Beberapa Perluasan

7.4 Beberapa Perluasan

Kita sering menemui fungsional mengandung turunan yang lebih tinggi, atau beberapa variabel bebas maupun tak bebas. Persamaan Euler-Lagrange untuk persoalan ini dapat diturnkan dengan cara yang serupa.

7.4.1 Fungsional dengan Turunan Lebih Tinggi

Perhatikan fungsional

dengan nilai y dan y ′ ditentukan pada dua titik ujung

y (x 1 )=A 0 ,y ′ (x 1 )=A 1 , y (x 2 )=B 0 ,y ′ (x 2 )=B 1 .

Kita ingin mencari sebuah fungsi f (x), dari semua fungsi yang memenuhi syarat batas, sehingga fungsional I nilainya ekstrimum.

Untuk menyelesaikan persoalan ini, kita mengikuti prosedur sebelumnya. Kita definisikan kurva-kurva yang memenuhi syarat batas

Y (x) = y (x) + αη (x) , Y ′ (x) = y ′ + αη ′ ,Y ′′ =y ′′ + αη ′′ ,

dengan η(x) fungsi sebarang yang dapat diturunkan dua kali yang memenuhi syarat batas

η (x 1 ) = η (x 2 ) = 0, η ′ (x 1 )=η ′ (x 2 ) = 0. Ganti y dengan Y pada (7.24), kita mempunyai

I (α) =

F (Y, Y ′ ,Y ′′ , x) dx.

Syarat perlu agar nilainya ekstrimum adalah

dI = 0. dα α=0

7. Kalkulus Variasi

Dengan mengambil turunan di dalam integral, diperoleh

dI x 2 ∂F

η ′′ dx. Kita telah membuktikan bahwa

Dengan integral parsial

Suku yang diintegralkan juga nol karena syarat batas η ′ (x). Dengan integral parsial lagi, suku terakhir menjadi

1 x 1 dx x 2 ∂y ′′ Suku yang diintegralkan hilang lagi karena syarat batas η(x). Jadi

Maka fungsi y(x), sehingga I stasioner, haruslah memenuhi persamaan diferensial

Perhatikan tanda yang berubah dalam persamaan ini. Jelaslah fungsi y(x) yang me- minimalkan fungsional

I=

F (y, y ′ ,y ′′ ,...,y n , x) dx

adalah solusi dari ∂F

d ∂F

∂F

∂y − dx ∂y ′ + · · · (−1)

∂y n

7.4.2 Kebergantungan Beberapa Variabel

Perhatikan integral

I=

F (x, y, x ′ ,y ′ , t) dt,

7.4. Beberapa Perluasan 395

dengan x dan y merupakan fungsi yang dapat diturunkan dua kali terhadap variabel bebas t. Turunannya terhadap t berturut-turut adalah x ′ dan y ′ . Nilai dari x(t 1 ), y(t 1 ) dan x(t 2 ), y(t 2 ) ditentukan. Kita ingin mencari persamaan diferensial sehingga x dan y harus memenuhi sehingga nilai I stasioner. Kita dapat mencari solusi persoalan ini dengan prosedur yang sama seperti kasus kebergantungan satu variabel.

Misalkan x(t) dan y(t) adalah kurva aktual sepanjang I stasioner. Kita memisalkan

kurva-kurva yang melalui dua buah titik t 1 dan t 2 sebagai

X (t) = x (t) + αǫ (t) , Y (t) = y (t) + αη (t) dengan ǫ(t) dan η(t) adalah dua buah fungsi terdiferensialkan sehingga

ǫ (t 1 ) = ǫ (t 2 ) = 0, η (t 1 ) = η (t 2 ) = 0.

Syarat batas ini menjamin tiap kurva melalui dua buah titik ujung. Parameter α menspesifikasi masing-masing kurva dan kurva yang meminimalkan I diberikan label α = 0. Sebagai sebuah konsekuensi

X ′ =x ′ + αǫ ′ ,Y ′ =y ′ + αη ′ .

Dengan menggantikan x dengan X dan y dengan Y , integral I menjadi fungsi dari α

I(α) =

F (X, Y, X ′ ,Y ′ , t) dt.

