Pernyataan Berkuantor
NEGASI KALIMAT BERKUANTOR
1. Kuantor Universal Perhatikan pernyataan berikut.
Apakah pernyataan tersebut benar? Bagaimana menyangkal pernyataan diatas?
Pernyataan berkuantor apa yang kalian gunakan untuk menyangkal pernyataan di atas?
Menyangkal suatu pernyataan berarti kamu telah membuat negasi dari pernyataan tersebut. Dengan demikian, berdasarkan kalimat sangkalan di atas, negasi dari
pernyataan “Semua presiden Indonesia dari tahun 1945 sampai sekarang adalah laki- laki
” adalah
KEGIATAN 5.3
Semua presiden Indonesia dari tahun 1945 sampai sekarang adalah
laki-laki
Tidak, karena ada presiden Indonesia dari tahun 1945 sampai sekarang yang perempuan
Pernyataan berkuantor eksistensial
Terdapat presiden Indonesia dari tahun 1945 sampai sekarang yang bukan laki- laki
~[ ∀� , � � ] ≡ ∃� , ~��
Jika terdapat pernyataan berkuantor universal ∀� , �, maka negasinya dapat
ditulis sebagai berikut.
Gambar 6 Presiden Indonesia
http:cdn.klimg.commerdeka.com
CATATAN
Pernyataan Berkuantor
2. Kuantor Eksistensial Perhatikan pernyataan berikut.
Apakah pernyataan tersebut benar? Bagaimana menyangkal pernyataan diatas?
Pernyataan apa yang kalian gunakan untuk menyangkal pernyataan di atas?
Menyangkal suatu pernyataan berarti kamu telah membuat negasi dari pernyataan tersebut. Dengan demikian, berdasarkan kalimat sangkalan di atas, negasi dari
p ernyataan “Terdapat kucing yang berkembang biak dengan cara bertelur.” adalah
Terdapat kucing yang berkembangbiak dengan cara
bertelur.
Tidak, karena semua kucing berkembang biak dengan beranak.
Pernyataan berkuantor universal
Semua kucing berkembangbiak tidak dengan cara bertelur
~[ ∃� , � � ] ≡ ∀� , ~ ��
Jika terdapat pernyataan berkuantor Eksistensial ∃� , �, maka negasinya
dapat ditulus sebagai berikut.
Gambar 7 Kucing
https:radipt.files.wordpress.com
CATATAN
Pernyataan Berkuantor
REFLEKSI
∀�, � � � ∀� ∈ �, �
∃�, � � � ∃� ∈ � , �
~[ ∀� , � ] ≡ ∃� , ~ �
~[ ∃� , � ] ≡ ∀� , ~ �
Misalkan � adalah sebuah kalimat terbuka, dengan � anggota himpunan
semesta pembicaraan � ,maka:
Pernyataan berkuantor universal dapat ditulis sebagai
dan Pernyataan berkuantor eksistensial dapat ditulis sebagai
Negasi dari pernyataan berkuantor universal adalah pernyataan berkuantor
eksistensial Negasi dari pernyataan berkuantor eksistensial adalah
pernyataan berkuantor universal
Dilambangkan sebagai berikut.
Apa yang telah kita pelajari hari ini?
Pernyataan Berkuantor
1. Tulislah implikasi yang ekuivalen dengan kalimat berkuantor universal berikut. a. Semua manusia berkewajiban untuk melestarikan lingkungan.
b. Semua bilangan asli adalah bilangan cacah
2. Tulislah kalimat berkuantor eksistensial yang ekuivalen dengan kalimat berkuantor eksistensial berikut.
a. Beberapa siswa kelas X memilih jurusan IPA ketika penjurusan di kelas XI. b. Beberapa persamaan kuadrat memiliki akar imajiner
3. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berkuantor berikut, jika himpunan semestanya adalah =
1, 2, 3, 4, 5, 6 . a.
∀� ∈ , � + 2 6 b.
∀� ∈ , � − 3 4 c.
∃� ∈ , � + 4 = 11 d.
∃� ∈ ,
1 �−1
4. Tentukan negasi dari pernyataan berkuantor berikut. a. Semua persamaan kuadrat memiliki akar kembar.
b. Beberapa orang tidak mengagumi keindahan alam Gunung Merapi.
AYO BERLATIH
a.
Jika kita adalah manusia, maka kita berkewajiban untuk melestarikan lingkungan.
b.
