Transformasi Fourier dan Fungsi Delta

2.4 Transformasi Fourier dan Fungsi Delta

2.4.1 Ortogonalitas

Jika b f (ω) dari (2.8) kita masukkan kembali pada integral Fourier (2.9), representasi Fourier f (t) berbentuk

f (t) = ′ f (t ′ )e −iωt dt ′ e iωt dω,

yang setelah menukar urutan integrasi diperoleh

Ingat kembali fungsi delta Dirac δ(t − t ′ ) yang didefinisikan oleh hubungan

Dengan membandingkan dua buah persamaan terakhir, δ(t−t ′ ) bisa dituliskan sebagai

Dengan perubahan variabel, kita memperoleh bentuk inversnya

Dua buah persamaan terakhir adalah kondisi ortogonalitas. Sebuah fungsi e iωt orto- gonal dengan semua fungsi dalam bentuk e −iω ′ t ketika diintegralkan untuk semua t sepanjang ω ′ 6= ω.

2. Transformasi Fourier

Karena δ(x) = δ(−x), (2.14) bisa ditulis

Rumus ini sangat berguna dalam representasi fungsi delta. Penurunan pasang- an transformasi lebih sederhana dengan penggunaan fungsi delta. Meskipun fungsi ini bukan fungsi matematik yang tepat, penggunaannya bisa dibenarkan oleh teori distribusi.

2.4.2 Transformasi Fourier Melibatkan Fungsi Delta

Fungsi Delta Dirac Perhatikan fungsi berikut

f (t) = Kδ (t) ,

dengan K merupakan sebuah konstanta. Transformasi Fourier f (t) dengan mudah diturunkan dengan menggunakan fungsi delta

F {f (t)} =

Kδ (t) e −iωt dt = Ke 0 = K.

Invers fungsinya diberikan oleh

F −1 b f (ω) 1 =

Ke iωt dt = Kδ (t) .

2π −∞ Dengan cara yang sama, transformasi Fourier sebuah fungsi konstan K adalah

F {K} = 2πKδ (ω)

dan inversnya

F −1 {2πKδ (ω)} = K.

Pasangan transformasi Fourier ini diilustrasikan pada Gambar 2.2.

Fungsi Periodik Untuk mengilustrasikan transformasi Fourier fungsi periodik, perhatikan fungsi beri-

kut

f (t) = A cos ω 0 t.

Transformasi Fouriernya diberikan oleh

F {A cos ω 0 t} =

A cos (ω 0 t) e −iωt dt.

2.4. Transformasi Fourier dan Fungsi Delta

Gambar 2.2: Transformasi Fourier untuk fungsi konstan dan fungsi delta. Transformasi Fourier fungsi konstan adalah fungsi delta. Transformasi Fourier fungsi delta adalah fungsi konstan.

F {A cos ω t} = +e −i(ω+ω 0 )t dt.

0 e −i(ω−ω 0 )t

Dengan menggunakan (2.14) kita memiliki

F {A cos ω 0 t} = πAδ (ω + ω 0 ) + πAδ (ω − ω 0 ). (2.15) Dengan cara yang sama

F {A sin ω 0 t} = iπAδ (ω + ω 0 ) − iπAδ (ω − ω 0 ). (2.16) Perhatikan bahwa transformasi Fourier dari fungsi sinus adalah imajiner.

Pasangan transformasi Fouriernya bisa dilihat pada Gambar 2.3, meninggalkan faktor i pada (2.16)

2.4.3 Pasangan Transformasi Fourier Tiga Dimensi

Sejauh ini kita telah menggunakan variabel t dan ω untuk merepresentasikan waktu dan frekuensi sudut. Secara matematik, tentunya, akan tetap sama jika kita mengubah nama variabelnya. Dalam mendeskripsikan variasi ruang sebuah gelombang, biasanya kita menggunakan r, x y dan z untuk merepresentasikan jarak. Dalam fungsi waktu, periode T adalah interval waktu pada saat fungsi tersebut berulang. Dalam fungsi

2. Transformasi Fourier

Gambar 2.3: transformasi Fourier untuk fungsi sinus dan cosinus.

jarak, fungsi yang sama dikenal sebagai panjang gelombang λ, yaitu pertambahan jarak ketika fungsi tersebut berulang. Sehingga jika t diganti r, maka frekuensi sudut ω yang sama dengan 2π/T haruslah diganti dengan kuantitas yang sama dengan 2π/λ yang dikenal sebagai bilangan gelombang k.

