Ekuivalensi dari Dua Pernyataan Majemuk dan Konvers, invers, dan Kontraposisi
3. Negasi dari Implikasi
Perhatikan masalah berikut. Terdapat suatu pernyataan bahwa “Jika air dapat menguap saat dipanaskan, maka
air adalah benda padat
”. Apakah kalian setuju dengan pernyataan tersebut? Bagaimana Kalian menyanggah pernyataan tersebut?
Pernyataan sanggahan tersebut disebut sebagai negasi dari pernyataan
“Jika air dapat menguap saat dipanaskan, maka air adalah benda padat”.
Mari kita selidiki apakah sanggahan kalian benar dengan menggunakan tabel kebenaran. Apakah benar jika
∼ ekuivalen dengan
∼ .
Tabel 5 Tabel Kebenaran Negasi Implikasi
∼ ∼
∼ B
B S
B S
S B
S B
S B
B S
B S
B S
S S
S B
B S
S Berdasarkan tabel diatas apakah
� ∼ = �[ ∼ ]?
Ya Jadi, berdasakan pengertian ekuivalensi dari dua pernyataan majemuk apa yang
dapat kalian peroleh? Apakah jawaban kalian benar? Jika belum, apa pernyataan yang benar untuk
menyanggah pernyataan
“Jika air dapat menguap saat dipanaskan, maka air adalah benda padat”?
Tidak, karena air dapat menguap saat dipanaskan dan air bukanlah benda padat.
Ya, jawaban di atas telah benar menyesuaikan dengan jawaban awal siswa ∼
≡ ∼
Ekuivalensi dari Dua Pernyataan Majemuk
4. Negasi dari Biimplikasi
Perhatikan masalah berikut. Terdapat suatu pernyataan bahwa “9 adalah bilangan ganjil jika dan hanya jika 9
habis dibagi 2
”. Apakah kalian setuju dengan pernyataan tersebut? Bagaimana Kalian menyanggah pernyataan tersebut?
Pernyataan sanggahan tersebut disebut sebagai negasi dari pernyataan
“9 adalah bilangan ganjil jika dan hanya jika 9 habis dibagi 2”.
Mari kita selidiki apakah sanggahan kalian benar dengan menggunakan tabel kebenaran. Apakah benar jika
∼ ekuivalen dengan
∼ ∼ .
Tabel 6. Tabel Kebenaran Negasi Implikasi
∼ ∼ ∼
∼ ∼
∼ ∼
B B
S S
B S
S S
S B
S S
B S
B B
S B
S B
B S
S B
S B
B S
S B
B B
S S
S S
Berdasarkan tabel diatas apakah � ∼
= �[ ∼
∼ ]? Jadi, berdasakan pengertian ekuivalensi dari dua pernyataan majemuk apa yang
dapat kalian peroleh? Apakah jawaban kalian benar? Jika belum, apa pernyataan yang benar untuk
menyanggah pernyataan
“9 adalah bilangan ganjil jika dan hanya jika 9 habis dibagi 2”?
Tidak, karena 9 adalah bilangan ganjil dan 9 tidak habis dibagi 2, atau 9 habis dibagi 2 dan 9 bukan bilangan ganjil.
Ya, jawaban di atas telah benar menyesuaikan dengan jawaban awal siswa ∼
≡ ∼
∼
Ekuivalensi dari Dua Pernyataan Majemuk dan Konvers, invers, dan Kontraposisi
HUBUNGAN ANTARA IMPLIKASI DENGAN KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISINYA
Perhatikan pernyataan-pernyataan majemuk berikut. Jika dan adalah suatu pernyataan maka dari suatu implikasi
dapat dibentuk implikasi lain yaitu:
1. , disebut Konvers dari dari implikasi
2. ∼
∼ , disebut Invers dari implikasi
3. ∼
∼ , disebut Kontraposisi dari implikasi
Jika harga minyak naik, maka harga barang naik.
Jika harga barang naik, maka harga minyak naik.
Jika harga minyak tidak naik, maka harga barang tidak naik.
Jika harga barang tidak naik, maka harga minyak tidak naik.
1
2
3
4
Dari pernyataan-pernyataan majemuk diatas, pernyataan nomor berapa saja yang memiliki nilai kebenaran yang sama?
Pernyataan nomor 1 sama dengan pernyataan nomor 4 dan pernyataan nomor 2 sama dengan pernyataan nomor 3
KEGIATAN 4.3
CATATAN
Ekuivalensi dari Dua Pernyataan Majemuk
Untuk mengetahui nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan majemuk di atas, kita dapat menggunakan tabel kebenaran.
