2 – 2x + 1 dan v x = x + 2 maka ux = 2x – 2 dan vx = 1. Oleh karena itu, f x = ux vx + ux vx = 2x – 2x + 2 + x 2 – 2x + 1 = 2x 2 + 2x – 4 + x 2 – 2x + 1 = 3x 2 – 3 Jika f x = 0 maka 3x 2 – 3 = 0 ‹ x = 1 atau x = –1. Untuk x = 1 maka f1 = 1 – 1 2 1 + 2 = 0. Untuk x = –1 maka f–1 = –1 – 1 2 –1 + 2 = –2 2 1 = 4. Jadi, titik stasionernya adalah 1, 0 dan –1, 4. Jenis titik stasionernya dapat ditentukan dengan membuat garis bilangan seperti Gambar 5.23. Dari garis bilangan tersebut, tampak bahwa titik –1, 4 adalah titik balik maksimum, sedangkan titik 1, 0 adalah titik balik minimum. c. Pada interval x –1 dan x 1, nilai f x positif, berarti fungsi fx naik, sedangkan untuk interval –1 x 1, nilai f x negatif berarti fungsi fx turun. d. Untuk x = + , nilai fx = + – 1 2 + + 2 = + besar positif, untuk x = – , nilai fx = – – 1 2 – + 2 = – besar negatif. e. Titik bantu Untuk x = 2 maka y = 2 – 1 2 2 + 2 = 4. Jadi, diperoleh titik bantu 2, 4. Gambar 5.23 --- +++ -1 f x 1 +++ naik turun naik Problem Solving 233 Turunan Y X O -2, 0 1, 0 -1, 4 2, 4 Gambar 5.24 f. Dengan menghubungkan titik-titik yang diperoleh pada langkah a, b, dan e, tetapi tetap memerhatikan langkah c dan d, diperoleh grafik y = x – 1 2 x + 2 seperti Gambar 5.24. Gambarlah kurva dari fungsi-fungsi berikut. 1. f x = x 2 – 6x – 1 6. f x = 2x 3 + 11x 2 + 12x – 9 2. f x = x 2 – 4x – 5 7. f x = 4x 3 + 6x 2 – 7 3. f x = x 2 + 11x + 24 8. f x = 2x 3 – 12x 2 + 18x + 5 4. f x = x 2 + 4x – 12 9. f x = x 3 + 4x 2 + 4x + 1 5. f x = –x 2 + 11x – 24 10. fx = 2x 3 – 3x 2 – 12x + 8

H. Model Matematika Nilai Ekstrem Fungsi

Pemodelan matematika yang berkaitan dengan nilai ekstrem maksimum dan minimum suatu fungsi dapat ditentukan dari ber- bagai persoalan. Untuk dapat memahami bagaimana memodelkan, menyelesaikan, dan menafsirkannya, perhatikan contoh berikut. Jumlah bilangan x dan y adalah 40. Hasil kalinya adalah p. a. Tulislah persamaan yang menyatakan hubungan x dan y. b. Nyatakan p dalam x. c. Tentukan kedua bilangan tersebut agar mempunyai hasil kali terbesar. Uji Kompetensi 9 Kerjakan di buku tugas Contoh: Penyelesaian: a. Secara rinci, permasalahan di atas dapat diselesai- kan sebagai berikut. Dari soal diketahui x + y = 40 dan p = xy. b. Karena x + y = 40 ‹ y = 40 – x maka p = x40 – x = 40x – x 2 . Tampak bahwa p merupakan fungsi kuadrat dalam x sehingga dapat ditulis px = 40x – x 2 . Gambar 5.25 titik balik maksimum 234 Mmt Aplikasi SMA 2 IPS c. Karena px merupakan fungsi kuadrat dengan koefisien x 2 adalah –1 0, maka kurvanya berbentuk parabola terbuka ke bawah. Karena terbuka ke bawah, maka titik baliknya adalah titik balik maksimum. Perhatikan ilustrasinya. Gradien garis singgung di titik balik maksimum adalah nol karena arahnya mendatar. Artinya, px = 0 ‹ 40 – 2x = 0. Dengan demikian, diperoleh 2x = 40 ‹ x = 20. Karena