Persamaan Gelombang Dua Dimensi

5.2 Persamaan Gelombang Dua Dimensi

5.2.1 Persamaan Pembangkit Getaran Membran

Sebuah membran yang bergetar seperti tutup gendang (drumhead) adalah versi dua dimensi dari senar yang bergetar. Kita mengasumsikan bahwa membran tersebut di- regangkan seragam di bawah sebuah tegangan per satuan panjang T . Yaitu, pada tiap titik membran tegangan per satuan panjang sepanjang garis lurus sebarang melalui titik tersebut, orientasi garisnya bebas, tegak lurus dengan garis tersebut sebesar T .

Mari kita perhatikan getaran membran seperti itu; kita harus menganggap bahwa rapat massa per satuan luas ρ konstan. Jika posisi kesetimbangan diambil sebagai bidang xy, maka kita berkonsentrasi dengan perpindahan z(x, y, t) tegak lurus bidang ini. Perhatikan sebuah elemen persegi dengan sisi ∆x, ∆y yang ditunjukkan Gambar

5.11. Kita kerjakan seperti sebelumnya. Kita mengasumsikan berat elemen tersebut diabaikan dibandingkan dengan gaya tegang. Dengan menggunakan hukum kedua Newton ∆x∆y, kita mempunyai

∂ 2 z T 2 ∆y sin θ 2 −T 1 ∆y sin θ 1 +T 4 ∆x sin θ 4 −T 3 ∆x sin θ 3 = ρ∆x∆y ∂t 2

. (5.49) Sekarang tidak ada gerak ke arah−x dan y, sehingga

T 4 cos θ 4 =T 3 cos θ 3 (5.50) Kita mengasumsikan kemiringan ∂z/∂x dan ∂z/∂y kecil dan seragam sepanjang do-

T 2 cos θ 2 =T 1 cos θ 1 ,

main, sehingga komponen horizontal pada (5.50) dapat dianggap sebagai tegangan

5. Persamaan Diferensial Parsial dalam Koordinat Cartesian

Gambar 5.11: Sebuah membran di bawah tegangan seragam.

membran T . Karena tegangannya seragam, maka T 2 cos θ 2 =T 1 cos θ 1 =T 4 cos θ 4 =T 3 cos θ 3 = T. Membagi kedua ruas (5.49) dengan ekspresi yang sesuai untuk T , kita peroleh

1 ∂ 2 z ∆y tan θ 2 − ∆y tan θ 1 + ∆x tan θ 4 − ∆x tan θ 3 = ρ∆x∆y

∂t 2 atau

= ρ∆x∆y

Pada limit ∆x → 0, ∆y → 0, persamaan terakhir bisa kita tuliskan

1 ∂ 2 z ∆y

. Mengikuti hal ini

∆x + ∆x

∆y = ρ∆x∆y

∂x 2 ∂y 2

∂t 2

2 ∂x + ∂y 2 = v 2 ∂t 2 ,

dengan

v=

5.2. Persamaan Gelombang Dua Dimensi 261

Gambar 5.12: Sebuah membran persegi yang bergetar.

5.2.2 Getaran Membran Persegi

Marilah kita perhatikan getaran membran pada Gambar 5.12. Perpindahan membran z(x, y, t) keluar bidang xy diberikan oleh solusi persoalan

berikut:

Pers.Dif. :

2 ∂x = ∂y v 2 ∂t 2 ,

Syarat Batas : z(0, y, t) = 0 z(a, y, t) = 0,

z(x, 0, t) = 0 z(x, b, t) = 0, Kondisi Awal : z(x, y, 0) = f (x, y), z t (x, y, 0) = g(x, y).

Kita akan menggunakan metode separasi variabel lagi,

z(x, y, t) = X(x)Y (y)T (t).

Persamaan diferensial bisa dituliskan sebagai

X(x)Y (y)T ′′ (t) Bagi dengan X(x)Y (y)T (t), kita memiliki

X (x)Y (y)T (t) + X(x)Y (y)T (t) =

Ruas kiri merupakan fungsi dari x dan y, dan ruas kanan adalah fungsi dari t. Karena x, y, t adalah variabel bebas, kedua ruas haruslah sama dengan konstanta yang sama

1 T ′′ (t)

T (t)

X ′′

(x)

Y ′′ (y)

X(x)

Y (y)

5. Persamaan Diferensial Parsial dalam Koordinat Cartesian

Kita dapat memisahkan kebergantungan pada x dan y dengan menuliskan

Ruas kiri adalah fungsi dari x dan ruas kanan adalah fungsi dari y, sehingga kedua ruas haruslah sama dengan konstanta yang sama. Konstantanya haruslah berupa bilangan negatif untuk alasan yang sama dengan konstanta separasi negatif pada per- soalan senar yang bergetar. Jika tidak seperti ini syarat batas x tidak akan terpenuhi. Sehingga kita menuliskan

Y ′′ (y) λ− 2 = −α ,

Y (y)

X ′′ (x) = −α 2 . X(x)

Maka,

X ′′

(x) = −α 2 X(x),

Y ′′ (y) = (λ + α 2 )Y (y).

Karena λ adalah konstanta yang belum ditentukan, kita dapat mengkombinasikannya dengan α 2 sebagai konstanta yang lain. Untuk memenuhi syarat batas lagi dalam y, konstanta tersebut haruslah bilangan negatif, sehingga kita menuliskan

(5.53) dan

(5.54) Syarat batas X(x) dan Y (y) adalah

Y ′′

(y) = −β 2 Y (y).