Misal: :
Harga minyak naik. :
Harga barang naik. Sehingga dari pernyataan-pernyataan majemuk di atas diperoleh,
1. :
Jika harga minyak naik, maka harga barang naik. 2.
: Jika harga barang naik, maka harga minyak naik.
3. ∼
∼ : Jika harga minyak tidak naik, maka harga barang tidak naik. 4.
∼ ∼ : Jika harga barang tidak naik, maka harga minyak tidak naik.
Lengkapi tabel kebenaran berikut.
Implikasi Konvers Invers
Kontraposisi
∼ ∼ ∼
∼ ∼
∼ B
B S
S B
B B
B B
S S
B S
B B
S S
B B
S B
S S
B S
S B
B B
B B
B
Perhatikan nilai kebenaran dari Implikasi, Konvers, Invers, dan Kontraposisi di atas. Manasaja yang memiliki nilai kebenaran yang sama atau saling berlawanan? Kesimpulan
apa saja yang dapat kalian peroleh?
Nilai kebenaran dari implikasi sama dengan nilai kebenaran dari Kontraposisinya. Nilai kebenaran dari konvers sama dengan nilai kebenaran dari invers.
Jadi, Implikasi ekuivalen dengan kontraposisinya,
≡ ∼
∼
Konvers ekuivalen dengan invers,
≡ ∼
∼
Ekuivalensi dari Dua Pernyataan Majemuk dan Konvers, invers, dan Kontraposisi
Tentukan Konvers, Invers, dan Kontraposisi dari implikasi berikut. a. Jika saya belajar dengan giat, maka saya lulus ujian.
b. Jika � = 5, maka �
2
= 25 . tentukan pula nilai kebenarannya
c.
Jawab:
a. Jika saya belajar dengan giat, maka saya lulus ujian. Misal:
: saya belajar dengan giat
: saya lulus ujian
Sehingga dapat diperoleh, Konversnya
:
Inversnya ∼
∼ :
Kontraposisinya ∼
∼ :
b. Jika � = 5, maka �
2
= 25 Misal:
: � = 5
: �
2
= 25 Sehingga dapat diperoleh,
Konversnya : Jika
�
2
= 25 , maka
� = 5 salah Inversnya
∼ ∼
: Jika � ≠ 5, maka �
2
≠ 25 salah Kontraposisinya
∼ ∼
: Jika �
2
≠ 25, maka � ≠ 5 benar
c. Jika diketahui implikasi , maka:
Konversnya :
Inversnya : ~
~ atau ekuivalen dengan ~
~ ~
Kontraposisinya : ∼
∼ atau ekuivalen dengan ~ ~
∼ Jika saya lulus ujian, maka saya
belajar dengan giat.
Jika saya tidak belajar dengan giat, maka saya tidak lulus ujian.
Jika saya tidak lulus ujian, maka saya tidak belajar dengan giat.
CONTOH
Ekuivalensi dari Dua Pernyataan Majemuk
REFLEKSI
Apa yang menyebabkan dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen? jika kedua
pernyataan majemuk itu mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan komponennya.
Negasi dari pernyataan majemuk dapat ditunjukkan dengan menggunakan ekuivalensi.
1. Negasi dari Konjungsi
2. Negasi dari Disjungsi
3. Negasi dari Implikasi
4. Negasi dari Biimplikasi
Apa yang telah kita pelajari hari ini?
∼
≡
∼ ∼
∼
≡
∼ ∼
∼
≡
∼
HUKUM DE MORGAN
∼
≡
∼ ∼
Ekuivalensi dari Dua Pernyataan Majemuk dan Konvers, invers, dan Kontraposisi
Jika diketahui suatu Implikasi , maka: Konversnya:
Inversnya: Kontraposisinya:
Berdasarkan nilai kebenaran dari implikasi, konvers, invers, dan kontraposisi, diperoleh:
∼ ∼
∼ ∼
≡
∼ ∼
≡
∼ ∼
Ekuivalensi dari Dua Pernyataan Majemuk
1. Benarkan pernyataan-pernyataan berikut? a.
∼ ≡ b.
≡
2. Tentukan negasi dari pernyataan-pernyataan berikut. a. Surabaya adalah ibukota Jawa Timur atau kota pahlawan.
b. Pemuaian zat padat dipengaruhi oleh koefisien muai dan dipengaruhi oleh kenaikan suhu.
c. Jika Rio Haryanto adalah pembalap Indonesia, maka memiliki banyak prestasi. d. Segitiga sama sisi jika dan hanya jika ketiga sisinya sama panjang.