Jika � bilangan asli, maka � bilangan cacah.
Jawab:
a.
Sekurang-kurangnya ada seorang siswa kelas X yang memilih jurusan IPA ketika penjurusan di kelas XI.
b.
Sekurang-kurangnya ada satu persamaan kuadrat yang memiliki akar imajiner
Jawab:
a.
Salah, karena ada � = 5, sehingga � + 2 6
b.
Benar, karena untuk semua � ∈ , berlaku � − 3 4
c.
Benar, karena tidak ada � ∈ , sehingga berlaku � + 4 = 11
d.
Benar, karena ada � = 3 sehingga
1 �−1
Jawab:
a.
Terdapat persamaan kuadrat yang tidak memiliki akar kembar.
b.
Semua orang mengagumi keindahan alam Gunung Merapi.
Jawab:
Gambar 1
LEMBAR KEGIATAN SISWA LKS 6
Penarikan Kesimpulan
Indikator: 1. Menentukan kesimpulan
dari beberapa premis yang diberikan dengan
prinsip modus ponens.
2. Menentukan kesimpulan dari beberapa premis
yang diberikan dengan prinsip modus tolens.
3. Menentukan kesimpulan dari beberapa premis
yang diberikan dengan prinsip silogisme.
4. Memeriksa keabsahan penarikan kesimpulan
menggunakan prinsip logika matematika.
Dalam pelajaran
biologi tentu
kalian mengetahui bahwa jika seekor bunglon dalam
keadaan bahaya, bunglon melakukan mimikri. Jika seekor bunglon melakukan mimikri, maka
warna tubuhnya akan berubah sesuai dengan tempat dia berada. Dari dua pernyataan
tersebut, simpulan apa yang dapat kalian ambil?
Selanjutnya kalian akan belajar tentang bagaimana menyimpulkan dan memeriksa
keabsahan dari suatu kesimpulan.
Gambar 2 Mimikri pada Bunglon
http:cdn.idntimes.com
Petunjuk umum: 1. Bacalah setiap petunjuk
yang ada dalam LKS ini dengan teliti
2. Diskusikan penyelesaiannya dengan
teman sekelompokmu. 3. Tanyakan kepada Bapak
Ibu Guru jika ada kalimat atau perintah yang kurang
jelas.
Penarikan Kesimpulan
MODUS PONEN
Mari kita cek kebenaran dari kesimpulan yang kalian ambil dengan menggunakan tabel kebenaran.
Misal, ∶
∶ Indonesia telah merdeka ⟹ :
Untuk memeriksa keabsahan dari penarikan kesimpulan di atas, lengkapi tabel kebenaran dari [
⟹ ∧ ] ⟹ berikut.
⟹ ⟹ ∧
[ ⟹ ∧ ] ⟹
B B
B B
B B
S S
S B
S B
B S
B S
S B
S B
Apa nilai kebenaran dari [ ⟹ ∧ ] ⟹ ?
Karena Soekarno menyampaikan proklamasi kemerdekaan pada tanggal 17 Agustus 1945, maka kesimpulannya adalah Indonesia telah merdeka
Soekarno menyampaikan proklamasi kemerdekaan pada tanggal 17 Agustus 1945
Jika Soekarno menyampaikan proklamasi kemerdekaan pada tanggal 17 Agustus 1945, maka Indonesia telah merdeka.
BBBB
KEGIATAN 6.1
Jika Soekarno menyampaikan proklamasi kemerdekaan pada tanggal 17 Agustus 1945, maka
Indonesia telah merdeka. Dan sejarah telah mencatat bahwa Soekarno menyampaikan proklamasi
kemerdekaan pada tanggal 17 Agustus 1945. Jadi, kesimpulan
apa yang dapat kamu peroleh?
Penarikan Kesimpulan
Penarikan kesimpulan dengan menggunakan metode tersebut dinamakan modus ponen. Suatu penarikan kesimpulan dikatakan sah apabila pernyataan implikasinya, merupakan
suatu tautologi. Apakah Modus Ponen merupakan argumentasi yang sah? Mengapa?
[ ⟹ ∧ ] ⟹
Modus ponen dapat disajikan dalam susunan sebagai berikut.
