46
Contoh : Tentukan ragam dan simpangan baku dari data : 1, 3, 4, 5, 10,
12, 13 Jawab :
= 8
̅
= 1 + 3 + 4 + 5 + 10 + 12 + 13
8 =
48 8
= 6
=
∑ − ̅
= 1
−
6 + 3
−
6 + 4
−
6 + 5
−
6 + 10
−
6 + 12
−
6 + 13
−
6 8
=
−
5 +
−
3 +
−
2 +
−
1 + 4 + 6 + 7 8
= 25 + 9 + 4 + 1 + 16 + 49
8 =
104 8
= 13 =
=
√
13 = 3,61
Jadi, data tersebut mempunyao ragam 13 dan simpangan baku 3,61
2. Materi Data kelompok
Materi data kelompok yang akan dipelajari pada penelitian ini adalah sebagai berikut Sartono, 2007 dan Murniati, 2007 :
a. Ukuran pemusatan Data Pemusatan data merupakan nilai tunggal yang mewakili semua data
atau kumpulan pengamatan dimana nilai tersebut menunjukan pusat data. Pemusatan data terdiri dari rata-rata, data yang paling sering
muncul, dan nilai tengah suatu data. Selanjutnya rata-rata sering disebut dengan istilah mean, data paling sering muncul disebut
dengan istilah modus, sedangkan nilai tengah dari suatu data disebut dengan istilah median.
1. Rata-rata mean Rataan dari suatu data yang disajikan dalam bentuk tabel
distribusi frekuensi untuk data tunggal maupun berkelompok dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut :
̅
=
∑ ∑
Dengan : menyatakan frekuensi untuk nilai data ke- i ∑
=
menyatakan ukuran data Untuk data yang disajikan dalam bentuk tabel distribusi
frekuensi berkelompok, maka menyatakan nilai titik tengah
dan r menyatakan banyak kelas. Maka dalam data berkelompok dapat dinotasikan sebagi berikut :
̅
=
∑ ∑
Keterangan :
=
ℎ
= =
Contoh 1 Tentukan rataan dari data yang disajikan dengan tebel distribusi
frekuensi tunggal berikut ini.
Tabel 2.4 Contoh Data untuk Mencari Mean Data Kelompok pada Contoh 1
Nilai ulangan Frekuensi
2 2
4 3
4 12
4 5
20 5
8 40
6 11
66 7
6 42
8 4
32
= 40 = 216
Jawab : Berdasarkan tabel di atas, diperoleh :
∑
= = 40
dan ∑
= 216
Maka ̅
=
∑ ∑
= = 5,4
Contoh 2 Tentukan rataan dari data yang disajikan dengan tebel distribusi
frekuensi berkelompok berikut ini.
Tabel 2.5 Contoh Data untuk Mencari Mean Data kelompok pada Contoh 2
Hasil pengukuran dalam mm
Titik tengah Frekuensi
119 – 127 123
3 369
128 – 136 132
6 792
137 – 145 141
10 1.410
146 – 154 150
11 1.650
Hasil pengukuran dalam mm
Titik tengah Frekuensi
155 – 163 159
5 795
164 – 172 168
3 504
173 – 181 177
2 354
= 40 = 5.874
Jawab : Berdasarkan tabel di atas, diperoleh :
∑
= = 40
dan ∑
= 5.874
Maka ̅
=
∑ ∑
=
.
= 146,85
2. Modus Nilai modus untuk data yang disajikan dalam daftar distribusi
frekuensi berkelompok tidak dapat tepat, akan tetapi hanya merupakan nilai pendekatan. Modus untuk data berkelompok
dapat ditentukan dengan rumus berikut :
= +
+
Keterangan : = tepi bawah kelas modus
= selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya
= panjang kelas Contoh :
Tentukan nilai modus dari data yang disajikan dalam tabel distribusi frekuensi berikut ini.
