Variasi dengan Kendala

7.2 Variasi dengan Kendala

Kita sering ingin mencari sebuah kurva y = y(x) yang tidak hanya membuat integral

nilainya ekstrimum, tetapi juga membuat integral kedua

sama dengan nilai tertentu. equal to a prescribed value. Kurva diharuskan melalui dua buah titik ujung (x 1 ,y 1 ) dan (x 2 ,y 2 ) dan fungsi F dan G dapat didiferensialkan dua kali.

Kita mengikuti prosedur yang sama seperti sebelumnya dengan memisalkan y(x) sebagai fungsi yang membuat fungsi ekstrimum dan memperkenalkan fungsi “tetang- ga” Y (x) terhadap yang kita ekstrimkan. Bagaimanapun kita tidak dapat menyatakan

7.2. Variasi dengan Kendala 373

Y (x) sebagai sebuah fungsi yang hanya bergantung pada satu parameter seperti pada (7.2), karena nilai konstan J akan menentukan parameter tersebut dan menentukan I, Hal ini membuat tidak mungkin untuk membuat I ekstrimum. Untuk alasan ini kita memperkenalkan dua buah parameter

(7.12) dengan η 1 (x) dan η 2 (x) adalah dua buah fungsi sebarang terdiferensialkan yang me-

Kita gantikan y(x) dengan Y (x) dalam (7.10) dan (7.11) sehingga berbentuk Z x 2

Jelaslah parameter α 1 dan α 2 tidak bebas, karena J nilainya dijaga konstan. Dengan mengkombinasikan

Konstanta λ yang belum ditentukan disebut sebagai pengali Lagrange. Sekarang jika

I stasioner, dan J konstan, maka K juga harus stasioner. Syarat agar K stasioner adalah

∂α 1 ∂α 2 dengan turunan parsial dihitung pada α 1 = 0 dan α 2 = 0.

Setelah kita hitung dua buah turunan parsial, maka

Jelas dari (7.12) bahwa

∂Y

∂Y ′

=α i (x) ,

η ′ (x) .

∂α i

Jadi

∂K

x 2 ∂H

∂H

η ′ i dx, i = 1, 2.

∂α i

x 1 ∂Y

∂Y ′

7. Kalkulus Variasi

Setelah kita integralkan parsial suku kedua integran, kita peroleh ∂K

Suku yang diintegralkan dapat ditinggalkan karena syarat batas (7.13) dan (7.14). Sekarang jika kita pilih α 1 = 0 dan α 2 = 0, maka Y dan Y ′ digantikan oleh y dan y ′ . Agar dua buah turunan parsial K hilang, kita harus mempunyai Z x 2

Karena η 1 (x) dan η 2 (x) keduanya sebarang, dua hubungan dalam persamaan ini secara esensial hanya satu. Dengan teorema fundamental kalkulus variasi, kita menyimpulkan bahwa

Persamaan ini sama dengan persamaan Euler-Lagrange kecuali F digantikan dengan

H yang sama dengan F + λG. Persamaan ini adalah persamaan diferensial orde dua yang harus dipenuhi y(x) agar J nilainya konstan dan membuat I stasioner.

Solusi dari persamaan ini adalah y(x) dengan tiga buah konstanta yang belum ditentukan: dua buah konstanta integrasi dan pengali Lagrange λ. Kuantitas ini dapat ditentukan dengan syarat batas pada dua buah ujung dan dengan syarat bahwa J nilainya tertentu.

Contoh 7.2.1. Sebuah kurva panjangnya L melalui x 1 dan x 2 pada sumbu−x. Ca- rilah bentuk kurva tersebut sehingga luas yang dilingkupi oleh kurva dan sumbu−x paling besar. Solusi 7.2.1. Luas diberikan oleh

I=

y dx

dan panjang kurvanya adalah

Kita ingin memaksimalkan I dengan syarat J sama dengan konstanta L. Maka kita menyelesaikan persamaan Euler-Lagrange

p H=y+λ 1+y ′2 .

7.3. Solusi Persoalan Terkenal 375

Karena H tidak bergantung x maka

y ′ ∂H −H=c 1 ∂y ′

atau

λy ′2

−y−λ 1+y ′2 =c .

1+y ′2

Ini dapat disederhanakan menjadi

sehingga kita mempunyai

Misalkan z = λ 2 2 − (c

1 + y) , dz = −2 (c 1 + y) dy, maka

q 2 =− z −1/2 dz = − =− d λ 2 − (c

− (c 2 Jadi

− 2 λ 2 − (c

1 + y) =x+c 2

dengan c 1 dan c 2 adalah konstanta integrasi. Kuadratkan kedua ruas, kita peroleh

(x + c 2 ) 2 + (c 1 + y) 2 =λ 2 .

Sehingga kurvanya berupa busur lingkaran yang melalui dua buah titik yang diberikan. Konstanta c 1 ,c 2 dan λ bisa dicari dengan syarat kurva melalui titik ujung yang sesuai dan juga syarat panjang antara dua buah titik ini.