Premis 1 :
⟹ Premis 2
: Konklusi
: ∴
Tanda ∴ dibaca “maka” atau “jadi”
Dalam bentuk implikasi, modus ponen di atas dapat ditulis menjadi: Ya, Modus Ponen merupakan argumentasi yang sah karena nilai kebenaran dari
pernyataan implikasinya [ ⟹ ∧ ] ⟹ semuanya bernilai benar tautologi
CATATAN
Penarikan Kesimpulan
MODUS TOLLENS
Jika garis dan garis saling berpotongan, maka kedua garis tersebut memiliki titik potong. Diketahui bahwa kedua garis tersebut tidak memiliki titik potong. Jadi,
kesimpulan apa yang dapat kamu ambil?
Mari kita cek kebenaran dari kesimpulan yang kalian ambil dengan menggunakan tabel kebenaran.
Misal, ∶ garis dan garis saling berpotongan.
∶ kedua garis tersebut memiliki titik potong. ⟹ :
∼ ∶ kedua garis tersebut tidak memiliki titik potong Untuk memeriksa keabsahan dari penarikan kesimpulan di atas, lengkapi tabel kebenaran
dari [ ⟹ ∧∼ ] ⟹∼ berikut.
∼ ∼ ⟹
⟹ ∧∼ [
⟹ ∧∼ ] ⟹∼ B
B S
S B
S B
B S
S B
S S
B S
B B
S B
S B
S S
B B
B B
B
Karena kedua garis tersebut tidak memiliki titik potong, maka kesimpulannya adalah garis dan garis tidak saling berpotongan
A
Jika garis dan garis saling berpotongan, maka kedua garis tersebut memiliki titik potong.
KEGIATAN 6.2
Penarikan Kesimpulan
Apa nilai kebenaran dari [ ⟹ ∧∼ ] ⟹∼ ?
Penarikan kesimpulan dengan menggunakan metode tersebut dinamakan modus tollens. Suatu penarikan kesimpulan dikatakan sah apabila pernyataan implikasinya merupakan
suatu tautologi.
Apakah Modus Tollens merupakan argumentasi yang sah? Mengapa? BBBB
[ ⟹ ∧∼ ] ⟹∼
Modus tollens dapat disajikan dalam susunan sebagai berikut.
Premis 1 :
⟹ Premis 2
: ∼
Konklusi :
∴∼
Dalam bentuk implikasi, modus ponen di atas dapat ditulis menjadi: Ya, Modus Tollens merupakan argumentasi yang sah karena nilai kebenaran dari
pernyataan implikasinya [ ⟹ ∧∼ ] ⟹∼ semuanya bernilai benar tautologi
CATATAN
Penarikan Kesimpulan
SILOGISME
Jadi, berdasarkan dua pernyataan terakhir dari paragraf di atas kesimpulan apa yang dapat kamu ambil?
Mari kita cek kebenaran dari kesimpulan tersebut dengan menggunakan tabel kebenaran. Misal,
: Warga Jakarta membuang sampah di sungai.
: Aliran sungai tersumbat.
: Ketika musim hujan Jakarta dilanda banjir.
⟹ : ⟹ :
⟹ : Jika warga Jakarta membuang sampah di sungai, maka ketika musim hujan Jakarta
dilanda banjir.
Jika warga Jakarta membuang sampah di sungai, maka aliran sungai tersumbat.
Jika aliran sungai tersumbat, maka ketika musim hujan Jakarta dilanda banjir.
Jika warga Jakarta membuang sampah di sungai, maka ketika musim hujan Jakarta dilanda banjir.
KEGIATAN 6.3
Banjir merupakan salah satu bencana alam yang diakibatkan oleh perilaku manusia. Salah satu kota yang menjadi langganan banjir adalah Jakarta. Jakarta menjadi kota
yang identik dengan banjir ketika musim hujan tiba. Salah satu sebabnya adalah kebiasaan warga Jakarta membuang sampah di sungai. Jika warga Jakarta
membuang sampah di sungai, maka aliran sungai tersumbat. Oleh karena itu, jika aliran sungai tersumbat maka ketika musim hujan Jakarta dilanda banjir.
Penarikan Kesimpulan
Untuk memeriksa keabsahan dari penarikan kesimpulan di atas, lengkapi tabel kebenaran dari [
⟹ ∧ ⟹ ] ⟹ ⟹ berikut.
