Persamaan Poisson dan Fungsi Green
6.5.1 Persamaan Poisson dan Fungsi Green
Pendekatan fungsi Green untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa dapat di- perluas untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial.
Fungsi Green G(r,r ′ ) untuk persamaan Poisson didefinisikan sebagai
(6.28) dengan δ(r − r ′ ) adalah fungsi delta tiga dimensi. Dalam listrik statik, fungsi Green
∇ 2 G(r, r ′ ) = δ(r − r ′ ),
adalah potensial pada r yang disebabkan oleh sebuah muatan titik dari kuat satuan pada r ′ . Dalam suku fungsi Green, solusi persamaan Poisson
(6.29) yang dapat dinyatakan sebagai
∇ 2 u(r) = ̺(r)
ZZZ
u(r) =
G(r,r’)̺(r)d 3 τ ′ ,
dengan integral volum diambil pada keseluruhan ruang. Dapat dengan mudah ditun- jukkan u(r) memenuhi persamaan Poisson
ZZZ
ZZZ
∇ 3 u(r) = ∇ G(r,r ′ 3 )̺(r)d τ ′ = 2 ∇ G(r,r ′ )̺(r)d τ ′
V ZZZ V =
δ(r-r ′ )̺(r ′ )d 3 τ ′ = ̺(r).
Kita dapat membawa ∇ 2 ke dalam integral karena ∇ 2 bekerja pada r dan integrasi dilakukan terhadap r ′ . Secara fisik, (6.29) adalah pernyataan prinsip superposisi,
potensial keseluruhan adalah jumlah potensial individu yang disebabkan oleh muatan di semua titik.
Sekarang marilah kita mencari G(r,r ′ ) memenuhi (6.28) dan syarat asimptotik (ba- tas) G(r,r ′ ) → 0 ketika |r − r ′ | → ∞. Karena persoalannya bersimetri bola terhadap r ′ , marilah kita perhatikan sebuah bola yang berpusat pada r ′ . Dengan menginte- gralkan (6.28) terhadap bola ini, dengan definisi fungsi delta, kita peroleh
ZZZ
ZZZ
2 ∇ 3 G(r,r ′ )d 3 τ= δ(r-r ′ )d τ=1 (6.30)
6.5. Persamaan Poisson 349
Tetapi, ZZZ
ZZZ
∇ 2 G(r,r ′ )d 3 τ=
· ∇G(r,r 3 ′ )d τ
dan menurut teorema divergensi ZZZ
ZZ
∇ · ∇G(r,r ′ )d 3 τ=
∇ G(r,r ′ ) · n dS,
dengan S adalah permukaan bola dan n adalah normal pada permukaan. Perhatikan bahwa pada permukaan integral, r adalah pada permukaan bola dan r ′ berada pada pusat bola. Karena adanya simetri terhadap r ′ , kita mengharapkan bahwa G bernilai sama di setiap tempat pada permukaan bola yakni
G(r,r ′ ) = G(|r − r ′ |) = G(r),
dengan r adalah jari-jari bola. Maka
∇ G(r,r ′
) · n = ∇G(r) · ˆr =
∇ G(r,r ′
) · n dS = 4πr
G(r).
∂r
Bandingkan dengan (6.30), kita peroleh
4πr 2 G(r) = 1 atau ∂ G(r) =
2 ∂r . ∂r 4πr
Integralkan rumus ini, kita dapatkan
G(r) = −
+ C.
4πr
Karena kita meminta G(r) → 0 ketika r → ∞, konstanta C haruslah nol. Sehingga fungsi Greennya diberikan oleh
G(r, r ′
. 4π|r − r ′ |
Fungsi Green ini kadang dikatakan sebagai solusi dasar untuk membedakan dengan fungsi Green yang lain yang memenuhi syarat batas tambahan. Sebelum kita mem- bicarakannya, kita akan menggunakan fungsi Green untuk menyelesaikan persoalan pada contoh sebelumnya.
Contoh 6.5.2. Selesaikan persoalan pada contoh sebelumnya dengan metode fungsi Green. Solusi 6.5.2. Misalkan u(r) adalah solusi persamaan Poisson ∇ 2 u(r) = ̺(r), sehingga
ZZZ
u(r) =
G(r,r ′ )̺(r ′ )d 3 τ ′ .
6. Persamaan Diferensial Parsial dengan Batas Lengkung
Karena
−̺ 0 jika r ′ <r 0
̺(r ′ )=
0 jika r ′ >r 0
dan
G(r,r ′
, 4π|r-r ′ |
persoalan ini jelas bersimetri bola. Jadi u(r) hanya merupakan fungsi r
u(r) = 2π ′ ̺ 0 r ′2 sin θ dθdr ′ 0 , 0 4π|r-r | dengan r, r ′ dan θ didefinisikan pada gambar berikut
Dengan menggunakan hukum cosinus dan fungsi pembangkit polinomial Legendre, kita peroleh
|r-r ′
(r 2 − 2rr ′ cos θr ′2 ) 1/2
untuk r > r ′ .
l=0
P l (cos θ)
untuk r < r r ′
l=0
P l (cos θ)
Jika r > r 0 , jelaslah r > r ′ , dan u(r) dapat dinyatakan sebagai
u(r) = ̺ 0 P l (cos θ)r ′2 sin θ dθdr ′ .
2 0 0 r l=0 r
Dengan P 0 (cos θ) = 1 dan ortogonalitas polinomial Legendre, kita dapat menghitung integrasi terhadap θ
2 P l (cos θ) sin θ dθ =
P 0 (cos θ)P l (cos θ) sin θ dθ = δ l0 .
0 0 2l + 1 Jadi untuk r > r 0 ,
u(r) = ̺
2r ′2 dr ′ = ̺ r 0 3 0 0 .
6.5. Persamaan Poisson 351
Untuk r < r 0 , integrasi r ′ dapat dibagi menjadi dua bagian, pertama dari 0 ke r, kemuadian dari r ke r 0 . Yaitu
u(r) = u 1 (r) + u 2 (r),
dengan
u 1 (r) = 2π ̺ 0 r ′2 sin θ dθdr ′ ,
0 0 4π|r − r ′ | Z r 0 Z π
u 2 (r) = 2π ′ ̺ 0 r ′2 sin θ dθdr ′ r . 0 4π|r − r | Untuk u 1 (r), r > r ′ maka
u 1 (r) = ̺ 0 2r ′2 dr ′ = ̺
Untuk u 2 (r), r < r ′
u 2 (r) = ̺ 0
P l (cos θ)r ′2 sin θ dθdr ′
Jadi untuk r < r 0
u(r) = ̺ r 2 + ̺ (r 2 2 1 r 1
0 0 −r )= ̺ 2 0 − ̺ 0 r .