177
Limit Fungsi
B. Menghitung Nilai Limit Fungsi Aljabar
Setelah kita mempelajari definisi limit suatu fungsi, kita dapat menentukan limit suatu fungsi dengan menggunakan definisi limit
secara umum maupun secara intuitif seperti di atas. Akan tetapi, ada beberapa cara yang lebih sederhana untuk menentukan limit, antara
lain a.
substitusi ;
b. memfaktorkan
; c.
merasionalkan penyebut .
1. Menentukan Limit dengan Substitusi
Limit suatu fungsi f untuk x mendekati a, dengan a bilangan real, dapat ditentukan dengan substitusi, yaitu mengganti nilai x
dengan a. Namun, apabila hasilnya ,
, atau –
, cara ini tidak dapat diterapkan secara langsung. Fungsi yang diambil
limitnya itu perlu disederhanakan terlebih dahulu. Perhatikan contoh berikut.
Tes Mandiri
Kerjakan di buku tugas Nilai
k yang memenuhi persamaan
lim 1
1 1
x x
x A
= .... a. –2
b. –5 c. 0
d. 1 e.
Soal SPMB, Kemam- puan Dasar, 2002
Contoh:
Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi berikut. a.
lim
x
x x +
A 2
3
8 2
b. lim
A x
x
2
+ 3x + 2
Penyelesaian:
a.
lim
x
x x +
= +
=
A 2
3 3
8 2
2 8
2 2
4
= 0 b.
lim
A x
x
2
+ 3x + 2 = 0
2
+ 30 + 2 = 2
2. Menentukan Limit dengan Memfaktorkan
Misalkan terdapat bentuk lim
x g
x f
a x
A
. Seperti yang telah disinggung sebelumnya, apabila x = a disubstitusikan pada fungsi
yang diambil limitnya tersebut mengakibatkan
a g
a f
= tak
tentu, cara substitusi tidak dapat diterapkan secara langsung.
Tes Mandiri
Kerjakan di buku tugas lim
27
27 3 3
x
x x
A = ...
a. 9 d. 36
b. 18 e. 45
c. 27
Soal UMPTN, Kemam- puan Dasar, 1999
178
Mmt Aplikasi SMA 2 IPS
Oleh karena itu, fungsi tersebut perlu disederhanakan lebih dahulu dengan memfaktorkan fx dan gx sehingga keduanya
mempunyai faktor yang sama. Selanjutnya, faktor yang sama itu dihilangkan sehingga diperoleh bentuk yang lebih sederhana
seperti berikut.
lim lim
lim a
Q a
P =
x Q
x P
= x
Q x – a
x P
x – a =
x g
x f
a x
a x
a x
A A
A
; Qa
Contoh:
Tentukan nilai limit fungsi berikut. a.
lim
x
x x
x
A
+
3 2
2 15
3
b.
lim
x
x x
A 5
5 5
Penyelesaian:
Jika kita menyubstitusikan nilai-nilai yang didekati x ke dalam bentuk-bentuk di atas, akan kita peroleh
. Oleh karena itu, fungsi-fungsi tersebut perlu disederhanakan dengan menghilangkan faktor-faktor yang sama pada pembilang dan penyebut.
a.
lim
x
x + x x
A 3
2
2 15
3
= lim
x
x x
x
A
+
3
3 5
3 =
3
lim
A x
x + 5 = 8 b.
lim
x
x x
A 5
5 5
= lim
x
x x
x
A
+
5
5 5
5 =
lim
x
x
A
+
5
1 5
= 1
5 5
+ =
1 2 5
3. Menentukan Limit dengan Merasionalkan Penyebut
Apabila dalam suatu fungsi yang akan ditentukan nilai limit- nya sulit disederhanakan karena memuat penyebut yang tidak
rasional, kita perlu merasionalkan penyebutnya lebih dahulu. Penyebut suatu pecahan akan menjadi rasional jika dikalikan
antara lain dengan bentuk sekawannya.
Selanjutnya, agar nilai pecahannya tidak berubah maka pe- cahan semula harus dikalikan dengan pecahan yang bernilai satu,
misalnya b
b ,
a b
a b
, a
b a
b +
+ dan
.
Tes Mandiri
Kerjakan di buku tugas
lim 1
1 3
2
2
x
x x
A +
= .... a. –6
d. 4 b. –4
e. 8 c. 2
Soal SPMB, Kemam- puan Dasar, 2004
179
Limit Fungsi
a. Pecahan
a b
jika dikalikan
b b
, diperoleh a
b b
; b.
Pecahan c
a+ b jika dikalikan
a b
a b
, diperoleh c a
b a
b
2
; c.
Pecahan c
a + b jika dikalikan
a b
a b
, diperoleh c a
b a
b .
Eksplorasi
Diskusi
Apa yang kalian ketahui dengan bentuk sekawan? Bagaimana bentuk aljabar yang mengandung akar pangkat tiga?
Tes Mandiri
Kerjakan di buku tugas lim
7 7
7
x
x x
A = ....
a.
