Persamaan Poisson dan Fungsi Green

6.5.1 Persamaan Poisson dan Fungsi Green

Pendekatan fungsi Green untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa dapat di- perluas untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial.

Fungsi Green G(r,r ′ ) untuk persamaan Poisson didefinisikan sebagai

(6.28) dengan δ(r − r ′ ) adalah fungsi delta tiga dimensi. Dalam listrik statik, fungsi Green

∇ 2 G(r, r ′ ) = δ(r − r ′ ),

adalah potensial pada r yang disebabkan oleh sebuah muatan titik dari kuat satuan pada r ′ . Dalam suku fungsi Green, solusi persamaan Poisson

(6.29) yang dapat dinyatakan sebagai

∇ 2 u(r) = ̺(r)

ZZZ

u(r) =

G(r,r’)̺(r)d 3 τ ′ ,

dengan integral volum diambil pada keseluruhan ruang. Dapat dengan mudah ditun- jukkan u(r) memenuhi persamaan Poisson

ZZZ

ZZZ

∇ 3 u(r) = ∇ G(r,r ′ 3 )̺(r)d τ ′ = 2 ∇ G(r,r ′ )̺(r)d τ ′

V ZZZ V =

δ(r-r ′ )̺(r ′ )d 3 τ ′ = ̺(r).

Kita dapat membawa ∇ 2 ke dalam integral karena ∇ 2 bekerja pada r dan integrasi dilakukan terhadap r ′ . Secara fisik, (6.29) adalah pernyataan prinsip superposisi,

potensial keseluruhan adalah jumlah potensial individu yang disebabkan oleh muatan di semua titik.

Sekarang marilah kita mencari G(r,r ′ ) memenuhi (6.28) dan syarat asimptotik (ba- tas) G(r,r ′ ) → 0 ketika |r − r ′ | → ∞. Karena persoalannya bersimetri bola terhadap r ′ , marilah kita perhatikan sebuah bola yang berpusat pada r ′ . Dengan menginte- gralkan (6.28) terhadap bola ini, dengan definisi fungsi delta, kita peroleh

ZZZ

ZZZ

2 ∇ 3 G(r,r ′ )d 3 τ= δ(r-r ′ )d τ=1 (6.30)

6.5. Persamaan Poisson 349

Tetapi, ZZZ

ZZZ

∇ 2 G(r,r ′ )d 3 τ=

· ∇G(r,r 3 ′ )d τ

dan menurut teorema divergensi ZZZ

ZZ

∇ · ∇G(r,r ′ )d 3 τ=

∇ G(r,r ′ ) · n dS,

dengan S adalah permukaan bola dan n adalah normal pada permukaan. Perhatikan bahwa pada permukaan integral, r adalah pada permukaan bola dan r ′ berada pada pusat bola. Karena adanya simetri terhadap r ′ , kita mengharapkan bahwa G bernilai sama di setiap tempat pada permukaan bola yakni

G(r,r ′ ) = G(|r − r ′ |) = G(r),

dengan r adalah jari-jari bola. Maka

∇ G(r,r ′

) · n = ∇G(r) · ˆr =

∇ G(r,r ′

) · n dS = 4πr

G(r).

∂r

Bandingkan dengan (6.30), kita peroleh

4πr 2 G(r) = 1 atau ∂ G(r) =

2 ∂r . ∂r 4πr

Integralkan rumus ini, kita dapatkan

G(r) = −

+ C.

4πr

Karena kita meminta G(r) → 0 ketika r → ∞, konstanta C haruslah nol. Sehingga fungsi Greennya diberikan oleh

G(r, r ′

. 4π|r − r ′ |

Fungsi Green ini kadang dikatakan sebagai solusi dasar untuk membedakan dengan fungsi Green yang lain yang memenuhi syarat batas tambahan. Sebelum kita mem- bicarakannya, kita akan menggunakan fungsi Green untuk menyelesaikan persoalan pada contoh sebelumnya.

Contoh 6.5.2. Selesaikan persoalan pada contoh sebelumnya dengan metode fungsi Green. Solusi 6.5.2. Misalkan u(r) adalah solusi persamaan Poisson ∇ 2 u(r) = ̺(r), sehingga

ZZZ

u(r) =

G(r,r ′ )̺(r ′ )d 3 τ ′ .

6. Persamaan Diferensial Parsial dengan Batas Lengkung

Karena

 −̺ 0 jika r ′ <r 0

̺(r ′ )=

 0 jika r ′ >r 0

dan

G(r,r ′

, 4π|r-r ′ |

persoalan ini jelas bersimetri bola. Jadi u(r) hanya merupakan fungsi r

u(r) = 2π ′ ̺ 0 r ′2 sin θ dθdr ′ 0 , 0 4π|r-r | dengan r, r ′ dan θ didefinisikan pada gambar berikut

Dengan menggunakan hukum cosinus dan fungsi pembangkit polinomial Legendre, kita peroleh

|r-r ′

(r 2 − 2rr ′ cos θr ′2 ) 1/2

untuk r > r ′ .

l=0

P l (cos θ)

untuk r < r r ′

l=0

P l (cos θ)

Jika r > r 0 , jelaslah r > r ′ , dan u(r) dapat dinyatakan sebagai

u(r) = ̺ 0 P l (cos θ)r ′2 sin θ dθdr ′ .

2 0 0 r l=0 r

Dengan P 0 (cos θ) = 1 dan ortogonalitas polinomial Legendre, kita dapat menghitung integrasi terhadap θ

2 P l (cos θ) sin θ dθ =

P 0 (cos θ)P l (cos θ) sin θ dθ = δ l0 .

0 0 2l + 1 Jadi untuk r > r 0 ,

u(r) = ̺

2r ′2 dr ′ = ̺ r 0 3 0 0 .

6.5. Persamaan Poisson 351

Untuk r < r 0 , integrasi r ′ dapat dibagi menjadi dua bagian, pertama dari 0 ke r, kemuadian dari r ke r 0 . Yaitu

u(r) = u 1 (r) + u 2 (r),

dengan

u 1 (r) = 2π ̺ 0 r ′2 sin θ dθdr ′ ,

0 0 4π|r − r ′ | Z r 0 Z π

u 2 (r) = 2π ′ ̺ 0 r ′2 sin θ dθdr ′ r . 0 4π|r − r | Untuk u 1 (r), r > r ′ maka

u 1 (r) = ̺ 0 2r ′2 dr ′ = ̺

Untuk u 2 (r), r < r ′

u 2 (r) = ̺ 0

P l (cos θ)r ′2 sin θ dθdr ′

Jadi untuk r < r 0

u(r) = ̺ r 2 + ̺ (r 2 2 1 r 1

0 0 −r )= ̺ 2 0 − ̺ 0 r .