Sifat-sifat Transformasi Fourier
2.6 Sifat-sifat Transformasi Fourier
2.6.1 Sifat Simetri
Sifat simetri transformasi Fourier sangatlah penting
o jika F{f(t)} = b f (ω), maka F b f (t) = 2πf (−ω).
Bukti. Karena
b f (ω) =
f (t)e −iωt dt,
dari definisi
f (t) =
b f (ω)e iωt dω.
Dengan menukar antara t dan ω
f (ω) =
b f (t)e iωt dt.
Jelas bahwa
f (−ω) =
b f (t)e −iωt dt.
b f (t)e −iωt dt = 2πf (−ω).
Dengan mengguakan hubungan sederhana ini, kita bisa menghindari manipulasi matematik yang rumit.
Contoh 2.6.1. Carilah
F e −a|t|
a 2 +ω 2
Solusi 2.6.1. Misalkan
f (t) = e −a|t| , maka
f (−ω) = e −a|ω|
dan
2a
F {f(t)} = b f (ω) =
a 2 +ω 2
Maka
b f (t) = 2a
a 2 +t 2
2.6. Sifat-sifat Transformasi Fourier
F 2 2 = e −a|ω| .
a +t
Hasil ini juga bisa didapatkan dengan integral kontur kompleks.
2.6.2 Linieritas, Pergeseran, Penskalaan
Linieritas Transformasi dan Inversnya Jika F{f(t)} = b f (ω) dan F{g(t)} = bg(ω), maka
F{af(t) + bg(t)} =
[af (t) + bg(t)]e −iωt dt −∞ Z
=a
f (t)e −iωt dt + b
g(t)e −iωt dt
= aF{f(t)} + bF{f(t)} = a b f (ω) + bbg(ω). Dengan cara yang sama,
F −1 ab f (ω) + bbg(ω) = aF −1 b f (ω) + bF −1 {bg(ω)}
= af (t) + bg(t).
Hubungan sederhana ini sangat penting karena merefleksikan kegunaan transformasi Fourier dalam analisis sistem linier.
Pergeseran Waktu Jika waktu digeser sebesar a dalam transformasi Fourier
F{f(t − a)} =
f (t − a)e −iωt dt,
dengan substitusi t − a = x, dt = dx, t = x + a, kita memiliki
F{f(t − a)} =
f (x)e −iω(x+a) dx −∞ Z
=e −iωa
f (x)e −iωx dx = e −iωa b f (ω).
2. Transformasi Fourier
Perhatikan bahwa waktu tunda dalam transformasi Fourier hanya akan mengubah fase bukan besarnya (magnitudo). Sebagai contoh
sin ω 0 t = cos ω 0 t−
= cos ω 0 t−
π 1 Sehingga jika f (t) = cos ω 0 t, maka sin ω 0 t = f (t − a) dengan a =
. Kita memiliki
=e −iω π 2 ω0 1 [Aπδ(ω − ω 0 ) + Aπδ(ω + ω 0 )] =e −i π 2 Aπδ(ω − ω 0 )+e i π 2 Aπδ(ω + ω 0 )
= −iAπδ(ω − ω 0 ) + iAπδ(ω + ω 0 ), seperti pada (2.16)
Pergeseran Frekuensi Jika frekuensi dalam b f (ω) digeser sebesar a, inversnya dikalikan dengan faktor e iat .
dengan mengganti ̟ = ω − a, kita mempunyai
F {b f (ω − a)} =
b f (̟)e i(̟+a)t d̟ = e iat f (t)
atau
b f (ω − a) = F {e iat f (t)}.
Untuk mengilustrasikan efek dari pergeseran frekuensi, marilah kita perhatikan kasus f (t) dikalikan dengan cos ω 0 t. Karena cos ω 0 t=e iω 0 t +e −iω 0 t /2, maka
F{f(t) cos ω 0 t} = F{e
f (t)} + F{e −iω 0 f (t)}
= b f (ω − ω 0 )+ b f (ω + ω 0 ).
Proses ini dikenal sebagai modulasi. Dengan kata lain ketika f (t) dimodulasi oleh cos ω 0 t, frekuensinya akan bergeser ke atas dan ke bawah secara simetrik sebesar ω 0 .
2.6. Sifat-sifat Transformasi Fourier
Penskalaan Waktu Jika F{f(at)} = b f (ω), maka transformasi Fourier dari f (at) dapat ditentukan dengan
mengganti t ′ = at dalam integral Fourier
F{f(at)} =
f (at)e −iωt dt
Z −∞
f (t ′ )e −iωt /a dt ′ = f b .
a a a Pernyataan ini benar untuk a > 0. Tetapi untuk a negatif, maka t ′ = at = −|a|t.
