Contoh skala ratio adalah sebagai berikut : Ukuran berat badan, tinggi badan, umur, dan lain-lain. Seseorang
yang mempunyai berat badan 100 kg adalah dua kali beratnya dari orang yang mempunyai berat badan 50 kg. Jika berat suatu benda
adalah 0, maka benda tersebut benar-benar tidak mempunyai berat Agus Irianto, 2010 : 20.
Sifat-sifat data berdasarkan jenis data dapat dilihat dalam tabel sebagai berikut Husaini, 2008:22 :
Tabel 2.2 Sifat Jenis Data
Eksklusif dan
beda Urutan
Ukuran baru
dan jarak
Nol Mutlak
Ukuran Pusat
Ukuran Dispersi
Uji Signifikansi
Nominal
√ -
- -
Mode -
Ordinal
√ √
- -
Median Kuartil
Korelasi Rank
Interval
√ √
√ -
Mean Aritmetik
SD Varians
,
Rasio
√ √
√ √
Mean Geometrik
Coefisien Varians
,
Dalam penelitian ini materi statistika yang akan dipelajari adalah ukuran pemusatan data, ukuran letak data, dan ukuran penyebaran data
pada data tunggal dan data kelompok. Berikut adalah penjelasan dari materi data tunggal dan materi data kelompok :
1. Materi Data Tunggal
Materi data tunggal yang akan dipelajari pada penelitian ini adalah sebagai berikut Sartono, 2007 dan Murniati, 2007 :
a. Ukuran pemusatan Data Pemusatan data merupakan nilai tunggal yang mewakili semua data
atau kumpulan pengamatan dimana nilai tersebut menunjukan pusat
data. Pemusatan data terdiri dari rata-rata, data yang paling sering muncul, dan nilai tengah suatu data. Selanjutnya rata-rata sering
disebut dengan istilah mean, data paling sering muncul disebut dengan istilah modus, sedangkan nilai tengah dari suatu data disebut
dengan istilah median. 1. Rataan Mean
Rataan dari suatu data tunggal adalah perbandingan jumlah semua nilai dengan banyak datum. Dengan demikian,
=
ℎ
Jika suatu data terdiri atas nilai-nilai
, ,
, , …,
, maka rataan dari data tersebut ditentukan dengan rumus berikut :
̅
=
…
Dengan: ̅ dibaca : x bar = rataan dari suatu data
n = banyak datum yang diamati, disebut ukuran data Contoh :
Hitunglah rataan dari data 4, 5, 6, 7, 8, 10, 10, 10 Jawab :
Banyak datum dari data yang diamati adalah 8, maka n = 8 Maka nilai rataan dari data yang diamati adalah
=
̅
= 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 10 + 10 + 10
8 =
60 8
= 7,5
2. Modus Modus dari suatu data tunggal yang terdiri atas nilai-nilai
, ,
, … ,
ditentukan sebagai nilai datum yang paling sering muncul atau nilai datum yang mempunyai frekuensi
terbesar. Suatu data dapat saja memiliki lebih dari satu modus atau kadang-
kadang tidak memiliki modus sama sekali. Hal ini terlihat pada contoh berikut :
a. Data 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7 mempunyai modus 6. Sebab nilai datum 6 paling sering muncul, yaitu sebanyak 3
kali. b. Data 4, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10 mempunyai modus 7 dan 8.
Sebab nilai datum 7 dan 8 secara bersamaan paling sering muncul, yaitu sebanyak 2 kali.
c. Data 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13 tidak mempunyai modus. Sebab dari data ini tidak mempunyai nilai datum yang paling
sering muncul. Dari contoh di atas tampak bahwa :
Ada data yang hanya mempunyai satu modus, maka
disebut unimodus, jika ada data yang mempunyai dua modus, disebut maka bimodus, dan ada pula data yang
mempunyai lebih dari dua modus maka disebut
mulitimodus.
Ada data yang sama sekali tidak mempunyai modus.
3. Median Median untuk data tunggal adalah suatu nilai yang membagi
data menjadi dua bagian yang sama banyaknya setelah data tersebut diurutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar.