X(0) = X(a) = 0; Y (0) = Y (b) = 0. Solusi (5.52) dan (5.54), bersama dengan syarat batas adalah

nπ

X(x) = sin αx,

Untuk menekankan fakta bahwa untuk tiap bilangan bulat n, terdapat solusi fungsi eigen terpisah, kita menulis

Dengan cara yang sama, untuk tiap m, terdapat Y m (y)

mπ

Y m (y) = sin

y.

5.2. Persamaan Gelombang Dua Dimensi 263

Mengikuti (5.53) bahwa dari tiap pasang n dan m, terdapat sebuah konstanta λ nπ 2 2

λ nm =−

Jelaslah λ nm bergantung pada dua buah bilangan bulat n dan m. Untuk tiap λ nm , terdapat sebuah persamaan bergantung waktu seperti yang terlihat pada (5.51)

T nm ′′ (t) = λ nm v 2 T nm (t).

Sehingga

T nm (t) = a nm cos ω nm (t) + b nm sin ω nm (t),

Jadi untuk tiap pasang n dan m, kita mempunyai sebuah solusi

z nm (x, y, t) = X n (x)Y m (t)T nm (t).

Kita dapat menganggap ini sebagai mode normal (n, m). Solusi lengkap persoalan membran persegi bergetar dapat dinyatakan sebagai superposisi mode-mode normal ini.

z(x, y, t) =

Koefisien a nm dan b nm ditentukan oleh kondisi awal. Dengan menggunakan kon- disi, pada t = 0, z(x, y, 0) = f (x, y), kita mempunyai

nπx

mπy

z(x, y, 0) =

Hal ini dikenal sebagai deret Fourier ganda. Kita akan mengasumsikan f (x, y) dapat juga dinyatakan dalam deret seperti itu. Jika kita mendefinisikan R m sebagai

nπx

R m (x) =

a nm sin

n=1

maka

mπx

f (x, y) =

R m (x) sin

m=1

5. Persamaan Diferensial Parsial dalam Koordinat Cartesian

Untuk x yang tetap, ini adalah ekspansi deret Fourier sinus setengah selang f (x, y) pada 0 ≤ y ≤ b. Sehingga

Dengan definisi, R m (x) juga diberikan oleh (5.56), yang merupakan ekspansi deret Fourier sinus setengah selang R m (x) pada 0 ≤ x ≤ a. Sehingga

Memasukkan R m (x) pada (5.57) pada rumus ini, kita peroleh

dx dy. (5.58)

ab 0 0 a b

Ini adalah koefisien Euler umum untuk deret Fourier ganda. Untuk menentukan b nm , kita menurunkan (5.55) suku per suku terhadap t, dengan

menggunakan kondisi z t (x, y, 0) = g(x, y), kita peroleh ∂z

nπx

mπy

= g(x, y). ∂t t=0

Dengan cara yang sama sebelum ini, kita peroleh

g(x, y) sin

sin

dx dy. (5.59)

ω nm ab 0 0 a b

Jika kondisi awalnya u(x, y, 0) = f (x, y),

u t (x, y, 0) = g(x, y) = 0, maka b nm = 0 dan

mπ z(x, y, t) =

a b dengan a nm diberikan oleh (5.58).

n=1 m=1

Secara umum, karena

a nm cos ω nm t+b nm sin ω nm t=c nm cos(ω nm t+δ nm ),

kita dapat menuliskan mode normal (n, m) sebagai

mπ z nm (x, y, t) = c nm cos(ω nm t+δ nm ) sin

nπ

sin . (5.60)

5.2. Persamaan Gelombang Dua Dimensi 265

Gambar 5.13: Garis nodal dan perpindahan mode normal membran persegi z 11 ,z 21 ,z 31 ,z 32 .

Frekuensinya adalah ω 1/2

a b 2 4ρ Getaran dasar adalah mode (1,1), dengan frekuensi

Nada atas pada (5.61) berhubungan dengan frekuensi dasar tidak dengan cara numerik yang sederhana, tidak seperti senar yang bergetar dengan nada atas (harmonik) yang semuanya merupakan perkalian sederhana bilangan bulat dengan nada dasar. Untuk beberapa alasan, telinga kita mendengar suara lebih enak jika nada atas berhubungan sederhana dengan nada dasar. Sehingga, suara dari membran persegi yang bergetar kurang begitu “musikal” untuk telinga dibandingkan dengan senar yang bergetar.

Menurut (5.61), frekuensi getaran bergantung pada dua buah bilangan bulat m dan n. Sebagai hasilnya, hal ini mungkin terjadi terdapat beberapa mode yang berbeda memiliki frekuensi yang sama. Sebagai contoh, jika a = 3b, maka mode (3,3) dan (9,1) memiliki frekuensi yang sama. Ketika dua buah atau lebih mode memiliki frekuensi yang sama, kita menyebutnya berdegenerasi. Kombinasi sebarang mode berdegenerasi ini memberikan getaran lain dengan frekuensi yang sama.

Dalam mode (m, n) dari (5.60) terdapat garis nodal pada x = 0, a/n, 2a/n, . . . , a dan y = 0, b/m, 2b/m, . . . , b. Pada sisi berlawanan dari garis nodal sebarang per- pindahan memiliki arah sebarang. Beberapa mode normal ditunjukkan pada Gambar

5.13 dengan bagian berbayangan dan tanpa bayangan bergerak ke arah berlawanan.

5. Persamaan Diferensial Parsial dalam Koordinat Cartesian