16
pengkajian bagian-bagian yang dikenal dan secara bertahap menuju bagian yang lebih kompleks. Dari berbagai pendapat tersebut, secara garis besar matematika
dapat dipandang sebagai suatu bidang ilmu yang dikaji secara bertahap sekaligus sebagai alat berfikir untuk membantu manusia menyelesaikan berbagai
permasalah dalam kehidupan sehari-hari. Matematika sebagai ilmu pengetahuan membutuhkan proses pembelajaran
sebagai wadah untuk membangun pengetahuan di benak siswa. Dalam proses pembelajaran matematika terjadi proses pembentukkan pengetahuan matematika.
Menurut Cobb Erman, 2001:71 dalam proses belajar matematika siswa secara aktif mengkonstruksi pengetahuan matematika.
Berdasarkan dari beberapa pendapat ahli tersebut, maka pembelajaran matematika dapat dimaknai sebagai wadah untuk mengkonstruksi pengetahuan
matematika siswa yang didorong oleh guru melalui komunikasi antara siswa dengan guru maupun siswa dengan siswa untuk mencapai tujuan pembelajaran
yakni mengembangkan potensi siswa dalam bidang matematika.
b. Materi Peluang Untuk Siswa SMK Bidang Keahlian Bisnis dan
Manajemen
Mata pelajaran matematika termasuk dalam kelompok mata pelajaran wajibpokok. Mata pelajaran matematika di SMK Bisnis dan Manajemen
khususnya untuk program keahlian akuntansi memuat 11 Standar Kompetensi SK. Salah satu materi yang wajib diajarkan adalah materi peluang. Peluang
merupakan materi yang diajarkan pada siswa SMK berdasarkan standar kompetensi dan kompetensi dasar sebagai berikut:
17
Tabel 2. Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar Materi Peluang Pada SMK Kelas XI
Standar Kompetensi Kompetensi Dasar
9. Memecahkan masalah dengan konsep teori
peluang 9.1
Mendeskripsikan kaidah pencacahan, permutasi, dan
kombinasi 9.2
Menghitung peluang suatu kejadian
BSNP, 2006:129 Materi peluang yang diajarkan pada SMK kelas XI semester dua mencakup
2 materi utama yakni kaidah pencacahan dan peluang. Materi tersebut dapat dijabarkan sebagai berikut:
1 Kaidah Pencacahan, Permutasi dan Kombinasi
a Aturan Penjumlahan
Jika kegiatan pertama dapat diselesaikan dengan k
1
cara, kegiatan kedua dapat dikerjakan dengan k
2
cara, dan seterusnya sampai dengan kegiatan ke- n dapat dikerjakan dengan k
n
cara, serta semua kegiatan tidak dapat dilakukan secara bersamaan atau berkelanjutan maka banyak kemungkinan
cara untuk menyelesaikan semua kegiatan tersebut adalah K, dimana;
Konsep aturan penjumlahan dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan bidang bisnis dan manajemen. Salah satunya adalah
masalah perhitungan banyaknya barang yang terjual di beberapa toko berbeda. Contoh, Pak Ahong memiliki 5 toko alat tulis. Pak Ahong ingin
mengecek persedian pensil yang ada di tokonya. Jika terdapat 12 lusin
18
pensil di toko pertama, 10 lusin pensil di toko kedua, 5 lusin pensil di toko ketiga, 2 lusin pensil di toko keempat, dan 6 lusin pensil di toko kelima.
