maksimum menghasilkan output dengan penggunaan input tertentu yang dinyatakan dalam bentuk,
Y
i
= fx
i
; , i = 1,2, . . .N ........................................................3.3 Dimana y
i
adalah output, x
i
adalah vektor input dan adalah vektor parameter yang akan diestimasi. Pengamatan N perusahaan dilakukan secara cross section
dalam industri tertentu. Model ini memiliki kelemahan terutama terkait dengan adanya output yang bersifat pencilan outlier yaitu adanya observasi yang berada
di atas frontiernya. Padahal, dengan mengasumsikan bahwa produksi yang dihasilkan merupakan output maksimum yang dapat diperoleh maka seharusnya
tidak ada lagi observasi yang bersifat pencilan. Atas dasar inilah maka Schmidt 1976 menambahkan satu sisi gangguan one-sided disturbance sehingga
modelnya menjadi, Y
i
= fx
i
; + ε
i
i = 1,2, . . .N ..........................................3.4 Dimana
ε
i
≤ 0. Dengan memberikan asumsi distribusi untuk satu sisi gangguan, model dapat diestimasi dengan teknik maksimum likelihood. Dalam
penerapannya jika peubah ε
i
memiliki distribusi eksponensial maka pendugaan dapat dilakukan dengan linier programming dan sebaliknya bila
ε
i
memiliki distribusi half-normal maka metode pendugaan dengan quadratik programming
dapat dilakukan. Afriat 1972 telah memulai dengan metode frontier statistic deterministic
yang selanjutnya dikembangkan oleh Richmond 1974 dan Greene 1980. Metode ini menggunakan teknik statistika untuk mengestimasi frontier statistik
deterministik. Afriat 1972 dalam Coelli et al. 1998 menspesifikasi model yang serupa dengan persamaan lny
i
= x
i
- u
i
dengan pengecualian bahwa variabel acak u
i
diasumsikan memiliki suatu distribusi gamma dan parameter dari model yang diestimasi menggunakan metode maximum likelihood ML.
Dikemukakan juga oleh Richmond 1974 bahwa parameter model Afriat dapat juga diestimasi menggunakan suatu metode corrected ordinary least-square
COLS, metode ini menggunakan OLS parameter yang tidak bias untuk slope parameter, tetapi penduga OLS dari intercept
yang bias secara negatif, bias disesuaikan dengan menggunakan momen sampel dari distribusi kesalahan
pengganggu yang diperoleh residual OLS. Schmidt 1975 menunjukkan
estimator linier dan quadratik programming, didukung oleh Aigner dan Chu 1968 dapat menggunakan penduga ML jika u
i
s didistribusikan sebagai eksponensial atau setengah normal variabel acak secara berurutan.
Keuntungan dari penggunaan pendekatan frontier statistik deterministik adalah hasil analisis dapat diuji kelayakan statistiknya. Sementara itu, kelemahan
pendekatan ini terletak pada diperlukannya bentuk fungsisional tertentu dan semua penyimpangan dari frontier dikategorikan sebagai inefisiensi teknis.Satu
kritik utama dari model deterministik frontier tersebut adalah tidak memperhitungkan pengaruh kesalahan pengukuran dan gangguan lainnya
terhadap frontier. Semua deviasi dari frontier diasumsikan sebagai hasil dari inefisiensi teknis. Aigner dan Chu 1968 menyarankan untuk menghapus
persentase dari sampel usahatani yang sangat dekat dengan frontier yang diestimasi dan mengestimasi ulang frontier tersebut dengan menggunakan
reduced sample. Hal ini dikenal dengan pendekatan probabilistic frontier, namun belum banyak peneliti yang menggunakannya. Salah satu metode untuk
menghilangkan gangguan tersebut adalah pendekatan stokastik frontier.
3.4. Konsep Produksi frontir Stokastik
Penggunaan stochastic production frontier untuk pertama kali diperkenalkan oleh Aigner et al 1977 kemudian dikembangkan lebih lanjut oleh
Meeusen and Van den Broeck 1977. Fungsi produksi frontier mengacu kepada pengertian jumlah output maksimum yang dapat dihasilkan dengan menggunakan
faktor produksi dan teknologi tertentu. Perbedaan mendasar antara stokastik dengan deterministik adalah hadirnya satu komponen yang menjelaskan adanya
efek yang tidak terduga yang memungkinkan jumlah output yang dihasilkan dapat berada di atas garis batas produksinya Sirait, 2007.
Perbedaan penting lainnya di dalam produksi frontier selain istilah parametrik dan non parametrik adalah konsep deterministik dan stokastik. Model
deterministik yang mencakup parametrik dan non parametrik mengasumsikan bahwa deviasi dari frontier disebabkan oleh adanya inefisiensi. Sedangkan analisis
stokastik yang semuanya adalah model parametrik mengestimasi deviasi dari frontier dan mengijinkan gangguan statistik. Jadi estimasi fungsi produksi
stokastik frontier ditujukan untuk mendapatkan apakah deviasi di dalam efisiensi teknis dari output frontier disebabkan oleh faktor-faktor khusus faktor internal
atau faktor-faktor eksternal acak. Model produksi stokastik frontier ini dibedakan atas: cross-sectional frontier, panel frontier dan dual frontier. Penggunaan model
stokastik frontier dalam menduga efisiensi produksi akan memberikan hasil yang lebih baik dibandingkan dengan penggunaan model deterministik.
