Persamaan Gelombang Dua-Dimensi dalam Koordinat Polar

6.3.1 Persamaan Gelombang Dua-Dimensi dalam Koordinat Polar

Ketika sebuah membran berupa bidang dan dibuat dari bahan yang elastik, getarannya memenuhi persamaan gelombang

∇ 2 1 z= ∂ z,

a 2 ∂t 2

dengan z adalah perpindahan (tinggi membran dari bidang). Untuk kulit gendang sirkular, secara alami kita akan menggunakan koordinat polar.

Anggap membran diletakkan pada rangka tetap sirkular berjari-jari c pada bidang z = 0. Mula-mula membran dideformasi dalam bentuk z(ρ, ϕ, 0) = f (ρ, ϕ) dan di- lepaskan dari keadaan diam dari posisi tersebut. Maka untuk mencari perpindahan z(ρ, ϕ, t), kita perlu menyelesaikan persoalan berikut

P. D. :

z(ρ, ϕ, t), ∂ρ

z(ρ, ϕ, t) =

ρ 2 ∂ϕ 2 a 2 ∂t 2 S. B. : z(c, ϕ, t) = 0,

∂z

K. A. : z(ρ, ϕ, 0) = f (ρ, ϕ),

∂t t=0

Untuk memisahkan suku bergantung waktu dan suku bergantung ruang dengan asumsi z(ρ, ϕ, t) = u(ρ, ϕ)T (t), kita menemukan dua persamaan diferensial biasa

u(ρ, ϕ) = λ. Untuk alasan yang sama dengan getaran senar, konstanta separasinya kita pilih

sehingga suku bergantung waktu memenuhi persamaan

(6.8) dan suku bergantung ruangnya memenuhi persamaan Helmholtz

u(ρ, ϕ) + k u(ρ, ϕ) = 0

dengan(6.7) sebagai solusinya

u(ρ, ϕ) = J n (kρ)(A n cos nϕ + B n sin nϕ).

6.3. Persamaan Helmholtz Dua-Dimensi dalam Koordinat Polar 315

Agar memenuhi syarat batas z(c, ϕ, t) = 0, kita harus memiliki u(c, ϕ) = 0. Hal ini berarti k tidak dapat berupa konstanta, tetapi harus memenuhi syarat

J n (kc) = 0.

Misalkan k nj c adalah nilai nol ke−j dari fungsi Bessel J n (x) orde ke−n, maka k harus sama dengan salah satu k nj . Nilai k nj harus digunakan dalam (6.8), sehingga

T (t) = c 1 cos k nj at + c 2 sin k nj at.

Selanjutnya untuk memenuhi kondisi awal

dT (t)

z(ρ, ϕ, t)

turunan T (t) haruslah nol, sehingga c 2 harus dipilih nol. Sehingga untuk tiap n dan j

z nj (ρ, ϕ, t) = J n (k nj ρ)(A n cos nϕ + B n sin nϕ) cos(ak nj t).

Solusi umumnya, yang merupakan kombinasi linier semua suku, adalah penjumlahan ganda dari semua kemungkinan n dan j

z(ρ, ϕ, t) = J n (k nj ρ)(a nj cos nϕ + b nj sin nϕ) cos(ak nj t).

n=0 n=1

di sini kita telah mengkonsolidasikan konstanta pada koefisien a nj dan b nj . Koefisien-koefisien ini bisa ditentukan oleh kondisi awal yang lain z(ρ, ϕ, 0) =

f (ρ, ϕ)

z(ρ, ϕ, 0) = J n (k nj ρ)(a nj cos nϕ + b nj sin nϕ) = f (ρ, ϕ).

n=0 n=1

Pertama marilah kita definisikan

dan menyatakan z(ρ, ϕ, 0) dalam suku tersebut.

