Sifat-sifat Transformasi Fourier

2.6 Sifat-sifat Transformasi Fourier

2.6.1 Sifat Simetri

Sifat simetri transformasi Fourier sangatlah penting

o jika F{f(t)} = b f (ω), maka F b f (t) = 2πf (−ω).

Bukti. Karena

b f (ω) =

f (t)e −iωt dt,

dari definisi

f (t) =

b f (ω)e iωt dω.

Dengan menukar antara t dan ω

f (ω) =

b f (t)e iωt dt.

Jelas bahwa

f (−ω) =

b f (t)e −iωt dt.

b f (t)e −iωt dt = 2πf (−ω).

Dengan mengguakan hubungan sederhana ini, kita bisa menghindari manipulasi matematik yang rumit.

Contoh 2.6.1. Carilah

F e −a|t|

a 2 +ω 2

Solusi 2.6.1. Misalkan

f (t) = e −a|t| , maka

f (−ω) = e −a|ω|

dan

2a

F {f(t)} = b f (ω) =

a 2 +ω 2

Maka

b f (t) = 2a

a 2 +t 2

2.6. Sifat-sifat Transformasi Fourier

F 2 2 = e −a|ω| .

a +t

Hasil ini juga bisa didapatkan dengan integral kontur kompleks.

2.6.2 Linieritas, Pergeseran, Penskalaan

Linieritas Transformasi dan Inversnya Jika F{f(t)} = b f (ω) dan F{g(t)} = bg(ω), maka

F{af(t) + bg(t)} =

[af (t) + bg(t)]e −iωt dt −∞ Z

=a

f (t)e −iωt dt + b

g(t)e −iωt dt

= aF{f(t)} + bF{f(t)} = a b f (ω) + bbg(ω). Dengan cara yang sama,

F −1 ab f (ω) + bbg(ω) = aF −1 b f (ω) + bF −1 {bg(ω)}

= af (t) + bg(t).

Hubungan sederhana ini sangat penting karena merefleksikan kegunaan transformasi Fourier dalam analisis sistem linier.

Pergeseran Waktu Jika waktu digeser sebesar a dalam transformasi Fourier

F{f(t − a)} =

f (t − a)e −iωt dt,

dengan substitusi t − a = x, dt = dx, t = x + a, kita memiliki

F{f(t − a)} =

f (x)e −iω(x+a) dx −∞ Z

=e −iωa

f (x)e −iωx dx = e −iωa b f (ω).

2. Transformasi Fourier

Perhatikan bahwa waktu tunda dalam transformasi Fourier hanya akan mengubah fase bukan besarnya (magnitudo). Sebagai contoh

sin ω 0 t = cos ω 0 t−

= cos ω 0 t−

π 1 Sehingga jika f (t) = cos ω 0 t, maka sin ω 0 t = f (t − a) dengan a =

. Kita memiliki

=e −iω π 2 ω0 1 [Aπδ(ω − ω 0 ) + Aπδ(ω + ω 0 )] =e −i π 2 Aπδ(ω − ω 0 )+e i π 2 Aπδ(ω + ω 0 )

= −iAπδ(ω − ω 0 ) + iAπδ(ω + ω 0 ), seperti pada (2.16)

Pergeseran Frekuensi Jika frekuensi dalam b f (ω) digeser sebesar a, inversnya dikalikan dengan faktor e iat .

dengan mengganti ̟ = ω − a, kita mempunyai

F {b f (ω − a)} =

b f (̟)e i(̟+a)t d̟ = e iat f (t)

atau

b f (ω − a) = F {e iat f (t)}.

Untuk mengilustrasikan efek dari pergeseran frekuensi, marilah kita perhatikan kasus f (t) dikalikan dengan cos ω 0 t. Karena cos ω 0 t=e iω 0 t +e −iω 0 t /2, maka

F{f(t) cos ω 0 t} = F{e

f (t)} + F{e −iω 0 f (t)}

= b f (ω − ω 0 )+ b f (ω + ω 0 ).

Proses ini dikenal sebagai modulasi. Dengan kata lain ketika f (t) dimodulasi oleh cos ω 0 t, frekuensinya akan bergeser ke atas dan ke bawah secara simetrik sebesar ω 0 .

2.6. Sifat-sifat Transformasi Fourier

Penskalaan Waktu Jika F{f(at)} = b f (ω), maka transformasi Fourier dari f (at) dapat ditentukan dengan

mengganti t ′ = at dalam integral Fourier

F{f(at)} =

f (at)e −iωt dt

Z −∞

f (t ′ )e −iωt /a dt ′ = f b .

a a a Pernyataan ini benar untuk a > 0. Tetapi untuk a negatif, maka t ′ = at = −|a|t.

