186
Mmt Aplikasi SMA 2 IPS
= lim
x
x x
x x
x x
x x
A
+ +
+ + +
£ ¤
² ¥
¦ ´
2 2
2 2
4 2
4 2
=
lim
x
x x
x x
x
A
+ + +
+ 2
6 4
2
2 2
=
lim
x
x x
x x
x x
x
A
+ £
¤ ¥
¦ +
+ +
£ ¤
² ¥
¦ ´
£
¤ ²
² ²
² ¥
¦ ´
´ ´
´ 2
6 1
1 4
1 1
2
2 2
= lim
x
x x
x x
x
A
+ +
+ +
£
¤ ²
² ²
¥
¦ ´
´ ´
2 6
1 1
4 1
1 2
2 2
= +
2 1
1 = –1
3. Menentukan Nilai Limit dengan Menggunakan Rumus
Perhatikan bentuk limit contoh b halaman 185. Limit itu mempunyai bentuk
lim
x
ax bx
c px
qx r
A
+ +
+ +
2 2
.... Bentuk , dengan a = p dapat diselesaikan dengan cara yang
lebih efektif. Bagaimana cara menentukan rumus yang efektif itu? Untuk itu, lakukan kegiatan berikut.
Kegiatan
Kerjakan di buku tugas
Tujuan: Menentukan cara menentukan nilai yang mempunyai bentuk .
Permasalahan: Bagaimana cara menentukan limit yang mempunyai bentuk
secara efektif?
Langkah-Langkah: 1.
Ubahlah koefisien x
2
bentuk kuadrat yang ada dalam tanda akar menjadi 1.
2. Kerjakan bentuk limit itu dengan menggunakan perkalian
bentuk sekawan. 3.
Dari hasil langkah 2, kalian memperoleh nilai limit.
187
Limit Fungsi
Tentukan nilai limit fungsi berikut .
1. x
x x
x
x
2 3
2 lim
2 2
+
A
11. lim
n
n n
A
+ 2
2. 1
3 5
2 4
10 3
4 lim
2 3
2 3
+ +
+
A
x x
x x
x x
x
12. lim
x x
x A
4 1
4 3.
2 2
1 1
2 lim
+
A
x x
x
13.
lim
x x
x x
x A
+ 3
3 3
3
4. 10
1 2
lim
2 2
3
+ +
+
A
x x
x x
x
x
14. lim
x
x x
x x
A
+ + 2
1 1
1
3 2
5. 10
3 4
5 2
4 lim
3 2
+ +
A
x x
x x
x
15. lim
x
x x
A
2 4
2 6.
8 5
3 16
7 4
lim
2 3
2 3
+ +
+ +
+
A
x x
x x
x x
x
16. lim
x
x x
x x
A
+
2 2
7.
lim
x
x x
x x
x x
A
+ +
+ +
4 7
2 2
3 2
3 9
3 2
2 2
17. lim
x
x x
x x
A
+ +
2 2
4 4
2 2
8. lim
x
x x
x
A
+ +
2 3
5
1 1
4 10
18. lim
x
x x
x
A 2
8 9.
lim
x
x x
A
+ 2
6
2 4
4
2
19. lim
x
x x
x
A 2
10.
lim
n
n n n
A
+ +
2 1
2
20. lim
x
x x
A
+ +
4 4
1 1
Kesimpulan: Bentuk dapat dikerjakan dengan cepat menggunakan rumus
b q
a 2
. Dari kegiatan di atas, dapat ditemukan suatru rums berikut.
Untuk a = p, berlaku lim
x
ax bx
c px
qx r
A
+ +
+ +
2 2
= b
q a
2 .
Dengan menggunakan rumus tersebut, tunjukkan bahwa contoh b di atas benar.
Uji Kompetensi 3
Kerjakan di buku tugas
188
Mmt Aplikasi SMA 2 IPS
Contoh:
D. Sifat-Sifat Limit dan Penggunaannya
Sifat-sifat limit yang akan kalian pelajari pada pembahasan kali ini sangat erat kaitannya dengan teorema tentang limit.
Teorema Limit
Dalam menyelesaikan limit fungsi aljabar, baik untuk x mendekati a
maupun x mendekati , sebenarnya secara tidak langsung kita
sudah menggunakan teorema limit. Jika n bilangan bulat positif, k konstanta, f dan g adalah fungsi-fungsi yang mempunyai limit untuk
x mendekati a, berlaku sebagai berikut.
1.
a x
A
lim k = k
2.
a x
A
lim x = a
3.
a x
A
lim k fx = k
a x
A
lim f
x 4.
a x
A
lim fx + gx =
a x
A
lim f
x +
a x
A
lim g
x 5.
a x
A
lim fx – gx =
a x
A
lim f
x –
a x
A
lim g
x 6.
a x
A
lim fx
×
gx =
a x
A
lim f
x
×
a x
A
lim g
x 7.
a x
A
lim
f x g x
=
lim lim
x a
x a
f x g x
A A
,
a x
A
lim gx
8.
a x
A
lim fx
n
= lim
x a
n
f x
A
9.
a x
A
lim f x
n
= lim
x a
n
f x
A
Sifat-sifat di atas biasanya disebut teorema limit pusat utama. Selain teorema limit pusat, teorema substitusi juga dapat digunakan
dalam penentuan nilai limit fungsi. Teorema ini berfungsi sebagai berikut. Jika f adalah suatu fungsi polinom atau fungsi rasional,
a x
A
lim f
x = fa dengan syarat jika fungsinya berbentuk fungsi rasional, nilai penyebut untuk x = a tidak sama dengan nol.
1. Hitunglah nilai limit berikut.
a.
1
lim
A x
2x + 8 b.
4
lim
A x
2 8
x + x
189
Limit Fungsi
Kerjakan di buku tugas
Penyelesaian:
a.
1
lim
A x
2x + 8 =
1
lim
A x
2x +
1
lim
A x
8 = 21 + 8 = 10 b.
4
lim
A x
2 8
x + x
=
lim lim
x x
x + x
A A
4 4
2 8
= lim
lim
x x
x +
x
A A
4 4
2 8
= 16
4 = 1
2. Dengan menggunakan teorema substitusi, tentukan nilai limit berikut.
a.
2
lim
A x
4 2
1 3
9
3 2
3
x x +
x
b.
1
lim
A x
x + x +
x +
3 2
2
2 1
1
Penyelesaian:
a.
2
lim
A x
4 2
1 3
9
3 2
3
x x +
x
= 4 2
3
22 +1 32
9
2 3
= 25
15 = 1
2 3
b.
1
lim
A x
x + x +
x +
3 2
2
2 1
1
= 1
3
+ 21 +1 1 +1
2 2
= 4
2 = 2
1. Dengan menggunakan teorema limit utama, tentukan nilai limit berikut.
a.
2
lim
A x
4x – 5 f.
1
lim
A x
x x
1 1
b.
4
lim
A x
8 – 2x g.
lim
– x
A 3
x x + x +
2 2
9 2
7 4
c.
2
lim
A x
3x + 51 – x h.
lim
x A2
x + x +
x +
2 3
3 4
1 d.
lim
A x
2 2
x +
i. lim
x
x x
x x
A
+ +
4 2
2 3
3 4
2 9
e.
1
lim
A x
1 5 – x
j. lim
x
x x
x
A
+ +
3 2
4
3 8
4
Uji Kompetensi 4
