Persamaan Gelombang Tiga Dimensi

5.3 Persamaan Gelombang Tiga Dimensi

Banyak sekali kuantitas fisika memenuhi persamaan gelombang tiga dimensi

2 ∂x = ∂y ∂z c 2 ∂t 2

Sebagai contoh, dalam elektrodinamika kita belajar bahwa medan listrik E, medan magnet B, potensial skalar φ dan potensial vektor A, semuanya 10 kuantitas, meme- nuhi persamaan ini.

Mengikuti separasi variabel

u(x, y, z, t) = X(x)Y (y)Z(z)T (t),

kita peroleh empat buah persamaan diferensial biasa

= −n 2 , X(x)

dengan l, m, n, α adalah konstanta separasi dan harus memenuhi hubungan

l 2 +m 2 +n 2 =α 2 .

Solusi umum persamaan ini adalah

X(x) = A cos lx + B sin lx, Y (y) = C cos my + D sin my,

Z(z) = E cos nz + F sin nz, T (t) = G cos cαt + H sin cαt,

dengan A, B, . . . , H adalah konstanta. Karena e ilx = cos lx + i sin lx, himpunan solusi ini dapat dinyatakan dalam bentuk alternatif

X(x) = A ′ exp(ilx) + B ′ exp(−ilx), Y (y) = C ′ exp(ily) + D ′ exp(−ily),

Z(z) = E ′ exp(ilz) + F ′ exp(−ilz), T (t) = G ′ exp(icαt) + H ′ exp(−icαt),

dengan A ′ ,B ′ ,...,H ′ adalah konstanta yang lain. Dapat dengan mudah diverifika- si dengan substitusi langsung bahwa ekspresi dalam (5.63) adalah solusi persamaan gelombang. Sehingga kita dapat menggunakan (5.63) dan mengasumsikan bahwa ki- ta dapat selalu melihat bagian riil, atau kita bisa dapat menggunakan (5.63) seperti adanya, tanpa melihat bagian riil atau imajiner.

5.3. Persamaan Gelombang Tiga Dimensi 267

Mungkin bahwa satu (atau dua) l 2 ,m 2 ,n 2 bernilai negatif. Sebagai contoh jika

−l 2 +m 2 +n 2 =α 2 ,

maka

X(x) = A ′′ cos lx + B ′′ sin lx, Y (y) = C ′′ cos my + D ′′ sin my,

Z(z) = E ′′ cos nz + F ′′ sin nz, T (t) = G ′′ cos cαt + H ′′ sin cαt,

dengan A ′′ ,B ′′ ,...,H ′′ adalah konstanta yang lain. Bergantung pada sifat geometrik dari persoalan spesifik, salah satu solusi biasanya

lebih tepat digunakan dibandingkan lainnya. Lebih dari itu, syarat batas mungkin membatasi l, m, n menjadi sebuah nilai diskrit yang dibolehkan.

5.3.1 Gelombang Bidang

Marilah kita ambil solusi dari persamaan terpisah

X(x) = e ilx , Y (y) = e imy , Z(z) = e inz ,

T (y) = e −icαt . Ini memberikan solusi khusus persamaan gelombang

u(x, y, z, t) = e i(lx+my+nz−cαt) .

Rumus ini memiliki interpretasi fisis. Untuk membuatnya jelas, kita mendefinisikan “bilangan gelombang” k sebagai

k = lˆi + mˆj + nˆ k,

dengan ˆi, ˆj, ˆ k adalah tiga buah vektor satuan pada sumbu koordinat. Anggap r adalah vektor posisi dari titik awal O ke titik umum (x, y, z) pada sebuah bidang yang tegak lurus k yang ditunjukkan Gambar 5.14. Karena

2 2 2 2 k·k=k 2 =l +m +n =α .

5. Persamaan Diferensial Parsial dalam Koordinat Cartesian

Gambar 5.14: Sebuah gelombang bidang merambat dalam arah vektor k.

Sehingga u(x, y, z, t) bisa ditulis sebagai

u(x, y, z, t) = e i(k·r−ckt) ,‘

dengan menggunakan fakta bahwa α = k. Ini merepresentasikan sebuah gelombang bidang tiga dimensi bergerak dalam arah k. Sebuah gelombang bidang adalah gelom- bang yang gangguannya konstan pada semua titik pada bidang yang tegak lurus arah rambat. Bidang seperti ini sering dinamakan muka gelombang.