⟹ ⟹
⟹ ⟹ ∧ ⟹ [ ⟹ ∧ ⟹ ] ⟹ ⟹
B B B B
B B
B B
B B S B
S S
S B
B S B S
B B
S B
B S S S
B S
S B
S B B B
B B
B B
S B S B
S B
S B
S S B B
B B
B B
S S S B
B B
B B
Apa nilai kebenaran dari [ ⟹ ∧ ⟹ ] ⟹ ⟹ ?
Penarikan kesimpulan dengan menggunakan metode tersebut dinamakan silogisme. [
⟹ ∧ ⟹ ] ⟹ ⟹ adalah tautologi. Sehingga, silogisme merupakan argumentasi yang sah.
BBBBBBBB
⟹ ∧ ⟹ ⟹ ⟹ Silogisme disajikan dalam susunan sebagai berikut.
Premis 1 :
⟹ Premis 2
: ⟹
Konklusi :
∴ ⟹
Dalam bentuk implikasi, silogisme di atas dapat ditulis menjadi:
Silogisme dikatakan sah apabila pernyataan implikasinya merupakan suatu tautologi.
CATATAN
Penarikan Kesimpulan
REFLEKSI
Bagaimana penarikan kesimpulan dengan metode konvers?
Bagaimana penarikan kesimpulan dengan metode invers?
Bagaimana penarikan kesimpulan dengan metode silogisme?
Apa yang telah kita pelajari hari ini?
Premis 1 :
⟹ Premis 2
: Konklusi
: ∴
Premis 1 :
⟹ Premis 2
: ∼
Konklusi :
∴∼
Premis 1 :
⟹ Premis 2
: ⟹
Konklusi :
∴ ⟹
Penarikan Kesimpulan
1. Tentukan simpulan yang sah dari premis-premis berikut. a. Premis 1: Jika Indonesia dilewati garis khatulistiwa, maka Indonesia beriklim
tropis. Premis 2: Indonesia tidak beriklim tropis.
b. Premis 1: Mereka tidak mengeksploitasi sumber daya alam secara berlebihan atau mereka merusak kelestarian alam.
Premis 2: Mereka mengeksploitasi sumber daya alam secara berlebihan. c. Premis 1: Jika saya rajin belajar, maka saya lulus ujian.
Premis 2: Jika saya tidak bisa melanjutkan sekolah, maka saya tidak lulus ujian.
2. Selidiki sah atau tidaknya penarikan simpulan berikut. a. Premis 1
: ⟹∼
Premis 2 :
Konklusi :
∴∼ b. Premis 1
: ∼ ∧
Premis 2 :
∼ Konklusi
: ∴
c. Premis 1 :
∼ ⟹∼ Premis 2
: ⟹
Konklusi :
∴ ⟹
AYO BERLATIH
a.
Indonesia tidak dulewati garis khatulistiwa
b.
Mereka merusak kelestarian alam
c.
Jika saya rajin belajar, maka saya bisa melanjutkan sekolah.
Jawab:
Penarikan Kesimpulan
a. Bentuk implikasinya adalah: [ ⟹∼ ∧ ] ⟹∼
∼ ∼ ⟹∼ [ ⟹∼ ∧ ] [ ⟹∼ ∧ ] ⟹∼
B B
S S
S S
B B
S S
B B
S B
S B
B S
B B
B S
S B
B B
S B
Karena [ ⟹∼ ∧ ] ⟹∼ adalah tautologi, maka penarikan kesimpulan
tersebut sah.
b.
Bentuk implikasinya adalah: [ ∼ ∧ ∧∼ ] ⟹
∼ ∼ ∧ [
∼ ∧ ∧∼ ] [
∼ ∧ ∧∼ ] ⟹ B
B S
S S
B B
S S
S S
B S
B B
B B
S S
S B
S S
B Karena [
∼ ∧ ∧∼ ] ⟹ bukan merupakan tautologi, maka penarikan kesimpulan tersebut tidak sah.
c. Bentuk implikasinya adalah: ∼ ⟹∼ ∧ ⟹ ⟹ ⟹
∼ ∼ ∼ ⟹∼ ⟹ ⟹
∼ ⟹∼ ∧ ⟹
∼ ⟹∼ ∧ ⟹ ⟹ ⟹
B B B S S
B B
B B
B B B S S
S B
S S
S B
B S B S B
B B
B B
B B S S S
B B
B S
B S
S B B B S
S B
B S
B S B S B
S S
S B
S B
S S B B B
B B
B B
B S S S B
B B
B B
B B
Karena ∼ ∧ ∧∼ ⟹ bukan tautologi, maka penarikan kesimpulan tersebut tidak
sah
Jawab:
LEMBAR KEGIATAN SISWA PENGAYAAN
Pembuktian Sifat dan Teorema Matematika
Indikator:
1.