AYO BERLATIH
∼ ∼
B B
S B
B B
B S
S S
S S
S B
B S
B B
S S
B S
B B
a.
Jadi berdasarkan tabel di atas, terbukti bahwa ∼ ≡
B B
B B
B B
B B
B B
S B
B B
S B
B S
B B
B S
B B
B S
S S
S S
S S
S B
B B
B B
B B
S B
S B
B B
B B
S S
B B
B B
B B
S S
S S
B B
B B
b.
Jadi berdasarkan tabel di atas, terbukti bahwa ≡
Jawab:
Ekuivalensi dari Dua Pernyataan Majemuk dan Konvers, invers, dan Kontraposisi
3. Tunjukkan bahwa sifat komutatif, asosiatif, dan distributif berlaku pada konjungsi dan disjungsi.
a. Sifat komutatif
≡
≡ b. Sifat asosiatif
≡
≡
c. Sifat distributif Distributif konjungsi terhadap disjungsi
≡ Distributif disjungsi terhadap konjungsi
≡
a.
Surabaya bukan ibukota Jawa Timur dan bukan kota pahlawan. b. Pemuaian zat padat tidak dipengaruhi oleh koefisien muai atau tidak
dipengaruhi oleh kenaikan suhu. c. Rio Haryanto bukan pembalap Indonesia atau memiliki banyak prestasi.
d.
Segitiga sama sisi dan ketiga sisinya tidak samapanjang, atau segitiga tidak sama sisi dan ketiga sisinya sama panjang
Jawab:
a. Sifat komutatif B
B B
B B
B B
S S
S B
B S
B S
S B
B S
S S
S S
S Berdasarkan tabel di atas, terbukti bahwa berlaku sifat komutatif pada
konjungsi dan disjungsi.
Jawab:
Ekuivalensi dari Dua Pernyataan Majemuk
b. Asosiatif B
B B
B B
B B
B B
B B
B B
S B
S S
S B
B B
B B
S B
S S
S S
B B
B B
B S
S S
S S
S B
S B
B S
B B
S B
S S
B B
B B
S B
S S
S S
S B
B B
B S
S B
S S
S S
S B
B B
S S
S S
S S
S S
S S
S Berdasarkan tabel di atas, terbukti bahwa berlaku sifat asosiatif pada konjungsi dan disjungsi.
c. Distributif Distributif konjungsi terhadap disjungsi
B B
B B
B B
B B
B B
S B
B B
S B
B S
B B
B S
B B
B S
S S
S S
S S
S B
B B
S S
S S
S B
S B
S S
S S
S S
B B
S S
S S
S S
S S
S S
S S
Distributif disjungsi terhadap konjungsi B
B B
B B
B B
B B
B S
S B
B B
B B
S B
S B
B B
B B
S S
S B
B B
B S
B B
B B
B B
B S
B S
S S
B S
S S
S B
S S
S B
S S
S S
S S
S S
S Berdasarkan kedua tabel di atas, terbukti bahwa berlaku sifat distributif pada konjungsi
dan disjungsi.
Ekuivalensi dari Dua Pernyataan Majemuk dan Konvers, invers, dan Kontraposisi
4. Tentukan Konvers, invers, dan kotraposisi dari implikasi berikut. a. Jika kita cinta tanah air Indonesia, maka kita melestarikan budaya Indonesia.
b. Jika � 0, maka �
2
. c.
∼
5. Tentukan pernyataan yang ekuivalen dengan pernyataan berikut. a. Jika Ani tidak sarapan, maka ia mengantuk di sekolah.
b. Banjir akan datang jika hujan lebat. a. Implikasi: Jika kita cinta tanah air Indonesia, maka kita melestarikan budaya
Indonesia. Konvers: Jika kita melestarikan budaya Indonesia, maka kita cinta tanah air
Indonesia Invers: Jika kita tidak cinta tanah air Indonesia, maka kita tidak
melestarikan budaya Indonesia. Kontraposisi: Jika tidak melestarikan budaya Indonesia, maka kita tidak cinta
tanah air Indonesia.
b. Implikasi : Jika � 0, maka �
2
. Konvers : Jika
�
2
, maka � 0
Invers : Jika � 0, maka �
2
Kontraposisi: Jika �
2
, maka � 0
c. Implikasi : ∼
Konvers : ∼
Invers : ∼
∼ ∼ ≡∼
∼ Kontraposisi:
∼ ∼
Jawab:
a. Ani sarapan atau ia tidak mengantuk di sekolah. atau
Jika ani tidak mengantuk di sekolah, maka Ani sarapan. b. Hujan tidak lebat jika banjir tidak datang
Jawab:
LEMBAR KEGIATAN SISWA LKS 5
Pernyataan Berkuantor
Indikator: 1. Menentukan
nilai kebenaran dari suatu
pernyataan berkuantor.