Misalnya terdapat data
, ,
, …,
dengan
, …
.
Tabel 2.3 Rumus Median untuk Data Tunggal
Ukuran Data n Keterangan
Notasi
Ganjil Median adalah nilai data ke-
=
Genap Median adalah setengah dari
jumlah nilai data ke- dan nilai data ke-
+ 1
atau median
adalah rataan dari nilai data ke- dan nilai data ke-
+ 1 =
1 2
+
Contoh: Tentukan median dari setiap data berikut :
a 9, 5, 10, 4, 7 b 12, 11, 7, 8, 6, 13, 9, 10
Jawab : a Nilai data setelah diurutkan dari yang terkecil :
4 5 7 9 10 Nilai-nilai dalam data yang telah diurutkan dengan ukuran
data n = 5 sehingga data tersebut berukuran ganjil. Maka median dapat dicari :
= =
= 7
Dalam bentuk bagan, median dari data di atas dapat digambarkan sebagai berikut
Gambar 2.1 Ilustrasi Menentukan Median Data Tunggal Nilai Ganjil
4 5
7 9
10
Jadi, median dari data tersebut adalah
= 7
b Nilai data setelah diurutkan dari yang terkecil : 6 7 8 9 10 11 12 13
Nilai-nilai dalam data yang telah diurutkan dengan ukuran data n = 8 sehingga data tersebut berukuran genap. Maka
median dapat dicari :
= 1
2 +
= 1
2 +
= 1
2 9 + 10
= 9,5
Dalam bentuk bagan, median dari data di atas dapat digambarkan sebagai berikut
Nilai yang ditengah, median = = 7
Gambar 2.2 Ilustrasi Menentukan Median Data Tunggal Nilai Genap
6 7
8 9
● 10 11
12 13
b. Ukuran Letak Data Ukuran letak data yang biasanya akan dipelajari di tingkat SMA
adalah kuartil dan desil. 1. Kuartil
Kuartil adalah nilai yang membagi data menjadi empat bagian yang sama banyak, setelah data tersebut diurutkan dari data yang
terkecil hingga data yang terbesar. Terdapat tiga buah kuartil, yaitu :
Kuartil pertama atau kuartil bawah dilambangkan membagi data menjadi bagian dan bagian.
Kuartil kedua atau kuartil tengah atau median dilambangkan membagi data menjadi bagian dan bagian
Kuartil ketiga atau kuartil bawah dilambangkan membagi data menjadi bagian dan bagian.
Misalkan suatu data dengan ukuran n disajikan dalam bentuk statistik jajaran
, ,
, …, ,
,
letak atau lokasi kuartil
= 1
2
4
+
5
= 1
2
9 + 10
= 9,5 =
1 2
4
+
5
= 1
2
9 + 10
= 9,5 =
1 2
4
+
5
= 1
2
9 + 10
= 9,5
pertama , kuartil kedua, dan kuartil ketiga dari data tersebut dapat ditunjukan dengan menggunakan bagan sebagai berikut :
Gambar 2.3 Letak Kuartil dari Data Tunggal
Cara menentukan kuartil-kuartil dari data tunggal adalah sebagai berikut :
a Mengurutkan data dari nilai yang terkecil hingga yang terbesar.
b Menentukan median atau kuartil kedua c Menentukan nilai kuartil pertama
. Nilai ini ditentukan sebagai median semua nilai data yang kurang dari
d Menentukan nilai kuartil pertama . Nilai ini ditentukan
sebagai median semua nilai data yang lebih dari Contoh :
Tentukan kuartil pertama , kuartil kedua
,
dan kuartil ketiga
dari data berikut 1 18, 9, 1, 21, 1, 6, 14
2 4, 4, 7, 8, 7, 4, 8, 4, 9, 10, 8, 3, 5, 12
● ●
● ●
1 4
3 4
2 4
Jawab : 1 Nilai data setelah diurutkan dari yang terkecil :
1 1 6
9 14
18 21
= 1 + 6
2 = 3,5
= 9 =
14 + 18 2
= 16
2 Nilai data setelah diurutkan dari yang terkecil : 3 4 4 4 4 5 7 7 8 8 8 9 10 12
= 4 =
7 + 7 2
= 7 = 8
2. Desil Desil adalah nilai yang membagi data menjadi sepuluh bagian
yang sama banyak setelah data tersebut diurutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar. Untuk statistik jajaran dengan
ukuran data n 10, dapat ditentukan sembilan buah nilai yang membagi statistik jajaran itu menjadi 10 bagian yang sama.