7 7
d. 1
2 7 b.
3 7 e.
1 7
c.
2 7
Soal UMPTN, Kemam- puan Dasar, 1997
Contoh:
Tentukan nilai limit fungsi a.
lim
x
x x +
A 3
2 2
9 16
5 b.
lim
x
x x
x
A 2
2 3
2 2
Penyelesaian:
a.
lim
x
x x +
A 3
2 2
9 16
5
= lim
x
x x +
x + +
x + +
A
×
3 2
2 2
2
9 16
5 16
5 16
5 =
lim
x
x x + +
x +
A 3
2 2
2
9 16
5 16
25
=
lim
x
x x +
+ x
A 3
2 2
2
9 16 5
9
=
lim
x
x + +
A3 2
16 5
= 2 + 5
5 = 5 + 5 = 10
180
Mmt Aplikasi SMA 2 IPS
b. lim
x
x x
x
A 2
2 3
2 2
= lim
x
x x
x x
x x
x
A
× +
+
2
2 3
2 2
3 2
2 3
2 2
=
lim
x
x x
x x
x
A
+
2
2 3
2 2
3 2
2
=
lim
x
x x
x x
A
+
2
2 3
2 2
2
= lim
x
x x
A
+
2
3 2
2 =
3 2 2
2 2 +
=
4 4
+
= 4
Uji Kompetensi 2
Kerjakan di buku tugas
1. Dengan menyubstitusikan nilai-nilai yang didekati oleh x, tentukan nilai limit fungsi
berikut. a.
lim
A x
2x – 6 f.
lim
x
x
A
+
4
3 4
b.
lim
x
x + x x
A 1
2
6 2
g. lim
x
x x
A
+
3 2
1 2
1 c.
lim
x
x x
A2 3
2 + 8
+
h.
lim
x
x x
A
+
2 2
3
8
d.
3
lim
A x
4x +
x + 1
i.
lim
x
x x
A 2
4 2
1 1
e.
lim
x
x x
A 3
2
2 6
j.
lim
x
x x
x x
A
+ +
+
1 2
2
5 2
1
2. Dengan menghilangkan faktor-faktor yang sama, tentukan nilai limit fungsi berikut.
a.
lim
x
x x
A 1
2
1 1
f.
lim
x
x x
x x
A
+
2 2
2 9
2
b.
lim
x
x x +
x
A 4
2
6 8
4
g.
lim
x
x x
x
A 4
2 2
9
c.
lim
x
x + x +
x +
A3 2
5 6
3
h.
lim
x
x x
x x
A
+
3 2
3 3
6
d.
lim
x
x x
x
A
+
1 2
2 3
5 1
i.
lim
x
x x
x x
x x
A
+ +
5 3
2 4
3 2
4 3
2
e. lim
x
x x
A 5
5 2
5 j.
lim
x
x x
x x
A
+
9 2
8 2
4 5
181
Limit Fungsi
3. Dengan merasionalkan penyebutnya, tentukan nilai limit fungsi berikut.
a. lim
x
x + x
+
A 2
1 1
3 c.
lim
x
x + x x + +
A 2
2
1 2 3
b.
lim
x
x + x +
A 4
2
3 1
4
d.
lim
x
x + x
x
A
1 1
4. Tentukan nilai limit fungsi berikut.
a. lim
x+ + x x+
x A
2 2
3 3
2 3
d. lim
x
x + x
x x
A 1
1 3
1 2
1 b.
lim
x
x x
x
A 1
3
1
2
e. lim
x
x x
x x
x
A
+ +
+
2 2
3 1
4 1
3 c.
lim
x
x x +
x x
A 2
2 2
2 6
4 2
f.
lim
x
x h
x h
A
+
2 2
5. Hitunglah limit-limit berikut dengan cara yang paling mudah.
a.
lim
x
x x
A 10
2
100 10
g. lim
x p
x p
x p
A
+
3 3
2 2
b. lim
x
x x
A 9
9 3
h.
lim
x
x x
A 4
3 2
64 16
c.
lim
x
x x
x
A 3
3 2
27 3
i. lim
x
x x
A 4
2
4 16
d.
lim
x
x x
x
A 3
3 2
27 3
j. lim
x
x x
A
+
1 2
1 5
2 e.
lim
x
x x
A 4
3
64 4
k.
lim
x
x x
A
+
2 2
2
4 3
10
f.
lim
x
x x
A 2
4
16 4
l. lim
x
x x
x
A
+
2 3
3
7 6
2
C. Menghitung Nilai Limit Fungsi Mendekati Tak Berhingga Pengayaan
Limit fungsi f untuk x mendekati tak berhingga dinotasikan dengan
A x
lim f
x. Lambang ” ” dibaca tak berhingga, digunakan
untuk menyatakan nilai yang besar sekali atau nilai yang tak dapat ditentukan besarnya. Untuk menentukan limit mendekati tak
berhingga, perhatikan contoh berikut.
Kategori