2. Menentukan ingkaran dari
suatu pernyataan
berkuantor. 3. Memeriksa
atau membuktikan
kesetaraan antara
dua pernyataan
berkuantor.
Jika dalam suatu diskusi ada teman kalian yang mengatakan, “Semua hewan karnivora memiliki
taring”. Apakah kalian setuju dengan pernyataan tersebut? Apakah ada hewan pemakan daging yang
tidak memiliki taring?
Pernyataan “Semua hewan karnivora memiliki
taring” merupakan contoh dari pernyataan berkuantor.
Gambar 1 Elang
http:gambardanfoto.com
Gambar 2 Harimau
http:4.bp.blogspot.com
Gambar 3 Serigala
http:11gambarfotokeren.blogspot.com
Petunjuk umum: 1. Bacalah setiap
petunjuk yang ada dalam LKS ini dengan
teliti
2. Diskusikan penyelesaiannya
dengan teman sekelompokmu.
3. Tanyakan kepada Bapak Ibu Guru jika
ada kalimat atau perintah yang kurang
jelas.
Pernyataan Berkuantor
KUANTOR UNIVERSAL
Perhatikan pernyataan berikut.
Jika, U = Himpunan semua binatang
A = Himpunan semua binatang yang hidup di air B = Himpunan semua ikan yang hidup di air
Temukan hubungan antara pernyataan
“binatang yang hidup di air” dan pernyataan “semua ikan hidup di air” dengan menggambar himpunan-himpunan tersebut dalam
diagram venn berikut.
Apa hubungan antara himpunan A dan Himpunan B?
Jadi, jika � ∈ maka � ∈ . Dengan demikian pernyataan “Semua ikan hidup di air”
ekuivalen dengan pernyataan Himpunan B merupakan himpunan bagian dari A
Jika piranha adalah ikan, maka piranha hidup di air.
KEGIATAN 5.1
Semua ikan hidup di air.
Gambar 4. Ikan
https:www.selasar.com
U
B A
Pernyataan Berkuantor
Berdasarkan ilustrasi di atas, apakah kalian dapat menentukan nilai kebenaran dari kalimat “Mereka hidup di air”? Mengapa?
Jika dari kalimat di atas, kata ”mereka” diganti dengan kuantor universal, sehingga menjadi pernyataan sebagai berikut. Apakah kalian dapat menentukan nilai
kebenarannya?
“Semua ikan hidup di air”, nilai kebenarannya adalah Benar
“Semua binatang hidup di air”, nilai kebenarannya adalah Salah
Apakah kalian dapat menentukan nilai kebenarannya? Iya
Jadi, kalimat terbuka dapat kita ubah menjadi suatu pernyataan dengan membubuhkan kuantor universal.
Tidak, karena masih terdapat variabel atau peubah “mereka”.
∀�, ��
∀� ∈ � , ��
Misalkan � adalah sebuah kalimat terbuka, dengan � anggota himpunan semesta
pembicaraan �. Pernyataan berkuantor universal dapat ditulis sebagai berikut.
dibaca: untuk semua � berlakulah ��
Atau
dibaca: untuk semua � anggota � berlakulah ��
Penggunaan kata “untuk semua” pada kuantor universal, senilai dengan kata “untuk setiap”, “untuk tiap-tiap”, dan “untuk seluruh”.
1. “Semua makhluk hidup membutuhkan air”, ekuivalen dengan “Jika manusia adalah
makhluk hidup, maka manusia membutuhkan air”. 2.
“Semua bilangan prima adalah bilangan asli”, ekuivelen dengan “Jika � adalah bilangan prima, maka
� adalah bilangan asli”. 3.
“Semua B adalah A”, ekuivalen dengan “Jika � ∈ , maka � ∈ ”.
CONTOH
CATATAN
Pernyataan Berkuantor
Diketahui kalimat terbuka berikut. :
Semua ikan bernafas dengan insang.
: untuk setiap
� ∈ ℝ, �
2
+ 3 0 .
Jadi, Kita tahu bahwa ikan lumba-lumba bernafas dengan
paru-paru. Karena sekurang-kurangnya ada 1 ikan yang tidak bernafas dengan insang, maka
pernyataan tersebut salah. � = �.
Karena �
2
≥ 0 untuk semua � ∈ ℝ, sehingga �
2
+ 3 0 untuk semua
� ∈ ℝ. Jadi, pernyataan tersebut bernilai benar.
