Transformasi Fourier dan Persamaan Diferensial

2.8 Transformasi Fourier dan Persamaan Diferensial

Sebuah sifat karakteristik dari transformasi Fourier adalah, sama seperti transforma- si integral yang lain, yaitu dapat digunakan untuk mereduksi jumlah variabel bebas dalam persamaan diferensial sebanyak satu. Sebagai contoh, jika kita menggunakan transformasi pada persamaan diferensial biasa (yang hanya memiliki satu buah va- riabel bebas), maka kita memperoleh sebuah persamaan aljabar untuk fungsi yang ditransformasikan. Persamaan gelombang satu dimensi adalah persamaan diferensi- al parsial dengan dua buah variabel bebas. Persamaan ini dapat ditransformasikan menjadi persamaan diferensial biasa. Biasanya jauh lebih mudah menyelesaikan per- samaan dalam bentuk yang telah ditransformasikan dibandingkan dengan menyelesa- ikannya secara langsung dalam bentuk asalnya, karena variabelnya sudah berkurang

2. Transformasi Fourier

satu. Setelah bentuknya didapatkan, kita bisa memperoleh solusi dari persamaan asal- nya dengan transformasi inversnya. Kita akan mengilustrasikan metode ini dalam dua contoh berikut.

Contoh 2.8.1. Selesaikan persamaan diferensial berikut

y ′′

(t) − a 2 y(t) = f (t)

dengan a sebuah konstanta dan f (t) fungsi yang diberikan. Syarat yang harus dipe- nuhi adalah fungsi tersebut hilang ketika t → ±∞. Hal ini menjamin transformasi Fouriernya ada. Solusi 2.8.1. Lakukan transformasi Fourier pada persamaan dan misalkan

b y(ω) = F{y(t)},

b f (ω) = F{f(t)}.

Karena

F{y 2 ′′

} = (iω) 2 F{y(t)} = −ω y(ω), b

persamaan diferensialnya menjadi

2 −(ω 2 +a )b y(ω) = b f (ω).

Maka

y(ω) = − b f (ω)

(ω 2 +a 2

Ingat kembali

2a

F e −a|t| =

−a|t|

Dengan kata lain jika kita mendefinisikan

bg(ω) = − 2 2 , maka g(t) = − e −a|t| .

2a

(ω +a )

Menurut teorema konvolusi

bg(ω) b f (ω) = F{g(t) ∗ f(t)}.

Karena

y(ω) = − b b f (ω) = bg(ω) b f (ω) = F{g(t) ∗ f(t)},

(ω 2 +a 2 )

kita memperoleh y(t) = F −1 {b y(ω)} = F −1

F {g(t) ∗ f(t)} = g(t) ∗ f(t).

2.8. Transformasi Fourier dan Persamaan Diferensial

Sehingga

y(t) = −

e −a|t−τ | f (τ ) dτ,

2a −∞

yang merupakan solusi khusus dari persamaan. Dengan f (t) tertentu persamaan ini bisa dihitung.

Contoh 2.8.2. Gunakan transformasi Fourier untuk menyelesaikan persamaaan ge- lombang klasik satu dimensi

∂ 2 y(x, t)

1 ∂ 2 y(x, t)

(2.17) dengan kondisi awal

∂x 2

v 2 ∂t 2

(2.18) dengan v 2 konstan.

y(x, 0) = f (x)

Solusi 2.8.2. Marilah kita lakukan analisis Fourier y(x, t) terhadap x. Pertama nyatakan y(x, t) dalam integral Fourier

y(x, t) =

y(k, t)e ikx b dk,

sehingga transformasi Fouriernya

b y(k, t) =

y(x, t)e −ikx dx.

Dari (2.18) dan (2.19) yaitu

y(x, 0) = y(k, 0)e ikx b dk = f (x). (2.21)

Karena integral Fourier f (x) adalah

f (x) =

b f (k)e ikx dk,

(2.23) Dengan melakukan transformasi Fourier persamaan asalnya

b y(k, 0) = b f (k).

e −ikx dx. yang dapat dituliskan sebagai

∂ y(x, t)

1 ∞ ∂ 2 (x, t)

2 e −ikx dx = 2

Z ∞ ∂ 2 y(x, t)

e −ikx

dx =

2 2 2 y(x, t)e

−ikx

dx.

∂x

v ∂t

2. Transformasi Fourier

Suku pertama hanyalah transformasi Fourier turunan kedua y(x, t) terhadap x

∂ 2 y(x, t)

e −ikx

dx = (ik) 2 b y(k, t),

∂x 2

sehingga persamaannya menjadi

−k b y(k, t) =

b y(k, t).

v 2 ∂t 2

Jelas solusi umum persamaannya adalah

b y(k, t) = c 1 (k)e ikvt +c 2 (k)e −ikvt ,

dengan c 1 (k) dan c 2 (k) konstanta yang bergantung waktu. Pada t = 0, menurut (2.23)

b y(k, 0) = c 1 (k) + c 2 (k) = b f (k).

Persamaan ini dapat dipenuhi dengan bentuk simetrik dan anti simetrik

c 1 (k) =

2 f (k) + bg(k)

c 2 (k) =

2 f (k) − bg(k) ,

dengan bg(k) fungsi yang belum didefinisikan. Sehingga

y(k, t) =

f (k)(e ikvt +e −ikvt )+

2 2 bg(k)(e

ikvt −e b ikvt b ).

Substitusi pada (2.19), kita memiliki

1 ∞ 1 h i y(x, t) =

b f (k) e ik(x+vt) +e ik(x−vt) dk

1 ∞ 1 h ik(x+vt)

bg(k) e +e ik(x−vt) dk.

Dengan membandingkan integralnya

b f (k)e ik(x+vt) dk

dengan (2.22), kita melihat integralnya sama hanya argumen x diganti dengan x + vt. Sehingga

I 1 = f (x + vt)

Diperoleh:

1 1 y(x, t) = [f (x + vt) + f (x − vt)] + [g(x + vt) − g(x − vt)],

dengan g(x) adalah invers transformasi Fourier dari bg(k). Fungsi g(x) ditentukan oleh kondisi awal atau syarat batas tambahan.

2.9. Ketidakpastian Gelombang