Tabel 2.6 Contoh Data untuk Menentukan Modus Data Kelompok
Nilai Titik tengah
Frekuensi 55 – 59
57 6
60 – 64 62
8 65 – 69
67 16
70 – 74 72
10 74 – 79
77 6
80 - 84 82
4
Jawab : Dari tabel di atas dapat ditetapkan :
Kelas modus terletak pada interval 65 – 69 karena memiliki frekuensi terbesar, yaitu 16 ,
tepi bawah frekuensi kelas modus = 64,5 panjang kelas c =69,5 – 64,5 = 5
selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
= 16
−
8 = 8
selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya
= 16
−
10 = 6
Maka dapat dicari,
= +
= 64,5 + 8
8 + 6 5
= 67,36
3. Median Median adalah suatu nilai yang membagi data menjadi dua
bagian yang sama banyaknya setelah data tersebut diurutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar. Median untuk data
berkelompok dapat ditentukan dengan rumus berikut :
= +
1 2
−
Keterangan : = tepi bawah kelas median
= banyaknya data = frekuensi kumulatif sebelum kelas median
= frekuensi kelas median = panjang kelas
Contoh : Tentukan nilai median dari data yang disajikan dalam tabel
distribusi frekuensi berikut ini.
Tabel 2.7 Contoh Data untuk Menentuka Median Data Kelompok
Skor Frekuensi
Frekuensi kumulatif 40 – 49
1 1
50 – 59 4
5 60 – 69
8 13
70 – 79 14
27 80 – 89
10 37
90 – 99 3
40
Jawab : Dari tabel di atas dapat ditetapkan :
Panjang kelas = 10
= 40
→
= 40 = 20
Kelas median adalah 70 – 79 = 69,5
Maka dapat dicari,
= +
1 2
−
= 69,5 + 1
2 40
−
13 14
10
= 69,5 + 20
−
13 14
10 = 69,5 +
7 14
10 = 69,5 + 5 = 74,5
b. Ukuran Letak Data Kuartil adalah nilai yang membagi data menjadi empat bagian yang
sama banyak, setelah data tersebut diurutkan dari data yang terkecil hingga data yang terbesar. Terdapat tiga buah kuartil, yaitu :
Kuartil pertama atau kuartil bawah dilambangkan membagi
data menjadi bagian dan bagian. Kuartil kedua atau kuartil tengah atau median dilambangkan
membagi rdata menjadi bagian dan bagian
Kuartil ketiga atau kuartil bawah dilambangkan membagi
data menjadi bagian dan bagian. Maka untuk mencari kuartil bawah, kuartil tengah, dan kuartil atas
dalam data berkelompok dapat dirumuskan sebagai berikut :
ℎ
= =
+ 1
4
−
ℎ
= =
+ 1
2
−
= =
+ 3
4
−
Keterangan : = tepi bawah kelas kuartil
= banyaknya data = frekuensi kumulatif sebelum kelas yang nilainya di bawah
kelas kuartil = frekuensi kelas kuartil
= panjang kelas Contoh :
Tentukan nilai kuartil bawah, kuartil tengah, dan kuartil atas dari data yang disajikan dalam tabel distribusi frekuensi berikut ini.
Tabel 2.8 Contoh Data untuk Menentukan Kuartil pada Data Kelompok
Skor Frekuensi
Frekuensi kumulatif 40 – 49
1 1
50 – 59 4
5 60 – 69
8 13
Skor Frekuensi
Frekuensi kumulatif 70 – 79
14 27
80 – 89 10
37 90 – 99
3 40
Jawab :
= 10 = 40
1 4
= 1
4 40 = 10
1 2
= 1
2 40 = 20
= 40 = 3
Kelas adalah 60 – 69, kelas
adalah 70 – 79, dan kelas adalah 80 – 89.
= +
= 59,5 + 10
−
5 8
10 = 59,5 +
5 8
10 = 59,5 + 6,25
= 65,75 =
+ = 69,5 +
20
−
13 14
10 = 69,5 +
7 14
10 = 69,5 + 5
= 74,5
= +
3 4
−
= 79,5 + 30
−
27 10
10 = 79,5 +
3 10
10 = 79,5 + 3
= 82,5
c. Ukuran Penyebaran Data Ukuran penyebaran data atau ukuran dispersi menunjukan seberapa
besar nilai-nilai dalam suatu data memiliki nilai yang berbeda. Beberapa ukuran penyebaran data yang akan dibahas dalam data
berkelompok adalah rentang antar kuartil, simpangan kuartil, simpangan rata-rata, ragam, dan simpangan baku.