� =
Pernyataan berkuantor universal dapat memiliki nilai kebenaran Benar, jika
Pernyataan tersebut benar untuk semua semesta yang dibicarakan.
Pernyataan berkuantor universal dapat memiliki nilai kebenaran Salah, jika
Terdapat sekurang-kurangnya satu anggota semesta yang menyebabkan kalimat berkuantor salah
Pernyataan Berkuantor
KUANTOR EKSISTENSIAL
Perhatikan pernyataan berikut.
Jika, U = Himpunan semua orang.
A = Himpunan semua pahlawan nasional B = Himpunan semua perempuan.
Temukan hubungan antara pernyataan
“Orang yang meninggal karena berjuang pada masa kemerdekaan adalah pahlawan nasional
” dan pernyataan “Beberapa pahlawan nasional adalah perempuan
” dengan menggambar himpunan A dan B dalam diagram venn berikut.
Apa hubungan antara himpunan A dan Himpunan B?
Jadi, sekurang-kurangnya ada sebuah � ∈ yang merupakan ∈ . Dengan demikian
pernyataan “beberapa pahlawan nasional adalah perempuan” ekuivalen dengan pernyataan Himpunan A saling beririsan dengan himpunan B
Sekurang-kurangnya ada satu perempuan yang merupakan pahlawan nasional.
KEGIATAN 5.2
Beberapa pahlawan nasional adalah perempuan
Gambar 5. Pahlawan Nasional
http:i2.wp.comwww.pusakaindonesia.org
U
B A
Pernyataan Berkuantor
Berdasarkan ilustrasi di atas, apakah kalian dapat menentukan nilai kebenaran dari kalimat “Mereka adalah perempuan”? Mengapa?
Jika dari kalimat di atas, kata ”mereka” diganti dengan kuantor eksistensial, sehingga menjadi pernyataan sebagai berikut. Apakah kalian dapat menentukan nilai
kebenarannya?
“Beberapa pahlawan nasional adalah perempuan”, nilai kebenarannya adalah Benar
“Beberapa makhluk hidup tidak membutuhkan oksigen”, nilai kebenarannya adalah Salah
Jadi, kalimat terbuka dapat kita ubah menjadi suatu pernyataan dengan membubuhkan kuantor eksistensial.
Tidak, karena kalimat tersebut masih memuat variabel atau peubah 1.
“Beberapa kuda berwarna coklat”, ekuivalen dengan “Sekurang-kurangnya ada seekor kuda yang berwarna coklat.
2. “Beberapa bilangan genap adalah bilangan prima”, ekuivalen dengan “sekurang-
kurangnya ada satu bilangan genap yang merupakan bilangan prima”. 3.
“Beberapa B adalah A”, ekuivalen dengan “sekurang-kurangnya ada sebuah � ∈ yang merupakan
∈ ”
∃�, ��
∃� ∈ � , ��
Misalkan � adalah sebuah kalimat terbuka, dengan � anggota himpunan semesta
pembicaraan �. Pernyataan berkuantor eksistensial dapat ditulis sebagai berikut.
dibaca: terdapat � sehingga berlakulah ��
Atau
dibaca: terdapat � anggota � sehingga berlakulah � �
Penggunaan kata “terdapat” senilai dengan kata “ada”, “beberapa”, “untuk suatu”, dan
“untuk paling sedikit satu”.
CONTOH
CATATAN
Pernyataan Berkuantor
Diketahui kalimat terbuka berikut. :
Ada pahlawan nasional yang berasal dari Sulawesi Selatan.
: Ada bilangan prima yang kurang dari 0.
Jadi, Kita tahu bahwa Sultan Hasanuddin adalah
pehlawan nasional yang berasal dari Sulawesi Selatan. Karena kita dapat menunjukkan
sekurang-kurangnya 1 pahlawan nasional yang berasal dari Sulawesi Selatan, maka pernyataan
tersebut bernilai benar. � = .
Karena kita tidak dapat menunjukkan satupun bilangan prima yang kurang dari 0, maka
pernyataan tersebut bernilai salah. � = �
Pernyataan berkuantor eksistensial dapat memiliki nilai kebenaran Benar, jika
Sekurang-kurangnya satu anggota semesta menyebabkan pernyataan bernilai benar.
Pernyataan berkuantor eksistensial dapat memiliki nilai kebenaran Salah, jika
Tidak ada satupun dari anggota semesta menyebabkan kalimat menjadi benar
Pernyataan Berkuantor
NEGASI KALIMAT BERKUANTOR
1. Kuantor Universal Perhatikan pernyataan berikut.