Maka banyaknya pensil di toko Pak Ahong adalah:
Jadi, terdapat 35 lusin pensil di toko Pak Ahong. b
Aturan Perkalian Jika kegiatan pertama dapat dikerjakan dengan k
1
cara, diikuti kegiatan kedua yang dapat dikerjakan dengan k
2
cara dan seterusnya sampai dengan kegiatan ke-n yang dapat dikerjakan dengan k
n
cara, serta semua kegiatan dapat dilakukan secara bersamaan atau berkelanjutan maka banyak
kemungkinan cara untuk menyelesaikan kegiatan tersebut adalah K, dimana;
Konsep aturan perkalian dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan bidang bisnis dan manajemen. Misal,
perhitungan banyaknya nomor rekening yang dapat dibuat oleh bank yang menggunakan beberapa digit nomor.
c Notasi Faktorial
Hasil kali bilangan asli berurutan disebut faktorial. Hasil kali n bilangan asli
pertama disebut n faktorial dan ditulis dengan notasi n. Untuk setiap
bilangan asli n, maka n faktorial didefinisikan sebagai berikut;
19
d Permutasi
Permutasi n objek adalah semua susunan berbeda yang terdiri atas n objek dengan memperhatikan urutan. Permuatsi ini dinyatakan dengan notasi
. Permutasi dibagi menjadi 4 macam sebagai berikut.
i. Permutasi n objek dari n objek yang berlainan.
Banyak permutasi n objek dari n objek berlainan dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut.
Konsep permutasi n objek dari n objek berlainan dapat ditemui dalam kehidupan sehari-hari, khususnya pada bidang bisnis dan manajemen.
Misalnya penentuan banyaknya kode produksi yang dapat dibuat dari 5 digit angka terdiri dari angka 1-5 tanpa pengulangan. Banyaknya
kode dapat dihitung menggunakan rumus permutasi n objek dari n objek berlainan sebagai berikut.
Jadi, terdapat 120 kode produksi yang dapat dibuat dari 5 digit angka terdiri dari angka 1-5 tanpa pengulangan.
ii. Permutasi r objek dari n objek yang berlainan.
Banyak permutasi r objek yang diambil dari n objek yang berlainan dirumuskan:
20
Konsep permutasi semacam ini dapat ditemui dalam bidang bisnis dan manajemen. Contoh, untuk menentukan banyak susunan nama calon
ketua CEO dan manajer yang mungkin di sebuah perusahaan jika terdapat 5 nama calon yang tersedia, maka dapat dihitung
menggunakan rumus permutasi r objek dari n objek yang berlainan seperti berikut.
Jadi, terdapat 20 susunan nama calon ketua CEO dan manajer yang mungkin terbentuk.
iii. Permutasi dengan beberapa objek yang sama.
Misalkan dari n unsur yang tersedia, terdapat n
1
unsur yang sama, n
2
unsur yang sama, n
3
unsur yang sama sampai n
k
unsur yang sama, maka banyaknya permutasi dari n unsur tersebut dapat ditentukan
dengan rumus:
Beberapa masalah di kehidupan sehari-hari dapat diselesaikan menggunakan konsep permutasi semacam ini. Contoh untuk
menghitung banyaknya susunan iklan produk yang ditayangkan di televisi berdasarkan jenis produknya. Misal, sebuah acara di salah satu
stasiun tv menanyangkan 5 iklan produk di setiap jeda acara sebagai
21
bentuk promosi dari sponsor acara. Jika 5 iklan tersebut terdiri dari 2 iklan produk makanan, 1 iklan produk rokok, dan 2 iklan produk
kecantikan, maka banyak susunan iklan berdasarkan jenisnya yang dapat ditayangkan dapat dihitung dengan rumus permutasi dengan
beberapa objek yang sama seperti berikut.
Jadi, terdapat 30 susunan iklan yang mungkin dapat ditayangkan. iv.
Permutasi siklis. Jika tersedia n unsur yang berbeda, maka banyaknya permutasi siklis
yang mungkin dapat ditentukan menggunakan rumus:
Konsep permutasi seperti ini dapat ditemui dalam penyelesaian masalah yang berkaitan dengan kehidupan sehari-hari. Contoh
menghitung banyaknya susunan tempat duduk 4 orang yang duduk melingkari sebuah meja budar. Banyaknya susunan dapat dihitung
dengan rumus permutasi siklis sebagai berikut.
Jadi, terdapat 6 susunan tempat duduk melingkar dari keempat orang tersebut.
22
e Kombinasi
Kombinasi juga merupakan bagian dari aturan perkalian. Kombinasi merupakan suatu susunan objek-objek yang tidak memperhatikan urutan.