Sebagai sebuah konsekuensi, ketika variabel integrasi dirubah dari t menjadi t ′ , batas integral juga harus dirubah. Dalam artian

1 F{f(at)} =

f (at)e

−iωt ′

f (t ′ )e −iωt /a dt ′ =

|a| −∞

|a|

Sehingga secara umum

F{f(at)} =

|a|

Hal ini berarti ketika skala waktu membesar, skala frekuensi bukan hanya berkontraksi mengecil, amplitudonya juga naik. Amplitudonya naik sedemikian rupa sehingga luas daerahnya tetap.

Penskalaan Frekuensi n

o Hal ini hanyalah kebalikan dari penskalaan waktu. Jika F −1 b f (ω) = f (t), maka

F −1 b f (aω) 1 =

b f (aω)e iωt dω

a Hal ini berarti ketika skala frekuensinya membesar, skala waktunya berkontraksi dan

amplitudo fungsi waktu akan naik.

2.6.3 Transformasi Turunan

Jika transformasi turunan ke−n dari f n (t) ada, maka f n (t) haruslah terintegralkan sepanjang (−∞, ∞). Hal ini berarti f n (t) → 0 ketika t → ±∞. Dengan asumsi

2. Transformasi Fourier

ini transformasi Fourier dari turunan f (t) dapat dinyatakan dalam suku transformasi

f (t). Hal ini tampak sebagai berikut:

df (t)

F{f (t)} =

e−iωt dt =

e −iωt dt

dt

= f (t)e −iωt ∞

−∞ + iω

f (t)e

Suku terintegralkan sama dengan nol pada kedua batas. Maka

F{f ′ (t)} = iω

f (t)e −iωt dt = iωF{f(t)} = iω b f (ω).

Bisa diperoleh

2 F{f 2 (t)} = iωF{f (t)} = (iω) F {f(t)} = (iω) b f (ω). Sehingga

F{f n (t)} = (iω) Ff(t) = (iω) b f (ω)

Maka turunan dalam domain waktu menjadi perkalian sederhana dalam domain fre- kuensi.

2.6.4 Transformasi Integral

Transformasi Fourier dari integral berikut

I(t) =

f (x) dx

dapat dengan mudah diperoleh dengan menggunakan transformasi Fourier turunan. Karena

d I(t) = f (t), dt

didapatkan

dI(t) t

F{f(t)} = F

= iωF{I(t)} = iωF

f (x)dx .

F f (x)dx =

iω F{f(t)}.

Sehingga integral dalam domain waktu menjadi pembagian dalam domain frekuensi.

2.6. Sifat-sifat Transformasi Fourier

2.6.5 Teorema Parseval

Teorema Parseval dalam deret Fourier juga berlaku untuk transformasi Fourier. Inte- gral dari sebuah fungsi kuadrat dihubungkan dengan transformasi integral dari fungsi kuadrat dengan cara berikut

|f(t)| dt =

|b f (ω)| dω.

b f (ω)e iωt dω,

kompleks konjugatnya

f (t) =

f (ω)e iωt dω =

b f (ω)e iωt dω.

Maka Z ∞

1 2 ∞ |f(t)| dt =

f (t)f ∗ (t) dt =

f (t)

f b ∗ (ω)e −iωt dω dt.

Dengan menukar integrasi ω dan t Z ∞

|f(t)| dt =

f b ∗ (ω)

f (t)e −iωt dt dω

|b 2 f (ω)| dω.

Jika kita menuliskan dalam frekuensi ν, bukan dalam frekuensi sudut ω (ω = 2πν), teorema ini dapat dinyatakan

|f(t)| 2 dt =

|b 2 f (ν)| dν.

Dalam fisika, energi total yang berkaitan dengan sebuah bentuk gelombang f (t) R (radiasi elektromagnetik, gelombang air, dll) sebanding dengan ∞ |f(t)| 2 dt. Dengan

teorema Parseval, energi juga diberikan oleh

f (ν) dν. Sehingga

f (ν) adalah

energi tiap satuan interval frekuensi dan dikenal sebagai rapat energi. Untuk alasan ini, teorema Parseval juga dikenal sebagai teorema energi.

Contoh 2.6.2. Carilah nilai dari

Z ∞ sin 2 x

I=

dx

2. Transformasi Fourier

dengan teorema Parseval dan transformasi Fourier dari

  1 |t| < 1, Π 1 (t) =  0 |t| > 1.

Solusi 2.6.2. Misalkan f (t) = Π 1 (t), sehingga

F{f(t)} = b f (ω) =

Π 1 (t)e −iωt dt =

e −iωt dt

=− e −iωt

|f(t)| 2 dt =

Di sisi lain Z ∞

Dari teorema Parseval

|f(t)| 2 dt = 1

|b f (ω)| 2 dω,

kita mempunyai

Dari sini

Karena sin 2 ω/ω 2 merupakan fungsi genap