Pertukaran Panas pada Batas
5.5.3 Pertukaran Panas pada Batas
Jika terdapat perpindahan panas, maka menurut hukum pendinginan Newton, fungsi suhu memenuhi hubungan
hu(x, t) +
u(x, t) = 0,
∂x
dengan konstanta h adalah koefisien transfer panas yang sesuai. Anggap kita ingin mengetahui suhu u(x, t) sebuah papan yang awalnya memiliki
suhu seragam u 0 . Permukaan papan pada x = 0 dijaga pada suhu 0, pada permukaan x = L, perpindahan panas terjadi sehingga
u x (L, t) = −hu(L, t).
Untuk mencari u(x, t) kita harus menyelesaikan persoalan berikut
S. B. : u(0, t) = 0, u x (L, t) = −hu(L, t), K. A. : u(x, 0) = u 0 .
Lagi, kita mengasumsikan variabelnya dapat dipisahkan
u(x, t) = X(x)T (t),
jadi
X ′′
2 X = −λ a T
dan
= −a 2 λ 2 T,
X ′′
= −λ 2 X.
5. Persamaan Diferensial Parsial dalam Koordinat Cartesian
Gambar 5.16: Solusi dari tan β = −β/hL yang merupakan perpotongan y = tan x dan y = −x/hL.
Solusi untuk X adalah
X(x) = A cos λx + B sin λx.
Syarat batas u(0, t) = 0 berarti X(0) = 0. Sehingga
X(0) = A = 0.
Syarat batas yang lain pada x = L, u x (L, t) = −hu(L, t), menjadi
X ′ (L)T (t) = −hX(x)T (t)
atau
X ′ (L) = −hX(x).
Nilai λ yang memenuhi persamaan ini adalah nilai eigen. Anggap λL = β, sehingga
Solusi persamaan ini adalah titik perpotongan grafik y = tan x dan y = −x/hL, seperti tampak pada Gambar 5.16. Jelas dari gambar bahwa terdapat barisan akar positif β 1 ,β 2 ,β 3 .... Nilai eigen (5.78), diberikan oleh
5.5. Persamaan Difusi Satu Dimensi 281
untuk n = 1, 2, 3, . . . . Dengan kata lain
tan λ n L=−
Persamaan (5.79) sering muncul dalam aplikasi, solusi untuk beberapa nilai hL dita- bulasikan dalam Table 4.19 of Abramowitz and Stegun, Handbook of Mathematical Functions (Dover, New York, 1965).
Fungsi eigen X n yang berkaitan dengan nilai eigen λ n adalah
X n (x) = sin λ n x.
Menurut teorema Sturm-Liouville, fungsi eigen ini ortogonal. Hal ini bisa dibuktikan secara eksplisit. Anggap
I nm =
sin λ n x sin λ m xdx.
Dengan identitas trigonometrik atau dengan mengubahnya dalam bentuk eksponensi- al, kita dapat membuktikan bahwa integralnya sama dengan
1 sin(λ n −λ m )L
sin(λ n +λ m )L
Jika λ n 6= λ m , maka
I nm = 2 2 [λ m sin λ n L cos λ m L−λ n sin λ m L cos λ n L] (λ n −λ m )
Dengan (5.80) yang dapat dituliskan sebagai
(5.82) Kita melihat bahwa
Sehingga {sin λ n x} adalah himpunan ortogonal. Untuk λ n =λ m , kita bisa menggunakan aturan L’Hospital pada suku pertama
(5.81) atau dengan mengintegralkannya langsung, hasilnya adalah
Dengan (5.82) lagi
I nn =
L+ cos 2 λ n L =
(Lh + cos 2 λ n L).
2 h 2h
5. Persamaan Diferensial Parsial dalam Koordinat Cartesian
Berkaitan dengan tiap λ n , solusi persamaan untuk T n adalah
−λ n n 2 (t) = e a T 2 t .
Sehingga solusi umumnya u(x, t) dapat dinyatakan sebagai
2 u(x, t) = 2 c
n e −λ n a t sin λ n x.
n=1
Koefisien c n dapat ditentukan dengan kondisi awal u(x, 0) = u 0
c n sin λ n x=u 0 .
n=1
Kalikan kedua ruas dengan sin λ m x dan integrasikan dari 0 sampai L
sin λ n x sin λ m xdx =
u 0 sin λ m xdx,
n=1
kita mempunyai
(1 − cosλ n L)
u(x, t) = 2hu
dengan λ 1 ,λ 2 , . . . adalah akar positif dari
λ tan λL = − .