Syarat perlu agar I stasioner adalah

dI = 0. dα α=0

Karena α tidak bergantung pada t, turunan dapat dilakukan di dalam integral Z t

Dengan memilih α = 0 sama dengan mengganti X dan Y dengan x dan y. Jadi

Hubungan ini harus berlaku untuk semua pilihan ǫ(t) dan η(t), sepanjang memenuhi syarat batas. Secara khusus, ini berlaku untuk pemilihan khusus sehingga ǫ(t) sama dengan nol dan η(t) sebarang. Untuk pilihan ini, persamaan terakhir menjadi

dI t 2 ∂F

∂F

η ′ dt.

dα α=0

t 1 ∂y

∂y ′

7. Kalkulus Variasi

Persamaan ini identik dengan (7.6) dengan variabel bebas x diganti dengan t. Dengan mengikuti prosedur yang sama, kita memperoleh

Dengan cara yang sama,

Jadi untuk sistem ini, kita memiliki dua buah persamaan Euler-Lagrange simultan yang terpisah untuk x(t) dan y(t). Jelaslah, jika kita memiliki kebergantungan ter- hadap n variabel, analisis yang sama akan memberikan n buah persamaan simultan yang terpisah.

Metode ini dengan mudah diperumum untuk kasus dengan kendala lebih dari satu. Jika kita menginginkan nilai stasioner integral I, yang memiliki kebergantungan ter- hadap n variabel, dengan beberapa kendala sehingga nilai integral J j dijaga konstan untuk i = 1, 2, ..., m, maka kita mencari nilai stasioner integral yang baru K,

K=I+

j=1

Dengan Z t 2 I=

(x 1 ,...,x n ,x ′ 1 ,...,x n ′ , t) dt,

G j (x 1 ,...,x n ,x ′ ,...,x ′ 1 n , t) dt, i = 1, 2, . . . , m.

Dengan prosedur yang sama, kita bisa peroleh persamaan Euler-Lagrange

Ini adalah n buah persmaan diferensial terkopel.

7.4.3 Beberapa Variabel Bebas

Untuk persoalan lebih dari satu dimensi, kita perlu memperhatikan fungsional yang bergantung pada lebih dari satu variabel bebas. Marilah kita perhatikan integral ganda x dan y terhadap daerah R

ZZ

I=

F u, u ′ ′ x ,u y , x, y dx dy,

7.4. Beberapa Perluasan 397

dengan u adalah fungsi x dan y, maka

Misalkan daerah R dibatasi kurva C. Nilai u(x, y) ditentukan pada C. Kita meng- asumsikan F kontinu dan dapat diturunkan dua kali. Kita akan menentukan fungsi u(x, y) sehingga I stasioner terhadap perubahan kecil pada u.

Analog dengan satu dimensi, prosedurnya dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan ini. Misalkan u(x, y) adalah fungsi sehingga integral I stasioner, dan fungsi ujinya berbentuk

U (x, y) = u (x, y) + αη (x, y) ,

dengan η(x, y) = 0 pada C. Kita akan menggunakan notasi berikut untuk menyatakan turunan parsial

Gantikan u(x, y) dengan U (x, y) pada (7.25), kita mempunyai

Syarat perlu agar u(x, y) merupakan sebuah fungsi sehingga I ekstrimum adalah tu- runan I hilang pada α = 0

Karena α tidak bergantung pada x atau y, kita dapat mengambil turunan di dalam tanda integral

Dalam limit α → 0, kita memiliki

Suku kedua ruas kanan dapat dituliskan ZZ

y 2 "Z x=c 2 (y)

∂F

∂F ∂η

η x dx dy =

dx dy

R ∂u x ′

y 1 x=c 1 (y)

∂u ′

x ∂x

7. Kalkulus Variasi

Gambar 7.11: Integral ganda. Sebuah integral ganda terhadap daerah R dapat dilakukan pertama

mengintegralkan x dari batas kiri x 1 =C 1 (y) ke batas kanan x 2 =C 2 (y) dengan y tetap, kemudian

mengintegralkan y dari y 1 ke y 2 .

dengan C 1 dan C 2 ditunjukkan pada Gambar 7.11. Dengan y tertentu, kita dapat melakukan integrasi parsial yaitu

∂x ∂u ′ x Suku yang diintegralkan sama dengan nol karena pada batas η(x, y) = 0. Jadi

Dengan cara yang sama ZZ ∂F

Jadi ZZ

Karena η(x, y) sebarang kecuali pada batas, kita simpulkan suku pada kurung sama dengan nol,

Ini adalah persamaan Euler-Lagrange dalam dua dimensi, perluasan dalam tiga di- mensi sama persis.

7.5. Persoalan Sturm-Liouville dan Prinsip Variasi 399