Sehingga, dengan (2.14), kita mempunyai

δ (x − x )=

e ik 1 (x−x ′ ) dk 1 ,

1 ik 2 (y−y ′

1 ik 3 (z−z ′

Jadi dalam ruang tiga dimensi, fungsi delta diberikan oleh δ (r − r ′ ) = δ (y − y ′ ) δ (y − y ′ ) δ (z − z ′ )

e i [ k 1 ( x−x ′ ) +k 2 (y−y ′ )+k 3 ( z−z ′

Notasi yang biasa digunakan adalah dengan memperkenalkan sebuah vektor gelom- bang k

k=k 1 bi+ k 2 bj+ k 3 b k

dan juga

r−r ′ = (x − x ′ )bi + (y − y ′ )bj + (z − z ′ )b k

2.4. Transformasi Fourier dan Fungsi Delta

fungsi delta tiga dimensi dapat dituliskan sebagai

Sekarang dengan menggunakan definisi fungsi delta

kita mempunyai

yang dapat dituliskan sebagai

f (r )e −ik·r d r ′ e ik·r d 3 k. (2π)

Sehingga dalam tiga dimensi kita memiliki pasangan transformasi Fourier

ZZZ ∞

b f (k) = 1 3/2

f (r) e −ik·r d 3 r = F {f (r)} ,

f (k) e ik·r d 3 k=F −1 b f (k) .

Cara kita memisahkan faktor 1/(2π) 3 antara transformasi Fourier dengan inversnya adalah sebarang. Di sini kita memisahkan sama besar agar memiliki kesesuaian dengan kebanyakan buku mekanika kuantum.

Dalam mekanika kuantum, momentum p diberikan oleh p = ~k. Pasangan tran- sformasi Fourier dalam suku r dan p diberikan oleh

ZZZ ∞

b 1 −ip·r/~ f (p) = 3 3/2 f (r) e d r,

ip·r/~

Jika f (r) adalah fungsi gelombang Scr¨ odinger, maka transformasi Fourier b f (p) adalah fungsi gelombang momentumnya. Dalam mendeskripsikan sebuah fungsi dinamik, fungsi gelombang ruang atau momentum bisa digunakan, bergantung mana yang lebih nyaman untuk permasalahan tertentu.

Jika dalam ruang tiga dimensi, fungsinya memiliki bentuk simetri bola, yakni

f (r) = f (r), sehingga transformasi Fouriernya direduksi menjadi integral satu di- mensi. Dalam kasus ini, misalkan bilangan gelombang k sepanjang sumbu−z dalam ruang koordinat, sehingga

k · r = kr cos θ

2. Transformasi Fourier

dan

d 3 r=r 2 sin θ dθ dr dϕ.

Transformasi Fourier dari f (r) menjadi

1 Z 2π

F {f(r)} =

e −ikr cos θ sin θ dθ r 2 dr (2π)

−ikr cos θ

f (r) r sin kr dr. (2π)

0 kr

Contoh 2.4.1. Carilah transformasi Fourier dari

f (r) =

e −2zr ,

Solusi 2.4.1.

F {f (r)} =

e −2zr r sin kr dr.

Salah satu cara untuk menghitung integral ini adalah dengan mengingat kembali tran- sformasi Laplace dari sin kr

e −sr sin kr dr =

0 s 2 +k 2

turunkan terhadap s Z

e −sr sin kr dr =

(−r) e −sr sin kr dr,

Dengan s = 2z, kita mempunyai

e −2zr r sin kr dr =

F {f (r)} =

2 2 2 π . k π (4z +k ) π (4z +k )

2.5. Beberapa Pasangan Transformasi Penting