Variasi dengan Kendala
7.2 Variasi dengan Kendala
Kita sering ingin mencari sebuah kurva y = y(x) yang tidak hanya membuat integral
nilainya ekstrimum, tetapi juga membuat integral kedua
sama dengan nilai tertentu. equal to a prescribed value. Kurva diharuskan melalui dua buah titik ujung (x 1 ,y 1 ) dan (x 2 ,y 2 ) dan fungsi F dan G dapat didiferensialkan dua kali.
Kita mengikuti prosedur yang sama seperti sebelumnya dengan memisalkan y(x) sebagai fungsi yang membuat fungsi ekstrimum dan memperkenalkan fungsi “tetang- ga” Y (x) terhadap yang kita ekstrimkan. Bagaimanapun kita tidak dapat menyatakan
7.2. Variasi dengan Kendala 373
Y (x) sebagai sebuah fungsi yang hanya bergantung pada satu parameter seperti pada (7.2), karena nilai konstan J akan menentukan parameter tersebut dan menentukan I, Hal ini membuat tidak mungkin untuk membuat I ekstrimum. Untuk alasan ini kita memperkenalkan dua buah parameter
(7.12) dengan η 1 (x) dan η 2 (x) adalah dua buah fungsi sebarang terdiferensialkan yang me-
Kita gantikan y(x) dengan Y (x) dalam (7.10) dan (7.11) sehingga berbentuk Z x 2
Jelaslah parameter α 1 dan α 2 tidak bebas, karena J nilainya dijaga konstan. Dengan mengkombinasikan
Konstanta λ yang belum ditentukan disebut sebagai pengali Lagrange. Sekarang jika
I stasioner, dan J konstan, maka K juga harus stasioner. Syarat agar K stasioner adalah
∂α 1 ∂α 2 dengan turunan parsial dihitung pada α 1 = 0 dan α 2 = 0.
Setelah kita hitung dua buah turunan parsial, maka
Jelas dari (7.12) bahwa
∂Y
∂Y ′
=α i (x) ,
η ′ (x) .
∂α i
Jadi
∂K
x 2 ∂H
∂H
η ′ i dx, i = 1, 2.
∂α i
x 1 ∂Y
∂Y ′
7. Kalkulus Variasi
Setelah kita integralkan parsial suku kedua integran, kita peroleh ∂K
Suku yang diintegralkan dapat ditinggalkan karena syarat batas (7.13) dan (7.14). Sekarang jika kita pilih α 1 = 0 dan α 2 = 0, maka Y dan Y ′ digantikan oleh y dan y ′ . Agar dua buah turunan parsial K hilang, kita harus mempunyai Z x 2
Karena η 1 (x) dan η 2 (x) keduanya sebarang, dua hubungan dalam persamaan ini secara esensial hanya satu. Dengan teorema fundamental kalkulus variasi, kita menyimpulkan bahwa
Persamaan ini sama dengan persamaan Euler-Lagrange kecuali F digantikan dengan
H yang sama dengan F + λG. Persamaan ini adalah persamaan diferensial orde dua yang harus dipenuhi y(x) agar J nilainya konstan dan membuat I stasioner.
Solusi dari persamaan ini adalah y(x) dengan tiga buah konstanta yang belum ditentukan: dua buah konstanta integrasi dan pengali Lagrange λ. Kuantitas ini dapat ditentukan dengan syarat batas pada dua buah ujung dan dengan syarat bahwa J nilainya tertentu.
Contoh 7.2.1. Sebuah kurva panjangnya L melalui x 1 dan x 2 pada sumbu−x. Ca- rilah bentuk kurva tersebut sehingga luas yang dilingkupi oleh kurva dan sumbu−x paling besar. Solusi 7.2.1. Luas diberikan oleh
I=
y dx
dan panjang kurvanya adalah
Kita ingin memaksimalkan I dengan syarat J sama dengan konstanta L. Maka kita menyelesaikan persamaan Euler-Lagrange
p H=y+λ 1+y ′2 .
7.3. Solusi Persoalan Terkenal 375
Karena H tidak bergantung x maka
y ′ ∂H −H=c 1 ∂y ′
atau
λy ′2
−y−λ 1+y ′2 =c .
1+y ′2
Ini dapat disederhanakan menjadi
sehingga kita mempunyai
Misalkan z = λ 2 2 − (c
1 + y) , dz = −2 (c 1 + y) dy, maka
q 2 =− z −1/2 dz = − =− d λ 2 − (c
− (c 2 Jadi
− 2 λ 2 − (c
1 + y) =x+c 2
dengan c 1 dan c 2 adalah konstanta integrasi. Kuadratkan kedua ruas, kita peroleh
(x + c 2 ) 2 + (c 1 + y) 2 =λ 2 .
Sehingga kurvanya berupa busur lingkaran yang melalui dua buah titik yang diberikan. Konstanta c 1 ,c 2 dan λ bisa dicari dengan syarat kurva melalui titik ujung yang sesuai dan juga syarat panjang antara dua buah titik ini.