Persamaan Difusi Dua-Dimensi dalam Koordinat Polar

6.3.2 Persamaan Difusi Dua-Dimensi dalam Koordinat Polar

Solusi persamaan difusi

∇ F=

a 2 ∂t

yang berbentuk F (ρ, ϕ, t) = u(ρ, ϕ)T (t) mirip dengan persamaan gelombang. Dalam suku u(ρ, ϕ) dan T (t) persamaannya dapat dituliskan sebagai

+ 2 2 u(ρ, ϕ) =

2 u(ρ, ϕ) T (t). ∂ρ ρ ∂ρ ρ ∂ϕ T (t) a ∂t

6. Persamaan Diferensial Parsial dengan Batas Lengkung

Kedua ruas harus sama dengan konstanta separasi

u(ρ, ϕ) = λ, u(ρ, ϕ)

Konstanta separasi haruslah negatif, λ = −k 2 , seperti persamaan gelombang, tetapi

2 k untuk alasan yang sedikit berbeda. Jika λ = +k 2 , maka T (t) = e a 2 t , yang akan menyebabkan suhu naik ketika waktu bertambah tanpa adanya batasan. Secara fisi-

ka,, hal ini tidak beralasan. (Secara formal kita mengatakan hal ini melanggar hukum kekekalan energi.) Bukan hanya hal ini saja, λ = k 2 akan menyebabkan suku ruang gagal memenuhi syarat batas. Kita mungkin saja memiliki λ = 0, yang mengindika- sikan sistemnya telah mencapai kesetimbangan. Tetapi, kita harus bisa menyelesaikan persoalan dengan λ 6= 0 dan menunjukkan bahwa solusinya menjadi λ = 0 ketika t → ∞.

Dengan λ = −k 2 dan T (t) = e −k 2 a 2 t dan suku ruangnya diberikan oleh persamaan Helmholtz. Persamaan ini sama dengan yang diperoleh dari persamaan gelombang,

syarat batasnya dapat memberikan perbedaan. Dalam contoh berikut, kita akan mempelajari konduksi panas dalam sebuah koin.

Kelilingnya dijaga pada suhu tetap atau terisolasi.

Contoh 6.3.3. Carilah suhu di dalam piringan dengan jari-jari c, permukaan datarnya dijaga terisolasi. Mula-mula piringan berada dalam suhu f (ρ). Sisi luarnya dijaga pada suhu 100° selamanya. Solusi 6.3.3 Karena syarat batas dan juga kondisi awal tidak bergantung sudut, maka kita tahu distribusi suhu dalam piringan tidak bergantung sudut. Sehingga suhu pada piringan F (ρ, t) adalah solusi dari persoalan berikut:

F (c, t) = 100,

K. A. :

F (ρ, 0) = f (ρ).

Soal ini lebih mudah diselesaikan jika kita membuat perubahan variabel. Misalkan

u(ρ, t) = F (ρ, t) − 100.

Persamaan diferensial yang mengatur u(ρ, t) tetap tidak berubah

∇ u(ρ, t) =

u(ρ, t)

a 2 ∂t

6.3. Persamaan Helmholtz Dua-Dimensi dalam Koordinat Polar 321

tapi syarat batas dan kondisi awal diubah ke dalam

u(c, t) = 0, u(ρ, 0) = f (ρ) − 100.

Solusinya

u(ρ, t) = J 0 (kρ)e −k 2 a 2 t .

Agar memenuhi syarat batas u(c, t) = 0, k haruslah sama dengan salah satu k 0j , dengan k 0j c adalah akar ke−j dari J 0 (x) = 0. Sehingga solusi umumnya adalah kombinasi linier berikut:

u(ρ, t) =

c j J 0 (k 0j ρ)e −k 0j a t .

j=1

Karena u(ρ, 0) = f (ρ) − 100, maka

f (ρ) − 100 = u(ρ, 0) =

c j J 0 (k 0j ρ).

j=1

Mengikuti hal ini

c j = 2 2 (f (ρ) − 100)J 0 (k 0j ρ)ρdρ.

c J 1 (k 0j c) 0

Jadi distribusi suhu pada piringan adalah

f (ρ ′ ) − 100)J 0 (k 0j ρ ′ )ρ ′ dρ ′ .

c 2 J 2 1 (k 0j c) 0

Jelaslah, ketika t → ∞, suhu di setiap tempat pada piringan akan sama dengan 100°, seperti seharusnya, tidak bergantung pada suhu awal.

Contoh 6.3.4. Ganti syarat batas dari persoalan sebelumnya dengan syarat bahwa sisi piringan diissolasi termal. Carilah distribusi suhu u(ρ, t) di dalam piringan jika u(ρ, 0) = f (ρ). Solusi 6.3.4. Sisi terisolasi berarti tidak terdapat panas yang mengalir ke luar masuk piringan. Karena fluks panas sebanding dengan gradien suhu, sisi terisolasi berkaitan dengan syarat batas

u(ρ, t)

Solusi persamaan difusi tetap diberikan oleh

u(ρ, t) = J 0 (kρ)e −k 2 a 2 t .

6. Persamaan Diferensial Parsial dengan Batas Lengkung

Sekarang syarat batas meminta

J 0 (kρ)

Ingat kembali

d J 0 (x) = −J 1 (x). dx

Ini artinya

J 0 (kρ) ρ=c = −kJ 1 dρ (kc) = 0.

Jadi, k harus sama dengan salah satu dari k 1j , dengan k 1j c adalah akar ke−j dari J 1 (x) = 0. Maka solusi umumnya adalah

X −k 1j 2 a 2

u(ρ, t) =

c j t J 0 (k 1j ρ)e .

j=0

Perhatikan bahwa dalam kasus ini k 10 = 0 juga merupakan nilai eigen, karena J 1 (0) =

0. Selanjutnya, karena J 0 (0) = 1, kita dapat menuliskan ekspansi ini sebagai

X −k 1j 2 2

u(ρ, t) = c 0 +

c j J 0 (k 1j ρ)e

j=1

Dengan kondisi awal u(ρ, 0) = f (ρ), kita memiliki

Koefisien c j dapat ditentukan dengan hubungan ortogonalitas fungsi Bessel

Z c ρJ 0 (k 1j ρ)J 0 (k 1i ρ)dρ = δ ij β 2 0j ,

dengan β 2 0j diberikan oleh

ρJ 0 (k 1j ρ)dρ =

karena k 1j c adalah salah satu akar dari J 1 (x) = 0. Dengan mengalikan (6.16) dengan ρ dan mengintegralkan dari 0 ke c, kita memiliki

ρf (ρ)dρ =

ρc 0 dρ = c 2 c 0

atau

ρf (ρ)dρ.

Kalikan (6.16) dengan ρJ 0 (k 1i ρ) dan integralkan dari 0 sampai c,

c i = 2 ρJ 0 (k 1i ρ)f (ρ)dρ. β 0i 0

6.3. Persamaan Helmholtz Dua-Dimensi dalam Koordinat Polar 323

Maka, distribusi suhu pada piringan adalah

u(ρ, t) = 2 ρf (ρ)dρ +