X {F n (ρ) cos nϕ + G n (ρ) sin nϕ)} = f(ρ, ϕ).

n=0

Dengan menganggap ρ sebagai sebuah parameter, persamaan ini berbentuk deret Fo- urier, sehingga F n (ρ) dan G n (ρ) diberikan oleh

F n (ρ) =

f (ρ, ϕ) cos nϕ dϕ, n = 1, 2, . . . .

f (ρ, ϕ) cos nϕ dϕ, n = 0,

1 Z 2π

G n (ρ) =

f (ρ, ϕ) sin nϕ dϕ, n = 1, 2, . . . .

6. Persamaan Diferensial Parsial dengan Batas Lengkung

Jika kita masukkan kembali pada (6.9) dan (6.10), kita mempunyai

Untuk tiap n tetap, deret dianggap sebagai deret Fourier-Bessel. Koefisien-koefisiennya bisa diperoleh dengan mengalikan kedua ruas dengan ρJ n (k ni ρ) dan mengintegralkan- nya dari 0 ke c

ρJ n (k ni ρ)

a nj J n (k nj ρ)dρ

Karena ortogonalitas fungsi Bessel, semua suku di ruas kiri sama dengan nol kecuali untuk j = i

1 c 2π

a ni ρJ 2 n (k ni ρ)dρ = ρJ n (k ni ρ)f (ρ, ϕ) cos nϕ dϕ dρ.

Ingat kembali

2 ρJ 1

n (k ni ρ)dρ = c 2 J 2 n+1 (k ni c),

ρJ n (k ni ρ)f (ρ, ϕ) cos nϕ dϕ dρ, n = 1, 2, . . . . (6.11)

J n+1 (k ni c) 0 0

Untuk n = 0, kita memiliki

2 Z c Z 2π

a 0i =

2 2 ρJ 0 (k 0i ρ)f (ρ, ϕ) dϕ dρ. (6.12)

πc J 1 (k 0i c) 0 0

Dengan cara yang sama

Z c Z 2π

b ni = πc 2 J 2

ρJ n (k ni ρ)f (ρ, ϕ) sin nϕ dϕ dρ, n = 1, 2, . . . . (6.13)

n+1 (k ni c) 0 0

Sehingga solusinya diberikan oleh

z(ρ, ϕ, t) = z nj = J n (k ni ρ)(a ni cos nϕ + b ni sin nϕ) cos(ak ni t) (6.14)

n=0 i=1

n=0 i=1

6.3. Persamaan Helmholtz Dua-Dimensi dalam Koordinat Polar 317

Gambar 6.4: Moda normal getaran kulit gendang

dengan koefisien yang diberikan oleh (6.11)-(6.13). Tiap suku z nj (ρ, ϕ, t) dikenal sebagai sebuah moda normal. Tiap moda bergetar

dalam gerakan harmonik dengan frekuensi ak nj /2π. Jika kondisi awalnya berupa bentuk dalam moda tertentu, maka sistem akan bergetar pada moda tersebut. Sebagai contoh jika

z(ρ, ϕ, 0) = f (ρ, ϕ) = AJ 2 (k 21 ρ) cos 2ϕ,

maka semua koefisien dalam (6.14) sama dengan nol kecuali untuk a 21 = A dan

z(ρ, ϕ, t) = AJ 2 (k 21 ρ) cos 2ϕ cos(ak 21 t).

Tiap moda memiliki garis simpul (garis tanpa gerak), yang terdiri dari lingkaran dan garis radial. Gambar 6.4 menggambarkan beberapa moda getaran ini, bagian diar- sir bergerak dengan arah berlawanan dengan bagian tak diarsir. Jika kulit gendang bergetar dengan salah satu moda normal, debu yang ada di atas kulit gendang akan berkumpul sepanjang garis simpul, sehingga kita dapat melihatnya. Tidak mudah untuk mendapatkan moda normal murni dengan kondisi awal. Tetapi, jika osilator bergetar dengan frekuensi moda tertentu diletakkan berdekatan, kulit gendang akan bergetar pada frekuensi tersebut dan garis simpul akan jelas terlihat.