Sebagai sebuah konsekuensi, ketika variabel integrasi dirubah dari t menjadi t ′ , batas integral juga harus dirubah. Dalam artian
1 F{f(at)} =
f (at)e
−iωt ′
f (t ′ )e −iωt /a dt ′ =
|a| −∞
|a|
Sehingga secara umum
F{f(at)} =
|a|
Hal ini berarti ketika skala waktu membesar, skala frekuensi bukan hanya berkontraksi mengecil, amplitudonya juga naik. Amplitudonya naik sedemikian rupa sehingga luas daerahnya tetap.
Penskalaan Frekuensi n
o Hal ini hanyalah kebalikan dari penskalaan waktu. Jika F −1 b f (ω) = f (t), maka
F −1 b f (aω) 1 =
b f (aω)e iωt dω
a Hal ini berarti ketika skala frekuensinya membesar, skala waktunya berkontraksi dan
amplitudo fungsi waktu akan naik.
2.6.3 Transformasi Turunan
Jika transformasi turunan ke−n dari f n (t) ada, maka f n (t) haruslah terintegralkan sepanjang (−∞, ∞). Hal ini berarti f n (t) → 0 ketika t → ±∞. Dengan asumsi
2. Transformasi Fourier
ini transformasi Fourier dari turunan f (t) dapat dinyatakan dalam suku transformasi
f (t). Hal ini tampak sebagai berikut:
df (t)
F{f (t)} =
e−iωt dt =
e −iωt dt
dt
= f (t)e −iωt ∞
−∞ + iω
f (t)e
Suku terintegralkan sama dengan nol pada kedua batas. Maka
F{f ′ (t)} = iω
f (t)e −iωt dt = iωF{f(t)} = iω b f (ω).
Bisa diperoleh
2 F{f 2 (t)} = iωF{f (t)} = (iω) F {f(t)} = (iω) b f (ω). Sehingga
F{f n (t)} = (iω) Ff(t) = (iω) b f (ω)
Maka turunan dalam domain waktu menjadi perkalian sederhana dalam domain fre- kuensi.
2.6.4 Transformasi Integral
Transformasi Fourier dari integral berikut
I(t) =
f (x) dx
dapat dengan mudah diperoleh dengan menggunakan transformasi Fourier turunan. Karena
d I(t) = f (t), dt
didapatkan
dI(t) t
F{f(t)} = F
= iωF{I(t)} = iωF
f (x)dx .
F f (x)dx =
iω F{f(t)}.
Sehingga integral dalam domain waktu menjadi pembagian dalam domain frekuensi.
2.6. Sifat-sifat Transformasi Fourier
2.6.5 Teorema Parseval
Teorema Parseval dalam deret Fourier juga berlaku untuk transformasi Fourier. Inte- gral dari sebuah fungsi kuadrat dihubungkan dengan transformasi integral dari fungsi kuadrat dengan cara berikut
|f(t)| dt =
|b f (ω)| dω.
b f (ω)e iωt dω,
kompleks konjugatnya
f (t) =
f (ω)e iωt dω =
b f (ω)e iωt dω.
Maka Z ∞
1 2 ∞ |f(t)| dt =
f (t)f ∗ (t) dt =
f (t)
f b ∗ (ω)e −iωt dω dt.
Dengan menukar integrasi ω dan t Z ∞
|f(t)| dt =
f b ∗ (ω)
f (t)e −iωt dt dω
|b 2 f (ω)| dω.
Jika kita menuliskan dalam frekuensi ν, bukan dalam frekuensi sudut ω (ω = 2πν), teorema ini dapat dinyatakan
|f(t)| 2 dt =
|b 2 f (ν)| dν.
Dalam fisika, energi total yang berkaitan dengan sebuah bentuk gelombang f (t) R (radiasi elektromagnetik, gelombang air, dll) sebanding dengan ∞ |f(t)| 2 dt. Dengan
teorema Parseval, energi juga diberikan oleh
f (ν) dν. Sehingga
f (ν) adalah
energi tiap satuan interval frekuensi dan dikenal sebagai rapat energi. Untuk alasan ini, teorema Parseval juga dikenal sebagai teorema energi.
Contoh 2.6.2. Carilah nilai dari
Z ∞ sin 2 x
I=
dx
2. Transformasi Fourier
dengan teorema Parseval dan transformasi Fourier dari
1 |t| < 1, Π 1 (t) = 0 |t| > 1.
Solusi 2.6.2. Misalkan f (t) = Π 1 (t), sehingga
F{f(t)} = b f (ω) =
Π 1 (t)e −iωt dt =
e −iωt dt
=− e −iωt
|f(t)| 2 dt =
Di sisi lain Z ∞
Dari teorema Parseval
|f(t)| 2 dt = 1
|b f (ω)| 2 dω,
kita mempunyai
Dari sini
Karena sin 2 ω/ω 2 merupakan fungsi genap