Mahadevan 2002 mencatat dua alasan mengapa penggunaan model stokastik frontier lebih baik. Pertama, model stokastik memungkinkan pergeseran
non-neutral yang disebabkan oleh perubahan marginal rate substitution faktor produksi. Kondisi ini akan memungkinkan seorang produsen memperoleh hasil
produksi yang berbeda meskipunn dengan penggunaan input yang sama sebagai akibat dari penggunaan metode produksi yang berbeda. Implikasi praktis adalah
penggunaan metode produksi akan menyebabkan perbedaan pencapaian output sehingga menimbulkan adanya variasi prosespro antar perusahaan atau industri.
Kedua, adanya variasi proses produksi berimplikasi terhadap variasi efisiensi teknis antar perusahaan, menyebabkan tidak perlu adanya asumsi distribusi
normal. Adanya efek yang tidak terduga dalam produksi frontier oleh Aigner,
Lovell and Schmidt 1977 dikembangkan suatu struktur faktor kesalahan error term sebagai,
ε
i
= v
i
- u
i
, dimana komponen kesalahan v
i
menggambarkan gangguan simetris dan diasumsikan terdistribusi secara identik dan independen
sebagai N0, , artinya komponen v
i
menyebar dengan pola distribusi normal dengan nilai tengah 0 dan varians konstan
. Komponen u
i
diasumsikan terdistribusi secara independen terhadap v
i
dan memenuhi u
i
≤ 0. Gangguan u
i
yang bersifat non positif menggambarkan kenyataan bahwa output perusahaan harus berada pada atau dibawah produksi frontiernya yaitu fx
i
; + v
i
. Pada kondisi ini frontier bersifat stokastik dengan gangguan acak v
i
0. Sehingga model fungsi produksi frontier stokastik menjadi sebagai,
y
i
=fx
i
; exp { v
i
- u
i
} i = 1,2, . . .N ............................3.5 dimana 1 v
i
~ iid N0, dan 2 u
i
~ iid N
+
0, , y
i
adalah output yang dihasilkan perusahaan ke i, x
i
adalah vektor k x 1 input yang digunakan dan
adalah vektor parameter dugaan dan faktor kesalahan ε
i
yang memperhitungkan dua komponen gangguan.
Komponen pertama adalah unsur v
i
yaitu variasi acak yang diduga disebabkan oleh faktor eksternal yang tidak dapat dikontrol oleh produsen seperti
kondisi iklim, bencana alam, topografi, faktor keberuntungan usaha, termasuk juga kesalahan pengamatan dan pengukuran. Unsur v
i
umumnya diasumsikan independenly and identically distributed iid ~ iid N0,
. Komponen kedua yaitu unsur u
i
yang menunjukkan komponen galat error yang diduga disebabkan oleh faktor internal perusahaan dan sifatnya dapat dikontrol oleh perusahaan,
misalnya terkait dengan kemampuan manajerial pengusaha dalam mengelola proses produksi yang dilakukan. Komponen ini sering diartikan sebagai
komponen yang menggambarkan inefisiensi teknis dan ekonomis. Komponen kesalahan ini diasumsikan bersifat non positif and independently distributed
N
+
0, , and the distribution truncated above at zero.
Model diatas diperkuat oleh Forsund et al. 1980 secara terpisah dan cukup terinci mengemukakan konsep tentang fungsi produksi stokastik frontier, di
mana kesalahan pengganggu eksternal v
i
ditambahkan pada variabel kesalahan pengganggu acak internal yang non negative u
i
di dalam persamaan menjadi: ln
; , , … ........................... 3.6
Sesuai dengan model stokastik, maka di dalam model persamaan 3.6 tersebut terdapat dua jenis error term yakni v
i
dan u
i
. Kesalahan pengganggu acak, v
i
, diperhitungkan sebagai ukuran kesalahan yang terkait dengan faktor-faktor eksternal, seperti pengaruh cuaca, mogok, keberuntungan, dan lain-lain, pada
nilai-nilai dari variabel output, bersama-sama dengan kombinasi efek dari variabel-variabel input yang tidak dispefisikasi di dalam model fungsi produksi.
Sedangkan kesalahan pengganggu acak, u
i
, adalah variabel kesalahan yang mempengaruhi tingkat inefisiensi usaha yang diasumsikan sebarannya bersifat
non negative truncation dengan rata-rata µ
i
dan varians .
Model seperti persamaan 3.6 tersebut dinamakan fungsi produksi stokastik frontier karena nilai-nilai output dibatasi oleh variabel stokastik acak,
expx
i
β+v
i
. Kesalahan pengganggu acak v
i
dapat positif atau negatif dan dengan demikian output-output stokastik frontier bervariasi sekitar bagian deterministik,