Kesembilan buah nilai itu disebut desil, yaitu : Desil pertama
, mempartisi data menjadi bagian dan bagian
Desil pertama , mempartisi data menjadi bagian dan
bagian . . . . . ,
Desil pertama , mempartisi data menjadi bagian dan
bagian Dan seterusnya ..
c. Ukuran Penyebaran Data Ukuran penyebaran data atau ukuran dispersi menunjukan seberapa
besar nilai-nilai dalam suatu data memiliki nilai yang berbeda. Beberapa ukuran penyebaran data yang akan dibahas adalah
jangkauan atau rentang, jangkauan antar kuartil, simpangan kuartil, langkah, pagar dalam, pagar luar, serta ragam dan simpangan baku.
1. Jangkauan Jangkauan adalah ukuran penyebaran data yang sederhana.
Selisih antara nilai terbesar statistik maksimum dengan nilai terkecil statistik minimum . Jangkauan juga dapat disebut
dengan rentang, atau range. Jangkauan dapat dinotasikan sebagai berikut :
= =
− 2. Hamparan
Hamparan adalah selisih antara kuartil ketiga dengan kuartil
pertama . Hamparan juga dapat disebut dengan hampiran,
rentang antar kuartil, jangkauan antar kuartil. Hamparan dapat dinotasikan sebagai berikut :
=
− 3. Simpangan kuartil
Simpangan kuartil adalah setengah kali panjang hamparan. Simpangan kuartil juga dapat disebut dengan rentang semi
antar kuartil. Simpangan kuartil dapat dinotasikan sebagai berikut :
= 1
2 =
1 2
− 4. Langkah
Langkah adalah satu setengah kali panjang satu hamparan. Langkah dapat dinotasikan sebagai berikut :
= 1 1
2 = 1
1 2
− 5. Pagar Dalam dan Pagar Luar
Pagar dalam adalah sebuah nilai yang letaknya satu langkah di bawah kuartil pertama
. Pagar dalam dapat dinotasikan sebagai berikut :
=
− Pagar luar adalah sebuah nilai yang letaknya satu langkah di
atas kuartil ketiga . Pagar luar dapat dinotasikan sebagai
berikut :
= +
Pagar dalam dan pagar luar digunakan sebagai batas penentu normal atau tidaknya nilai data. Suatu nilai data dapat
dinyatakan normal atau tidak normal jika memenuhi syarat sebagai berikut :
a Untuk tiap nilai data yang terletak di antara batas-batas
pagar-dalam dan pagar-luar − ≤
≤
+
disebut data normal. Data disebut normal jika nilai data yang satu
dengan nilai data yang lain tidak jauh berbeda. b Untuk tiap nilai data
yang kurang dari pagar dalam
+
merupakan data tak normal. Data yang tak normal ini disebut juga pencilan. Jadi, jelas bahwa data
pencilan adalah data yang tidak konsisten dalam kelompoknya.
Keberadaan data yang tak normal atau pencilan pada suatu kumpulan data akan menimbulkan kecurigaan. Sehingga
pencilan itu perlu dikaji secara seksama, apa yang menjadi penyebabnya.
Ada beberapa kemungkinan penyebab munculnya data pencilan dalam suatu kumpulan data, di antaranya sebagai berikut :
a Terjadinya kesalahan ketika mencatat nilai data b Terjadinya kesalahan ketika melakukan pengukuran,
kesalahan ketika membaca alat ukur, atau kesalahan ketika menggunakan alat ukur.
c Bukan salah catat dan bukan salah ukur, tetapi data itu memang diperoleh dari objek yang aneh anomali atau
menyimpang. Data tersebut dinamakan sebagai data yang berbeda asal.