Kombinasi r objek yang diambil dari n objek yang berbeda dinotasikan dengan
dan banyaknya dapat ditentukan dengan rumus:
Konsep kombinasi mudah ditemukan dalam masalah kehidupan sehari-hari, khususnya yang berkaitan dengan bisnis dan manajemen. Salah satunya
adalah penggunaan konsep kombinasi untuk menghitung banyaknya menu yang mungkin dijual oleh toko es krim.Contoh, sebuah toko menjual es krim
dengan 3 rasa yang berbeda untuk setiap cone. Jika di toko tersebut tersedia 5 rasa es krim yang berbeda, maka banyak kombinasi es krim yang mungkin
dijual dapat dihitung sebagai berikut.
Jadi, terdapat 10 kombinasi es krim 3 dari 5 rasa yang dapat dijual toko tersebut.
2 Peluang Suatu Kejadian
a Ruang Sampel, Kejadian, dan Titik Sampel
Bain Engelhardt 1991:2 mendefinisikan ruang sampel sebagai berikut. “The set of all possible outcomes of an experiment is called sample space,
denoted by S”.
23
Maksud dari pernyataan tersebut adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari sebuah percobaan disebut ruang sampel dan dinotasikan
dengan S. Banyaknya anggota ruang sampel dinotasikan dengan nS. Sedangkan titik
sampel adalah anggota dari ruang sampel. Kejadian merupakan himpunan bagian dari ruang sampel. Konsep ruang sampel, titik sampel, dan kejadian
sangat mudah ditemui dalam kehidupan sehari-hari. Contohnya seorang pebisnis ingin melakukan percobaan menjual sepetak tanah. Ruang sampel
dari percobaan tersebut, yakni sebagai berikut.
Setiap anggota dari S, yaitu berhasil menjual dan gagal menjual, dinamakan titik sampel. Sedangkan salah satu kejadian yang mungkin dari
percobaan tersebut adalah pebisnis berhasil menjual sepetak tanah. b
Peluang Suatu Kejadian Jika kejadian A terjadi dalam nA cara dari keseluruhan nS cara yang
mempunyai kemungkinan sama, maka peluang kejadian A dapat ditentukan dengan rumus berikut ini.
Dalam bidang bisnis, perhitungan peluang merupakan hal penting untuk diperhatikan. Melalui konsep peluang suatu kejadian, seorang pebisnis dapat
menghitung peluang keberhasilan bisnis yang dijalankan. Hasil perhitungan dapat digunakan sebagai bahan pertimbangan untuk menentukan rencana
24
bisnis yang akan dijalankan. Contoh, 2 perusahaan yang bergerak di bidang konsultan properti sedang bersaing untuk memenangkan tender proyek
pembuatan perumahan. Jika perusahaan A menawarkan 2 konsep perumahan dan perusahaan B menawarkan 1 konsep perumahan yang akan
dibangun serta setiap konsep memiliki peluang yang sama untuk diterima, maka peluang untuk masing-masing perusahaan dalam memenangkan
tender dapat dihitung sebagai berikut. Peluang perusahaan A :
Peluang perusahaan B :
Sehingga, dapat dilihat bahwa perusahaan A memiliki peluang lebih besar untuk memenangkan tender dibanding perusahaan B.
c Frekuensi Harapan
Frekuensi harapan kejadian A dalam N percobaan dapat ditentukan dengan rumus berikut ini.
dengan PA = peluang kejadian A .
