Gelombang Berdiri

5.1.3 Gelombang Berdiri

Untuk interpretasi fisis deret (5.14), marilah kita anggap bahwa senar tiba-tiba di- lepaskan dari posisi u(x, 0) = sin(2π/L)x. Dalam kasus ini koefisiennya diberikan oleh

 0 n 6= 2. Perpindahan senarnya adalah

2πa

u(x, t) = sin

x cos

t.

Gerak ini ditunjukkan pada Gambar 5.3. Pada waktu singkat, u(x, t) berupa kurva sinus murni

u(x, t) = A 2 (t) sin

x,

5.1. Persamaan Gelombang Satu Dimensi 237

Gambar 5.3: Gelombang berdiri dari sin(2π/L)x cos(2πa/L)t.

dengan A 2 (t) adalah amplitudo gelombang sinus dan A 2 (t) = cos(2πa/L)t. Perhatikan bahwa titik-titik pada x = 0, x = L/2 dan x = L tetap untuk semua waktu. Titik- titik ini dinamakan simpul. Antara titik-titik simpul, senar berosilasi ke atas dan ke bawah. Gerak seperti ini disebut sebagai gelombang berdiri

Secara umum (5.13) dapat dianggap sebagai

u(x, t) =

dikenal sebagai mode normal ke−n. Salah satu karakteristik sebuah mode normal adalah ketika senar bergetar dalam gelombang berdiri dalam mode tersebut, senar akan terus bergetar dalam mode tersebut selamanya. Tentu, jika terdapat redaman,

amplitudonya akan mengecil. Kebergantungan tiap mode normal terhadap waktu diberikan oleh cos(nπat/L)

yang merupakan fungsi periodik. Periode didefinisikan setelah selang waktu ketika fungsinya kembali pada nilai asalnya. Misalkann P n adalah periode, maka

Frekuensi ν n didefinisikan sebagai jumlah osilasi dalam satu detik (satuan frekuensi adalah Hertz, Hz), yaitu

1 na

2L

5. Persamaan Diferensial Parsial dalam Koordinat Cartesian

Gambar 5.4: Empat buah mode normal pertama dari senar yang bergetar. Tiap mode normal merupakan gelombang berdiri. Mode normal ke−n memiliki simpul n − 1, tanpa simpul pada dua buah titik akhir.

Sehingga deret (5.16) merepresentasikan gerak senar (dalam violin atau gitar) sebagai superposisi mode normal tak hingga, yang masing-masing bergetar dengan frekuensi berbeda. Frekuensi paling rendahnya

2L

2L ρ

disebut sebagai frekuensi dasar. Di sini, kita telah menggunakan definisi yang dibe- rikan (5.5). Frekuensi dasar biasanya mendominasi suara yang kita dengar. Frekuensi

ν n = nν 1 , dari nada atas atau nada harmonik ke−n merupakan perkalian bulat dari ν 1 .

Perhatikan bahwa ketika L, T, ρ dipilih, frekuensi dasar tetap. Kondisi awal tidak mempengaruhi ν 1 , tetapi, menentukan koefisien pada (5.14) dan tingkat frekuensi har- monik yang lebih tinggi berkontribusi pada suara yang dihasilkan. Sehingga, kondisi awal berpengaruh pada pencampuran frekuensi (disebut timbre), dibandingkan pada frekuensi dasar. Sebagai contoh, jika senar sebuah violin diikat simpul pada titik la- in bukan pada pusatnya, amplitudo harmonik yang lebih tinggi akan berbeda dengan yang ditunjukkan pada Gambar 5.2. Dengan memilih titik secara tepat harmonik yang kita inginkan akan diperkuat atau dihilangkan, sebuah hal yang dimengerti dengan ba- ik oleh musisi. Ketika instrumen musik dibuat, panjang senar L dan rapat massa ρ tidak dapat diubah. Maka penyetelan nada dilakukan dengan mengubah tegangan T .

