Putaran Permukaan Minimal

7.3.4 Putaran Permukaan Minimal

Catenary juga merupakan solusi persoalan putaran persoalan minimal yang melalui dua buah titik A dan B.

Luas permukaan putaran yang dibangkitkan dengan memutar kurva y = y(x) melalui sumbu−x adalah

Kita mencari sebuah integral untuk diminimalkan sama dengan (7.17). Maka kurvanya berupa sebuah catenary yang diberikan oleh (7.20)

x+b

y (x) = c cosh

7.3. Solusi Persoalan Terkenal 387

Permukaan yang dibangkitkan oleh rotasi sebuah catenary dinamakan catenoid. Nilai konstanta sebarang c dan b ditentukan oleh syarat

y (x A )=y A , y (x B )=y B

Sayangnya ini hanyalah solusi tak lengkap, karena dua buah titik A dan B harus memenuhi syarat agar bentuk kurva (7.17) melaluinya. Dengan kata lain, jika syarat ini tidak dipenuhi, maka tidak terdapat permukaan yang luasnya minimal.

Kita akan mencari syarat ini untuk persoalan berikut. Misalkan koordinat A adalah (−x 0 ,y 0 ) dan B adalah (x 0 ,y 0 ). Seperti pada (7.21), dalam kasus ini catenarynya dapat dituliskan sebagai

x y = c cosh .

c Konstanta c ditentukan oleh rasio y 0 /x 0 . Sekarang jika kita definisikan

kita dapat menuliskan (7.21) sebagai

(7.22) Di sisi lain, kita bisa mengambil kurva

v = cosh u.

yang merupakan garis lurus. Karena (u 0 ,v 0 ) memenuhi (7.22) dan (7.23), maka ini haruslah merupakan titik potong dua buah kurva yang dinyatakan persamaan ini. Gambar 7.7 menunjukkan kurva v = cosh u dan sebuah garis lurus v = (tan α)u yang

menyinggung kurva ini. Jelaslah bahwa jika (y 0 /x 0 ) < tan α, maka dua kurva tersebut tidak akan berpotongan, dan tidak ada catenary yang dapat digambar dari A ke B.

Sudut α juga dapat dicari dengan memperhatikan bahwa titik u 0 ketika garis lurus menyinggung kurva, kita mempunyai hubungan sebagai berikut:

dv

du

Karena v = cosh u dan dv/du = sinh u maka

cosh u − sinh u = 0. u

7. Kalkulus Variasi

Gambar 7.7: Agar putaran permukaan minimum kurva v = cosh u dan v = y x 0 0 u harus berpotongan.

Persamaan ini dapat diselesaikan secara numerik, diperoleh:

u = 1.1997. Ini berarti bahwa (u 0 ,v 0 ) = (1.1997, cosh 1.1997). Diperoleh:

α = tan −1 = 0.9885 radians 56 0 28 ′ .

cosh 1.1997

Sehingga jika

y 0 < tan α = 1.5089 x 0

garis lurus v = y 0 x 0 u dan kurva v = cosh u tidak akan bertemu, dan tidak ada kurva yang diturunkan dua kali untuk meminimalkannya.

Batasan ini dapat diilustrasikan dengan percobaan gelembung sabun. Karena ada- nya tegangan permukaan, gelembung sabun akan membentuk permukaan dengan ener- gi minimum, yaitu sebuah permukaan dengan luas minimum dengan rangkanya sebagai batas.

Sebuah gelembung sabun akan membentuk catenoid di antara dua buah cincin sejajar dengan jari-jari y 0 pusatnya terpisah sejauh 2x 0 pada sumbu yang tegak lurus cincin, seperti Gambar 7.8, jika y 0 /x 0 lebih besar dari 1.5089. Kita dapat memeprbesar x 0 . Ketika y 0 /x 0 lebih kecil dari 1.5089, catenoid tidak akan terbentuk, dan gelembung sabun hanya akan menutupi dua buah cincin yang memberikan luas permukaan 2πy 2 0 . Jelaslah solusinya diskontinu dan bukan merupakan lingkup teori variasi.

7.3. Solusi Persoalan Terkenal 389

Gambar 7.8: Catenoid. Permukaan minimum sebuah putaran dapat terbentuk jika y 0 lebih besar

dari 1.5089x 0 .

Contoh 7.3.1. Carilah luas permukaan minimum sebuah putaran yang ditunjukkan

Gambar 7.8 dengan x 0 = 1 dan y 0 = 2.

Solusi 7.3.1. Luas catenoid diberikan oleh

x y = c cosh .

Karena p

2 y x 1+y = c cosh 1 + sinh = c cosh 2 x ,

c c c luasnya dapat dituliskan sebagai

= πc 2 2 + sinh 2 .

Karena

y 0 = 2 > 1.5089, x 0

terdapat dua buah titik perpotongan dari

v = cosh u dan v = 2u.

Persamaan

cosh u − 2u = 0

7. Kalkulus Variasi

dapat diselesaikan numerik

u 0 =  2.1268.

Ingat kembali u 0 =x 0 /c, jadi

A= 1.6967 + sinh 2 1.6967 = 23.968,

 π(0.4702) 2 0.4702 2 + sinh 2 0.4702 = 27.382. Sehingga, memutar

x y = 1.6967 cosh 1.6967

terhadap sumbu−x akan memberikan luas permukaan minimum sebesar 23.968.