x = 20 titik balik maksimum, maka nilai maksimum- nya adalah p20 sehingga p20 = 4020 – 20 2 = 400. Perhatikan grafik di samping. Gambar 5.26 40 20 O 20, 400 f x = 0 p x = 40x – x 2 Y X 400 Jadi, hasil kali maksimum yang dimaksud adalah p = 400. Secara singkat, soal di atas dapat dikerjakan sebagai berikut. a. Persamaan yang menyatakan hubungan x dan y adalah x + y = 40 atau y = 40 – x. b. Hasil kalinya p. Dengan demikian, p = xy ‹ p = x40 – x ‹ p = 40x – x 2 ‹ p x = 40x – x 2 c. Hasil kali terbesar diperoleh jika px = 0. Berarti, 40 – 2x = 0 ‹ 2x = 40 ‹ x = 20. Karena y = 40 – x maka y = 40 – 20 = 20. Jadi, kedua bilangan tersebut adalah x = 20 dan y = 20. Problem Solving Diketahui fungsi biaya total C = 1 3 Q 3 – 7 2 Q 2 + 12Q – 5 dalam jutaan rupiah. Fungsi biaya marjinal dinyatakan M C adalah turunan dari fungsi biaya total terhadap Q , dengan Q menyatakan jumlah unit produk. Tentukan a. fungsi biaya marjinal; b. unit produksi agar biaya total minimum dan tentukan pula biaya yang minimum itu. Penyelesaian: a. C = 1 3 Q 3 – 7 2 Q 2 + 12Q – 5 M C = dC dQ = Q 2 – 7Q + 12 Jadi, fungsi biaya marginal adalah M C = Q 2 – 7Q + 12. b. Agar biaya total minimum, M C = 0. Dengan kata lain, dC dQ = 0 235 Turunan Q 2 – 7Q + 12 = 0 ‹ Q – 5Q – 2 = 0 ‹ Q – 5 = 0 atau Q – 2 = 0 ‹ Q = 5 atau Q = 2 Jadi, agar biaya total minimum, jumlah produksi adalah 5 unit atau 2 unit. Biaya total minimumnya adalah sebagai berikut. Untuk Q = 5 maka C = 1 3 5 7 2 5 12 5 5 3 2 + = 9,1667 atau Rp9.166.700,00. Untuk Q = 2 maka C = 1 3 2 7 2 2 12 2 5 3 2 + = 7,6667 atau Rp7.666.700,00. Uji Kompetensi 10 Kerjakan di buku tugas 1. Suatu parabola dinyatakan dengan persamaan y = 9 – x 2 . Daerah di atas sumbu X dan di bawah parabola dibuat persegi panjang dengan dua buah titik sudutnya terletak pada sumbu X, sedangkan dua buah titik sudut lainnya terletak pada parabola, seperti pada gambar di samping. Soal Terbuka Kerjakan di buku tugas Gambar 5.27 3 -3 O 9 x, y y = 9 – 2x 2 X Y a. Jika L menyatakan luas persegi panjang itu, nyatakanlah L sebagai fungsi x. b. Tentukanlah dL dx . c. Tentukan nilai x yang menyebabkan L maksimum. d. Berapakah nilai L maksimum yang dapat dicapai? 2. Diketahui fungsi biaya total C = Q – 2 3 . Tentukan fungsi biaya marginal dan berapa unit yang harus diproduksi dengan biaya produk minimum. 1. Diketahui jumlah bilangan x dan y adalah 16. Hasil kalinya adalah p. a. Tulislah persamaan yang menyatakan hubungan x dan y. b. Nyatakan p dalam x. c. Tentukan kedua bilangan tersebut agar mempunyai hasil kali terbesar. 2. Selembar karton berbentuk persegi, dengan panjang sisi 24 cm. Pada keempat titik sudutnya dibuat potongan berbentuk persegi dengan ukuran sama. Sisa potongan dilipat ke atas sehingga diperoleh sebuah bentuk kotak terbuka. Tentukan volume kotak terbesar yang dapat dibuat.