Ruang Vektor

3.1.1 Ruang Vektor

Ketika kita membangun sistem bilangan, pertama kita menemukan penjumlahan dan perkalian bilangan bulat positif memenuhi aturan tertentu berkaitan dengan urutan penghitungan bisa dilakukan. Kemudian kita menggunakan aturan ini untuk mende- finisikan kelas bilangan yang lebih luas.

Di sini kita akan melakukan hal yang sama dengan vektor. Berdasarkan pada vektor biasa tiga dimensi, kita mengabstraksikan aturan-aturan yang dipenuhi oleh vektor. Kemudian kita menggunakan aturan-aturan ini sebagai definisi ruang vektor. Objek sebarang yang memenuhi aturan ini dinamakan membentuk ruang vektor linier.

Sebagai sebuah konsekuensi dari definisi vektor biasa, kesemuanya memenuhi atur- an sebagai berikut:

• Penjumlahan vektor bersifat komutatif dan asosiatif

a + b = b + a, (a + b) + c = a + (b + c).

• Perkalian dengan skalar bersifat distributif dan asossiatif:

α(a + b) = αa + αb, (α + β)a = αa + βa,

α(βa) = (αβ)a,

dengan α dan β skalar sebarang. • Terdapat vektor null 0 sedemikian rupa sehingga

a + 0 = a. • Semua vektor a mempunyai vektor negatifnya a sedemikian rupa sehingga

a + (−a) = 0.

• Perkalian dengan skalar satuan tidak mengubah vektor

1a = a.

• Perkalian dengan nol memberikan vektor null

0a = 0.

3.1. Fungsi sebagai Vektor dalam Ruang Vektor Dimensi Tak Hingga 109

Sekarang marilah kita perhatikan semua fungsi yang berperilaku baik f (x), g(x), h(x), . . . terdefinisi pada selang a ≤ x ≤ b. Jelaslah, kesemuanya membentuk sebuah ruang vektor linier, karena bisa dibuktikan bahwa

f (x) + g(x) = g(x) + f (x), [f (x) + g(x)] + h(x) = f (x) + [g(x) + h(x)],

α[f (x) + g(x)] = αf (x) + αg(x), (α + β)f (x) = αf (x) + βf (x), α(βf (x)) = (αβ)f (x).

f (x) + 0 = f (x).

f (x) + (−f(x)) = 0.

1 × f(x) = f(x).

0 × f(x) = 0.

Sehingga sebuah kumpulan semua fungsi dari x yang terdefinisi dalam selang ter- tentu dari x merupakan sebuah ruang vektor.

Dimensi Ruang Vektor Sebuah vektor tiga dimensi biasa v dinyatakan dengan tiga buah komponennya (v 1 ,v 2 ,v 3 ).

Ini juga bisa dianggap sebagai sebuah fungsi dengan tiga buah nilai yang berbeda [v(1), v(2), v(3)]. Sebuah vektor berdimensi n didefinisikan dengan n−tuples [v(1), v(2), . . . v(n)] seperti yang sudah kita lihat dalam teori matriks. Sekarang fungsi f (x) merupakan sebuah vektor, berapakah dimensinya?

Marilah kita bayangkan mengaproksimasi fungsi f (x) antara a ≤ x ≤ b dengan membaginya secara konstan. Bagi selang x (a ≤ x ≤ b) menjadi n bagian yang sama. Aproksimasi fungsi dengan deretan nilai (f 1 ,f 2 ,...,f n ), dengan f i adalah nilai f (x) pada titik ujung sebelah kiri dari subselang ke−i, kecuali pada f n yang nilainya f (b). Sebagai contoh, jika kita mengaproksimasi f (x) = 1 + x dalam selang 0 ≤ x ≤ 1 dengan membagi selang menjadi dua bagian yang sama, maka f (x) diaproksimasi de- ngan [f (0), f (0.5), f (1)], atau (1, 1.5, 2.0). Jelaslah ini merupakan aproksimasi yang sangat buruk. Aproksimasi yang lebih baik adalah dengan membagi selang menja- di sepuluh bagian yang sama dan mengaproksimasi fungsi dengan 11 tuples bilangan (1, 1.1, 1.2, . . . , 2). Karena fungsinya terdefinisi untuk semua nilai x yang mungkin an- tara 0 dan 1, yang terdiri dari nilai x yang tak hingga dari 0 ke 1, fungsinya dinyatakan dengan n− tuples bilangan dengan n → ∞. Dengan pemahaman ini, kita mengatakan fungsi merupakan sebuah vektor dalam ruang vektor berdimensi tak hingga.

3. Fungsi Ortogonal dan Persamaan Sturm-Liouville