Anggap n adalah vektor satuan dalam arah k, maka

k · r = kn · r = k̺

dengan ̺ adalah jarak tegak lurus dari titik asal O diukur sepanjang vektor n ke titik Q pada garis yang bertemu dengan muka gelombang yang ditunjukkan Gambar 5.14. Sehingga

e i(k·r−ckt) =e i(k̺−ckt) =e ik(̺−ct) .

Jika k memiliki arah−x, ekspresi ini hanyalah e ik(x−ct) , yang kita anggap sebagai gelombang satu dimensi bergerak dengan kecepatan c. Selanjutnya, k = 2π/λ dan

kc = ω dengan λ adalah panjang gelombang dan ω frekuensi sudut gelombang sinuso- idal ini. Maka

e i(lx+my+nz−cαt) =e i(k·r−ωt)

merepresentasikan gelombang bidang sinusoidal bergerak ke arah k, dengan panjang gelombang 2π/k dan frekuensi sudut ω = kc.

Karena k dapat memiliki arah sebarang dengan magnitudo (besar) yang juga seba- rang, persamaan gelombang tiga dimensi dapat memiliki solusi yang berupa gelombang

5.3. Persamaan Gelombang Tiga Dimensi 269

bidang bergerak dalam segala arah dengan panjang gelombang sebarang. Karena per- samaan gelombang adalah linier, kita bisa memiliki banyak sekalai gelombang bidang secara bersamaan, bergerak ke segala arah yang berbeda. Sehingga solusi paling umum persamaan gelombang tiga dimensi adalah sebuah superposisi semua jenis gelombang bidang dalam segala arah, yang tidak lain adalah integral Fourier dalam tiga dimensi.

5.3.2 Gelombang Partikel dalam Kotak

Sebuah partikel bebas (partikel tanpa gaya yang bekerja padanya) dideskripsikan da- lam mekanika kuantum adalah persamaan gelombang yang berbeda, dikenal sebagai persamaan Schr¨ odinger

dengan M massa partikel dan h konstanta Planck. Pembahasan tentang mekanika kuantum di luar buku ini, kita hanya akan membicarakannya sebgaai persoalan ma- tematik saja.

Dengan menggunakan separasi variabel, kita mengasumsikan bahwa

Ψ (x, y, z, t) = X(x)Y (y)Z(z)T (t),

sehingga persamaannya menjadi

Kedua ruas persamaan haruslah sama dengan sebuah konstanta. Anggap

T (t) = e (2πE/ih)t .

Jika kita definisikan T (t) sebagai suku bergantung waktu fungsi gelombang dan me- nuliskan

e (2πE/ih)t =e −iωt ,

maka

E = hω/2π = hν,

yang dianggap sebagai energi partikel, karena menurut aturan Planck bahwa energi sama dengan h dikalikan frekuensi.

Persamaan diferensial biasa yang terpisah dalam x, y, z

X ′′

2 Y ′′

Z ′′

=l ,

=m 2 ,

= −n 2 ,

5. Persamaan Diferensial Parsial dalam Koordinat Cartesian

dengan l, m, n adalah konstanta separasi. Karena (5.65), konstanta ini haruslah memenuhi hubungan

Anggap bahwa partikel berada pada kotak persegi dengan panjang a dalam arah x, b dalam arah y dan c dalam arah z. Kenyataan bahwa fungsi gelombang Ψ harus hilang pada tembok berarti Ψ haruslah memenuhi syarat batas berikut

Ψ (0, y, z, t) = Ψ (a, y, z, t) = 0, Ψ (x, 0, z, t) = Ψ (x, b, z, t) = 0, Ψ (x, y, 0, t) = Ψ (x, y, c, t) = 0.

Agar syarat batas ini terpenuhi, suku ruang fungsi gelombang haruslah berbentuk

dengan n 1 ,n 2 ,n 3 adalah bilangan bulat bebas 1, 2, 3... Hal ini berarti l, m, n pada (5.66) haruslah bernilai

l=

Dari (5.67) energinya diberikan oleh

E n 1 ,n 2 ,n 3 =

8M

Sehingga kita melihat energi terkuantisasi, yang kita maksudkan adalah partikel da- lam kotak tidak memiliki energi sebarang, energi ini haruslah merupakan salah satu

nilai khusus yang dibolehkan berhubungan dengan n 1 ,n 2 ,n 3 , tiap mengasumsikan satu dari bilangan bulat 1, 2, 3, . . .. Jika kita bandingkan dengan kasus klasik hal ini sangatlah kontras.

Energi diskrit yang ditemui dalam eksperimen merupakan salah satu alasan diba- ngunnya mekanika kuantum. Menarik untuk memperhatikan bahwa kuantisasi energi merupakan konsekuensi dari syarat batas pada solusi persamaan Schr¨ odinger.