Percepatan Sesaat Dapat Diturunkan dari Fungsi Kecepatan dan Posisi

14 Fisika SMAMA Kelas XI Contoh 1.6 Persamaan di atas disebut turunan v terhadap t. Artinya, percepatan sesaat merupakan turunan pertama dari fungsi kecepatan v terhadap waktu atau turunan kedua dari fungsi posisi terhadap t. Bentuk vektor komponen dari percepatan sesaat a adalah sebagai berikut. a = a x i + a y j dengan a x = x dv dt dan a y = y dv dt . Karena v x = dx dt dan v y = dy dt , maka persamaanya menjadi seperti berikut. a x = 2 d x dt dan a y = 2 d y dt Persamaan di atas merupakan percepatan sesaat yang diperoleh dari turunan kedua dari posisi partikel atau benda yang bergerak. 1. Diketahui seberkas partikel bergerak menurut persamaan lintasan x = 4t 3 – 3t 2 dan y = 2t 2 + 5t. Jika x, y dalam meter, dan t dalam sekon, maka tentukan kecepatan dan percepatan partikel pada saat t = 3 s Diketahui : a. x = 4t 3 – 3t 2 b. y = 2t 2 + 5t Ditanyakan : a. v t = 3 = ...? b. a t = 3 = ...? Jawab: a. v x = dx dt = 3 2 4 3 d t t dt = 12t 2 – 6t = 90 ms v y = dy dt = 3 2 2 5 d t t dt = 4t + 5 = 17 ms v = 2 2 x y v v = 2 2 90 17 = 91,59 ms b. a x = x dv dt = 2 12 6 d t t dt = 24t – 6 = 66 ms 2 a y = y dv dt = 4 5 d t dt = 4 ms 2 a = 2 2 x y a a = 2 2 66 4 = 66,12 ms 2 15 Kinematika dengan Analisis Vektor S oal Kompetensi 1.6 2. Sebuah kereta express bergerak sepanjang suatu rel yang dinyatakan dalam xt = 5t + 8t 2 + 4t 3 – 0,25t 4 , dengan t dalam sekon dan x dalam meter. Tentukan persamaan percepatan kereta, percepatan awal kereta, dan percepatan kereta pada saat t = 2 s Diketahui : a. xt = 5t + 8t 2 + 4t 3 – 0,25t 4 b. t = 2 s Ditanyakan : a. at = ...? b. at= 0 = ...? c. at = 2 = ...? Jawab : a. a = dv dt = 2 d x dt v = dx dt = 5 + 16t + 12t 2 – t 3 a = dv dt = 16 + 24t – 3t 2 at = 16 + 24t – 3t 2 b. at = 0 = 16 + 0 – 0 = 16 ms 2 c. at = 2 = 16 + 242 – 32 2 = 52 ms 1. Diketahui sebuah partikel bergerak menurut persamaan x = 2t 2 – 3t 2 dan y = t 2 – 5t, dengan x,y dalam meter, dan t dalam sekon. Tentukan kecepatan dan percepatan partikel pada saat t = 35 2. Posisi yang ditempuh semut dinyatakan persamaan x = t 3 – 3t 2 + 2t, dengan t dalam sekon dan x dalam sentimeter. Tentukan persamaan percepatan semut, percepatan awal semut, dan perapatan semut pada saat t = 3 sekon

2. Menentukan Posisi dan Kecepatan dari Fungsi Percepatan

Ketika Anda ingin menentukan posisi dan kecepatan berdasarkan fungsi percepatan, maka Anda harus mengintegralkan fungsi percepatan. Hal ini merupakan kebalikan saat Anda ingin menentukan percepatan dari fungsi posisi dan kecepatan dengan menurunkannya terhadap t. Dalam bidang dua dimensi, percepatan dinyatakan sebagai berikut. 16 Fisika SMAMA Kelas XI a = v d dt atau dv = adt Jika kedua ruas dari persamaan di atas diintegralkan, maka diperoleh persamaan seperti berikut. v = v + ³ adt Persamaan di atas menunjukkan bahwa perubahan kecepatan dalam selang waktu tertentu sama dengan luas daerah di bawah grafik at dengan batas bawah t = 0 dan batas atas t = t. Perhatikan Gambar 1.5 Gambar 1.5 Luas daerah di bawah grafik a t sama dengan nilai adt ³ . Karena v = dx dt , maka persamaanv = v + ³ adt dapat ditulis sebagai berikut. v = dx dt = v + at ³ ³ x t x dx dt v at x – x = v t + 1 2 at 2 x = x – v t + 1 2 at 2 Dengan cara yang sama, untuk koordinat y diperoleh persamaan sebagai berikut. y = y – v t + 1 2 at 2 Persamaan x = x – v t + 1 2 at 2 dan y = y – v t + 1 2 at 2 , merupakan posisi partikel yang telah bergerak dalam selang waktu tertentu dan diperoleh dari integrasi kedua fungsi percepatan. a t t grafik at ³ t a dt