Frekuensi harapan juga disebut sebagai frekuensi relatif. Konsep frekuensi harapan suatu kejadian juga dapat ditemui dalam bidang bisnis dan
25
manajemen. Dalam bidang bisnis asuransi, perusahaan dapat menghitung biaya yang mungkin dikeluarkan untuk kliennya melalui perhitungan
frekuensi harapan. Misal, di sebuah daerah terdapat 10 anak yang terdaftar dalam perusahaan asuransi yang sama. Daerah tersebut sedang terjangkit
penyakit demam berdarah. Hasil survey menunjukkan bahwa peluang seorang anak terkena DBD adalah 0,3. Maka frekuensi relatif kesepuluh
anak tersebut terjangkit DBD dapat dihitung sebagai berikut:
Jadi, frekuensi relatif anak terkena DBD adalah 3. Dengan mengetahui hasil perhitungan frekuensi ralatif tersebut, perusahaan dapat memperkirakan
biaya yang dikeluarkan untuk membayar biaya kesehatan kliennya. d
Peluang Kejadian Majemuk Kejadian majemuk adalah gabungan dari dua atau lebih kejadian. Terdapat
tiga peluang kejadian majemuk yang dapat dipelajari yakni peluang komplemen suatu kejadian, peluang kejadian saling bebas dan peluang
kejadian saling lepas. i.
Peluang komplemen suatu kejadian Dalam sebuah percobaan terkadang terdapat dua kejadian yang saling
berkebalikan. Contohnya dalam bidang bisnis, seorang pebinis dapat mengalami kejadian untung atau kejadian rugi. Kedua kejadian ini
merupakan dua kejadian yang saling berkebalikan. Dalam matematika kejadian untung dapat dikatakan sebagai komplemen dari kejadian
rugi. Jika terdapat peluang suatu kejadian, misal PE, maka peluang
26
komplemen kejadian, yakni PE
c
tersebut dapat dihitung dengan rumus sebagi berikut.
ii. Peluang dua kejadian saling bebas
Susana 2004:381 dalam bukunya mengemukakan bahwa. “If A and B are events in a sample space S, then A and B are
independent if, and only if, ”
Berdasarkan pendapat tersebut, maka dua kejadian dikatakan saling bebas jika dan hanya jika,
Konsep peluang dua kejadian dapat ditemukan dalam permasalahan yang berkaitan dengan Bisnis dan Manajemen. Contohnya, dalam
pemilihan ketua dan wakil ketua CEO pada sebuah perusahaan. Terdapat 5 kandidat, yakni Bapak Zainudin, Bapak Alfa, Bapak Budi
mencalonkan diri menjadi ketua, sedangkan Ibu Sarah dan Bapak Yuda mencalonkan diri menjadi wakil ketua. Dengan menggunakan
konsep peluang dua kejadian saling bebas dapat ditentukan peluang terpilihnya Bapak Alfa sebagai ketua dan Ibu Sarah sebagai wakil
ketua.
27
Jadi, peluang terpilihanya Bapak Alfa sebagai ketua dan Ibu Sarah sebagai wakil ketua adalah
. iii.
Peluang dua kejadian saling lepas Peluang dua kejadian saling lepas, misal kejadian A dan B, dapat
dihitung dengan rumus sebagai berikut.
Konsep peluang dua kejadian saling lepas juga dapat ditemukan dalam permasalahan yang berkaitan dengan Bisnis dan Manajemen.
Contohnya, jika diketahui peluang seorang calon pegawai yang diterima merupakan lulusan S1 ekonomi adalah
dan peluang seorang calon pegawai yang diterima merupakan lulusan S1 akuntansi adalah
maka dapat ditentukan peluang calon pegawai lulusan S1 ekonomi atau akuntansi sebagai berikut.
Jadi, peluang calon pegawai lulusan S1 ekonomi atau akuntansi yang mungkin diterima adalah
Materi peluang diberikan pada siswa SMK bidang keahlian Bisnis dan Manajemen kelas XI pada semester 2. Materi tersebut dapat dikembangkan
melalui sumber belajar yang tepat guna mendukung dan mengefektifkan
28
pembelajaran. Ilmu peluang dapat membantu para pelaku bisnis dalam menentukan keputusan yang akan diambil untuk menjalankan rencana bisnis. Ilmu
peluang yang diajarkan pada siswa SMK bidang keahlian Bisnis dan Manajemen kelas XI adalah kaidah pencacahan, faktorial, permutasi dan kombinasi, peluang
suatu kejadian, frekuensi harapan, serta peluang kejadian majemuk.
c. Karakteristik Siswa SMK