6. Statistik Lima Serangkai Statistik lima serangkai adalah lima buah nilai statistik setelah
data diurutkan dari data terkecil hingga data terbesar, yaitu statistik ekstrim yaitu statistik minimum
dan statistik maksimum
dan kuartil-kuartil kuartil pertama ,
kuartil kedua , dan kuartil ketiga
yang merupakan lima buah nilai statistik yang dapat menentukan statistik jajaran
suatu data. Statistik lima serangkai dapat ditampilkan dalam bentuk bagan
seperti berikut :
Gambar 2.4 Posisi Statistika Lima Serangkai
● ●
● ●
●
Contoh : Hasil pengukuran berat badan dalam kg dari 14 bola logam
dengan diameter sama adalah : 7,0 5,6 6,1 7,2 6,9 6,7 5,4 6,0 6,5 5,7 6,2 6,3 5,9 6,6
Tentukan statistik lima serangkainya Statistik jajaran untuk data itu adalah sebagai berikut :
5,4 5,6 5,7 5,9 6,0 6,1 6,2 6,3 6,5 6,6 6,7 6,9 7,0 7,2 Statistik minimum =
=
= 5,4
Statistik maksimum = =
= 7,2
5,4 5,6 5,7 5,9 6,0 6,1 6,2 ● 6,3 6,5 6,6 6,7 6,9 7,0 7,2
= 5,9 =
6,2 + 6,3 2
= 6,25 = 6,7
Jadi, statistik lima serangkainya adalah
= 5,4 =
7,2 = 5,9
= 6,25 = 6,7
. 7. Simpangan Rata-rata
Simpangan rata-rata juga dapat disebut dengan istilah deviasi rata-rata. Simpangan rata-rata merupakan ukuran penyebaran
data terhadap rataan hitungnya. Simpangan rata-rata dapat disimbolkan dengan SR. SR untuk data tunggal dapat
ditentukan dengan rumus seperti berikut :
= 1
|
− ̅
|
Keterangan : = banyaknya data
= nilai data ke- i ̅ = rataan hitung
Contoh : Tentukan simpangan rata-rata dari data : 1, 3, 4, 5, 8, 10, 12, 13
Jawab :
= 8
̅
= 1 + 3 + 4 + 5 + 8 + 10 + 12 + 13
8 =
56 8
= 7
= 1
8 |1
−
7| + |3
−
7| + |4
−
7| + |5
−
7| + |8
−
7| + |10
−
7| + |12
−
7| + |13
−
7|
= 6 + 4 + 3 + 2 + 1 + 3 + 5 + 6
= 3,75
Jadi, simpangan rata-rata dari data di atas adalah 3,75 8. Ragam dan Simpangan Baku
Ukuran penyebaran data yang mempunyai hubungan dengan nilai rata-rata dari suatu data adalah ragam dan simpangan
baku. Misalkan
̅ adalah rataan dari data tunggal
, ,
, …,
, maka :
Ragam atau variansi data itu adalah :
= 1
− ̅
Simpangan baku atau standar deviasi data itu adalah :
= =
1
− ̅
Keterangan : = ukuran data
= nilai dat ke- i ̅ = nilai rataan
46
Contoh : Tentukan ragam dan simpangan baku dari data : 1, 3, 4, 5, 10,
12, 13 Jawab :
= 8
̅
= 1 + 3 + 4 + 5 + 10 + 12 + 13
8 =
48 8
= 6
=
∑ − ̅
= 1
−
6 + 3
−
6 + 4
−
6 + 5
−
6 + 10
−
6 + 12
−
6 + 13
−
6 8
=
−
5 +
−
3 +
−
2 +
−
1 + 4 + 6 + 7 8
= 25 + 9 + 4 + 1 + 16 + 49
8 =
104 8
= 13 =
=
√
13 = 3,61
Jadi, data tersebut mempunyao ragam 13 dan simpangan baku 3,61
2. Materi Data kelompok