Membuktikan sebuah persamaan
atau pernyataan
dengan bukti
langsung.
2.
Membuktikan sebuah persamaan
atau pernyataan
dengan bukti tak langsung.
3.
Membuktikan sebuah persamaan
atau pernyataan
dengan induksi
matematika. Rumus Phytagoras sering kita gunakan dalam
kehidupan sehari-hari
maupun dalam
menyelesaikan masalah dalam matematika. akan tetapi apakah kalian dapat membuktikan bahwa,
“Jika ∆ siku-siku di A, maka
2
=
2
+
2
” Dalam matematika pembuktian dapat dilakukan
dengan bukti langsung, bukti tidak langsung, dan induksi matematika. Dengan mempelajarinya kita
dapat membuktikan sifa-sifat matematika yang nantinya dapat digunakan dalam kehidupan sehari-
hari maupun dalam menyelesaikan masalah dalam matematika itu sendiri.
Gambar 1 Phytagoras
https:www.pinterest.com
Pembuktian Sifat dan Teorema
PEMBUKTIAN DENGAN BUKTI LANGSUNG
Contoh: 1. Buktikan bahwa jika
2
− 4 = 0 maka = 2 atau = −2.
Bukti: Diketahui
2
− 4 = 0, kemudian akan dibuktikan bahwa = 2 atau = −2. Karena
2
− 4 = 0, maka diperoleh
2
− 4 = 0 ⇔ + 2 − 2 = 0
⇔ = 2 atau = −2 Jadi, terbukti bahwa jika
2
− 4 = 0 maka = 2 atau = −2. 2. Coba kalian buktikan bahwa jika
− 6 = 11, maka = 17.
Bukti:
KEGIATAN 7.1
Pembuktian dengan bukti langsung digunakan untuk membuktikan sifat dalam matematika dengan implikasi
. Pembuktian ini menggunakan nilai kebenaran pernyataan implikasi, yaitu
Jika diketahui bernilai benar dan implikasi bernilai benar, kemudian dengan langkah-langkah yang benar pasti dihasilkan yang bernilai benar.
Diketahui − 6 = 11, kemudian akan dibuktikan = 17.
Karena − 6 = 11, maka diperoleh
− 6 = 11 ⇔ = 11 + 6 ⇔ = 17 Jadi, terbukti bahwa jika
− 6 = 11, maka = 17.
CATATAN
Pembuktian Sifat dan Teorema Matematika
3. Buktikan bahwa jika dan bilangan rasional, maka + bilangan rasional.
Bukti: Karena dan bilangan rasional, maka dapat
dimisalkan sebagai berikut. =
, a dan b adalah bilangan bulat =
, c dan d adalah bilangan bulat Akan dibuktikan bahwa + bilangan rasional.
+ = +
=
+
Karena , , dan adalah bilangan bulat, maka +
dan adalah bilangan bulat.
Diperoleh bahwa
+
adalah bilangan rasional. Jadi, terbukti bahwa jika dan bilangan rasional, maka + bilangan
rasional. 4. Perhatikan contoh di atas kemudian coba kalian buktikan bahwa jika dan bilangan
genap, maka + bilangan genap. Bukti:
Apakah kalian masih ingat bahwa suatu
bilangan rasional dapat ditulis dalam
bentuk , dimana dan adalah bilangan bulat?
Apakah kalian masih ingat bahwa suatu
bilangan genap �
dapat ditulis dalam bentuk 2 , dimana
adalah bilangan bulat?
Karena dan bilangan genap, maka dapat dimisalkan
sebagai berikut. = 2
, a adalah bilangan bulat = 2
, b adalah bilangan bulat Akan dibuktikan + bilangan genap
+ = 2 + 2
= 2 +
Karena +
= 2 + , maka
+ juga merupakan
bilangan genap. Jadi terbukti bahwa jika dan bilangan genap, maka
+ bilangan genap.
Pembuktian Sifat dan Teorema
PEMBUKTIAN DENGAN BUKTI TAK LANGSUNG
1. Kontraposisi
Kategori