Gerak umum getaran kulit gendang adalah superposisi semua moda normal. Jika terdapat garis simpul, biasanya polanya tidak sederhana. Perhatikan bahwa jika per- geseran awal tidak bergantung ϕ, maka f (ρ, ϕ) harus digantikan dengan f (ρ). Dalam kasus ini, mengikuti (6.11) dan (6.13) bahwa a ni = 0 dan b ni = 0 untuk semua n, kecuali untuk n = 0. Untuk n = 0, (6.12) memberikan

a 0i = 2 2 ρJ 0 (k 0i ρ)f (ρ)dρ.

c J 1 (k 0i c) 0

6. Persamaan Diferensial Parsial dengan Batas Lengkung

Dalam kasus ini solusinya diberikan oleh

z(ρ, ϕ, t) =

2 2 ρ J 0 (k 0i ρ ′ )f (ρ)dρ ′ J 0 (k 0i ρ) cos(ak 0i t). (6.15)

c J 1 (k 0i c) 0

i=1

Hal ini adalah yang kita harapkan jika syarat batas dan kondisi awal tidak bergantung ϕ, sehingga tidak terdapat alasan solusi akhirnya bergantung ϕ. Sehingga dalam kasus ini, kita bisa mulai dengan

z = R(ρ)T (t)

dan langsung mendapatkan hasil (6.15).

Contoh 6.3.1. Carilah frekuensi moda normal pada Gambar 6.4. Solusi 6.3.1. Frekuensi getaran untuk nj moda normal adalah k nj a/2π. Dari tabel fungsi Bessel

J 0 (x) = 0 untuk x = 2.4048, 5.5201, . . . J 1 (x) = 0 untuk x = 3.8317, 7.0156, . . . J 2 (x) = 0 untuk x = 5.1356, 8.4172, . . .

Sehingga untuk moda 01, k 01 c = 2.4048 dan frekuensi moda ini diberikan oleh

k 01 a 2.4048a

dengan cara yang sama

Contoh 6.3.2. Jika membran dan rangkanya bergerak sebagai benda tegar dengan kecepatan satuan tegak lurus pada membran dan rangka tiba-tiba dihentikan, maka membran akan mulai bergetar. Getaran dapat dilkan dengan persoalan syarat batas berikut:

1 ∂ 2 P. D. : ∇ 2 z(ρ, t) = 2 z(ρ, t),

a ∂t 2 S. B. : z(c, t) = 0, ∂z

K. A. : z(ρ, 0),

∂t t=0

Carilah pergeseran z(ρ, t). Solusi 6.3.2. Dengan z(t) = R(ρ)T (t) suku waktunya diberikan oleh

T (t) = c 1 cos kat + c 2 sin kat

6.3. Persamaan Helmholtz Dua-Dimensi dalam Koordinat Polar 319

dan suku ruangnya

R(ρ) = J 0 (kρ).

Syarat batas meminta bahwa J 0 (kc) = 0. Sehingga k haruslah sama dengan salah satu k 0j , dengan k 0j c adalah akar ke−j dari J 0 (x) = 0. Kondisi awal meminta T (0) =

c 1 = 0. Jadi

z(ρ, t) =

b j J 0 (k 0j ρ) sin k 0j at.

j=1

Sekarang kondisi awal lain meminta

Kalikan dengan ρJ 0 (k 0j ρ) dan mengintegralkan dari 0 ke c, kita peroleh

b j k 0j a=

ρJ 0 (k 0j ρ)dρ.

c 2 J 2 1 (k 0j c) 0

Ingat kembali

xJ 0 (x)dx =

d [xJ 1 (x)] ,

maka

ρJ 0 (k 0j ρ)dρ =

Oleh karena itu

2 X sin(k 0j at)

z(ρ, t) =

2 j 0 (k 0j ac ρ)

j=1 k 0j J 1 (k 0j c)

adalah perpindahan, dengan k 0j c adalah akar positif dari J 0 (x) = 0.