1. Rentang antar kuartil Hamparan adalah selisih antara kuartil ketiga
dengan kuartil pertama
. Hamparan juga dapat disebut dengan hampiran, rentang antar kuartil, jangkauan antar kuartil. Hamparan dapat
dinotasikan sebagai berikut :
=
− 2. Simpangan kuartil
Simpangan kuartil adalah setengah kali panjang hamparan. Simpangan kuartil juga dapat disebut dengan rentang semi antar
kuartil. Simpangan kuartil dapat dinotasikan sebagai berikut :
= 1
2 =
1 2
− 3. Simpangan rata-rata
Simpangan rata-rata juga dapat disebut dengan istilah deviasi rata- rata. Simpangan rata-rata merupakan ukuran penyebaran data
terhadap rataan hitungnya. Simpangan rata-rata dapat disimbolkan dengan SR. SR untuk data kelompok dapat ditentukan dengan
rumus seperti berikut :
= 1
|
− ̅
|
Keterangan : = banyaknya kelas
= titik tengah kelas ke- i ̅ = rataan hitung
=
Contoh : Tentukan simpangan rata-rata dari data di bawah ini :
Tabel 2.9 Contoh Data untuk Menentukan Simpangan Rata- Rata Data Kelompok
Skor Frekuensi
40 – 49 1
50 – 59 4
60 – 69 8
70 – 79 14
80 – 89 10
90 – 99 3
Jawab : Dari tabel di atas maka harus dicari terlebih dahulu nilai rata-rata
selanjutnya barulah mencari simpangan rata-rata, maka tabel distribusi frekuensi tersebut harus dilengkapi.
Tabel 2.10 Contoh Tabel Distribusi Frekuensi untuk Menentukan Simpangan Rata-Rata pada tabel 2.9
Skor
|
−
| |
−
|
40 – 49 1
44,5 44,5
29,25 29,25
50 – 59 4
54,5 218
19,25 77
60 – 69 8
64,5 516
9,25 74
70 – 79 14
74,5 1043
0,75 10,5
80 – 89 10
84,5 845
10,75 107,5
90 – 99 3
94,5 283,5
20,75 62,25
40 2950
360,5
̅
=
∑ ∑
= 2950
40 = 73,75
= |
−
| =
360,5 40
= 9,0125
4. Ragam dan Simpangan Baku Ukuran penyebaran data yang mempunyai hubungan dengan nilai
rata-rata dari suatu data adalah ragam dan simpangan baku. Untuk data berkelompok, nilai ragam dan simpangan baku dapat
ditentukan dengan rumus :
= =
1
− ̅
Keterangan :
=
−
=
ℎ −
=
̅
=
ℎ Simpangan baku dapat dicari dengan akar dari ragam, sehingga
dapat ditentukan dengan rumus :
= =
1
− ̅
Contoh : Tentukan simpangan baku dari data pada tabel di bawah ini :
Tabel 2.11 Contoh Tabel untuk Menentukan Simpangan Baku Data Kelompok
Skor Frekuensi
40 – 49 1
50 – 59 4
60 – 69 8
70 – 79 14
80 – 89 10
90 – 99 3
Jawab : Dari tabel di atas maka harus dicari terlebih dahulu nilai rata-rata
dan ragam selanjutnya barulah mencari simpangan baku, maka tabel distribusi frekuensi tersebut harus dilengkapi.
Tabel 2.12 Contoh Tabel Distribusi Frekuensi untuk Menentukan Simpangan Baku pada tabel 2.11
Skor
− −
40 – 49 1
44,5 44,5
855,56 855,56
50 – 59 4
54,5 218
370,56 1482,25
60 – 69 8
64,5 516
85,56 684,48
70 – 79 14
74,5 1043
0,56 7,88
80 – 89 10
84,5 845
115,56 1155,63
90 – 99 3
94,5 283,5
430,56 1291,69
40 2950
5477,49
̅
=
∑ ∑
= 2950
40 = 73,75
= 1
40 5477,49 = 136,94
Jadi,
=
√
136,94 = 11,70
H. Kerangka Berpikir