Kebergantungan spasial (ruang) dari beberapa mode normal pertama ditunjukkan Gambar 5.4. Mode pertama (n = 1) disebut sebagai mode dasar, merepresentasikan sebuah frekuensi harmonik yang bergantung waktu a/2L. Frekuensi harmonik kedua atau nada atas pertama (n = 2) bergetar harmonik dengan frekuensi a/L, dua kali lebih cepat dibandingkan mode dasar. Geraknya juga digambarkan pada Gambar

5.4. Perhatikan bahwa, sebagai tambahan untuk dua buah titik akhir, titik tengah

5.1. Persamaan Gelombang Satu Dimensi 239

harmonik ini adalah titik simpul. Dengan cara yang sama, harmonik ketiga (n = 3) dan keempat (n = 4) masing-masing memiliki dua dan tiga titik simpul.

Dalam mendeskripsikan frekuensi osilasi, frekuensi sudut ω n (radian per detik) biasanya digunakan

πna

ω n = 2πν n =

Kuantitas lain yang berkaitan dengan gerak gelombang adalah panjang gelombang. Panjang gelombang λ n didefinisikan sehingga u n (x, t) akan kembali pada nilai semula jika x naik sebesar λ n , yaitu

jelas bahwa (5.18) terpenuhi jika

Maka untuk n = 1, L = 1 2 3 λ; n = 2, L = λ; n = 3, L = 2 λ, n = 4, L = 2λ. Hubungan ini jelas terlihat pada Gambar 5.4. Sehingga jarak antara dua simpul berdekatan adalah setengah panjang gelombang.

Sering sebuah kuantitas yang dikenal sebagai bilangan gelombang k n (jumlah pan- jang gelombang dalam selang 2π)

digunakan untuk mendeskripsikan bentuk gelombang. Dalam notasi ini, mode normal u n (x, t) dituliskan sebagai

(5.21) Hubungan sangat penting antara frekuensi dan panjang gelombang adalah

Hubungan ini mengatakan bahwa frekuensi berbanding terbalik dengan panjang gelombang dan konstanta kesebandingannya sama dengan akar kuadrat dari tegangan

5. Persamaan Diferensial Parsial dalam Koordinat Cartesian

Gambar 5.5: Percobaan gelombang berdiri untuk memverifikasi hubungan antara panjang gelom- bang dengan frekuensi.

dibagi rapat massa. Eksperimen fisika standar ditunjukkan pada Gambar 5.5. Se- buah senar dengan rapat massa ρ dan tegangan T dihubungan dengan vibrator, alat yang frekuensinya bisa divariasikan. Pola gelombang berdiri akan muncul untuk nilai frekuensi diskrit tertentu. Panjang gelombang tiap gelombang berdiri dapat diukur. Setelah beberapa gelombang berdiri dengan frekuensi berbeda diukur kita dapat mem- buat grafik frekuensi terhadap satu per panjang gelombang. Kurvanya akan berupa p garis lurus dan kemiringannya sama dengan T /ρ.

Ini bukan hanya demonstrasi prinsip fisika, tetapi juga demonstrasi dari kekuatan analisis. Kita telah menggunakan hukum Newton, yang menghubungkan antara ga- ya dengan percepatan partikel dengan gerak senar melalui penggunaan kalkulus dan menyimpulkan bahwa frekuensi dan panjang gelombang harus memenuhi hubungan (5.22). Hal ini telah anda lakukan dalam laboratorium pada mata kuliah Fisika Da- sar.

Jika gelombang merambat pada garis tak hingga, kita dapat berfikir bahwa freku- ensi adalah jumlah siklus gelombang yang dibangkitkan tiap detik dan masing-masing memperpanjang sebuah jarak satu gelombang, sehingga ν n λ n = a adalah jarak yang ditempuh gelombang dalam satu detik. Dengan kata lain, a adalah kecepatan gelom- bang berjalan. Hal ini adalah kasus yang akan kita lihat dalam Subbab 5.1.4 berikut.