Sifat-sifat Operator Hermitian

3.3.2 Sifat-sifat Operator Hermitian

Nilai Eigen Operator Hermitian Riil Misalkan λ adalah nilai eigen operator dan φ merupakan fungsi eigennya

Lφ = λφ.

Jadi

hLφ|φi = hλφ|φi = λ ∗ hφ|φi .

Karena L Hermitian, maka

hLφ|φi = hφ|Lφi = hφ|λφi = λ hφ|φi .

Jadi

λ ∗ hφ|φi = λ hφ|φi .

Oleh karena itu

nilai eigen operator Hermitian haruslah riil. Perhatikan bahwa operator Hermitian bisa imajiner. Meskipun jika operatornya

riil, fungsi eigen bisa kompleks. Tetapi dalam semua kasus, nilai eigen haruslah riil. Karena nilai eigennya riil, fungsi eigen operator Hermitian riil selalu bisa dibuat

riil dengan mengambil kombinasi linier yang sesuai. Karena dengan definisi

Lφ i =λ i φ i

kompleks konjugatnya diberikan oleh

di sini kita menggunakan hubungan λ ∗ = λ. Jadi baik φ ∗ i dan φ i merupakan fungsi eigen untuk nilai eigen yang sama. Karena sifat linieritas L, semua kombinasi linier dari φ i dan φ ∗ i juga merupakan sebuah fungsi eigen. Sekarang baik φ i +φ ∗ i dan i(φ i −φ ∗ i ) riil, jadi kita bisa mengambilnya sebagai fungsi eigen untuk nilai eigen λ i . Jadi untuk operator riil, kita bisa mengasumsikan baik nilai eigen maupun fungsi eigen keduanya riil.

Fungsi Eigen Operator Hermitian Ortogonal Misalkan φ i dan φ j merupakan fungsi eigen untuk nilai eigen yang berbeda λ i dan λ j

Lφ i =λ i φ i , Lφ j =λ j φ j .

3.3. Operator Hermitian 123

Diperoleh

hLφ i |φ j i = hλ i φ i |φ j i=λ ∗ i hφφ i |φ j i=λ i hφ i |φ j i

persamaan terakhir berasal dari fakta bahwa nilai eigennya riil. Karena L Hermitian

Karena λ i 6= λ j , kita harus mempunyai

hφ i |φ j i = 0.

Oleh karena itu φ i dan φ j ortogonal.

Degenerasi Jika n buah fungsi eigen bebas linier bersesuain dengan nilai eigen yang sama, nilai

eigen dikatakan berdegenerasi n− buah. Jika ini adalah kasus yang kita tinjau, kita tidak bisa menggunakan argumen di atas untuk membuktikan fungsi eigennya orto-

gonal dan mungkin saja tidak. Tetapi, jika tidak ortogonal, kita bisa menggunakan proses Gram-Schmidt untuk membentuk n fungsi ortogonal dari n fungsi eigen bebas linier. Fungsi yang baru dibentuk akan memenuhi persamaan yang sama dan saling ortogonal dan juga ortogonal terhadap fungsi eigen lain yang dimiliki nilai eigen yang berbeda.

Fungsi Eigen Operator Hermitian Membentuk Himpunan Lengkap Ingat bahwa matriks Hermitian selalu bisa didiagonalkan. Vektor eigen matriks ter-

diagonalkan berupa vektor kolom dengan hanya satu nilai tak nol. Sebagai contoh 

0 λ 2 0 0 0 λ 2 1 1 Semua vektor dalam dua dimensi bisa dinyatakan dengan dua buah vektor eigen ini

  =c 1  

  +c 2   .

3. Fungsi Ortogonal dan Persamaan Sturm-Liouville

Kita katakan bahwa dua buah vektor eigen membentuk sebuah basis ortogonal leng- kap. Jelaslah, vektor eigen matriks Hermitian n × n akan membentuk basis ortogonal lengkap untuk ruang berdimensi n.

Kita akan berharap dalam ruang vektor berdimensi tak hingga dari fungsi, fungsi eigen operator Hermitian akan membentuk sebuah himpunan basis ortogonal lengkap. Pembuktian hal ini bisa dibaca pada “Methods of Mathematical Physics” Bab.6, oleh Courant and Hilbert, Interscience Publishers (1953), dictak ulang oleh Wiley (1989)

Jadi, dalam selang operator linier L Hermitian, semua bagian fungsi kontinu f (x) bisa dinyatakan dalam deret Fourier umum dari fungsi eigen L, yaitu, jika himpunan fungsi eigen {φ n } (n = 0, 1, 2, . . .) ternormalisasi, maka

f (x) =

hf|φ n iφ n

n=0

dengan Lφ n =λ n φ n . Kita tekankan di sini bahwa dalam ruang ketika L Hermitian, fungsi dalam ruang

ini harus memenuhi syarat batas tertentu. Syarat batas ini yang menentukan fungsi eigen. Marilah kita ilustrasikan dalam contoh berikut.

Contoh 3.3.2. (a) Misalkan fungsi bobot sama dengan satu w(x) = 1, carilah syarat batas yang harus dipenuhi oleh operator diferensial L = d 2 /dx 2 agar Hermitian dalam selang a ≤ x ≤ b. (b) Tunjukkan bahwa jika solusi Ly = λy dalam selang 0 ≤ x ≤ 2π memenuhi syarat batas y(0) = y(2π), y ′ (0) = y ′ (2π) (dengan y ′ berarti turunan y terhadap x), maka operator L dalam selang ini Hermitian. (c) Carilah himpunan lengkap fungsi eigen dari L. Solusi 3.3.2. (a) Misalkan y i (x) dan y j (x) merupakan dua buah fungsi dalam ruang ini. Integralkan perkalian titik hy i |Ly i i secara parsial memberikan

Integralkan parsial suku kedua pada ruas kanan memberikan

Oleh karena itu L Hermitian yang memberikan

∗ dy j

dy ∗

dx a dx

3.3. Operator Hermitian 125

(b) Karena syarat batas y(0) = y(2π), y ′ (0) = y ′ (2π)

∗ dy y j i =y ∗ i (2π)y j ′ (2π) − y i ∗ (0)y ′ j (0) = 0,

dx 0 ∗ dy 2π i

=y ∗ ′ (2π)y j (2π) − y ∗ ′ i i (0)y j (0) = 0.

dx 0

Jadi L Hermitian dalam selang ini karena

(c) Untuk mencari fungsi eigen dari L, kita harus menyelesaikan persamaan diferensial

d 2 y(x) dx 2

=λ y (x),

dengan syarat batas

y(0) = y(2π), y ′ (0) = y ′ (2π).

Solusi persamaan diferensialnya adalah

y(x) = A cos λx + B sin λx

dengan A dan B dua buah konstanta sebarang. Jadi y ′

(x) = − λA sin λx + λB cos λx

dan

y(0) = A, y(2π) = A cos λ2π + B sin λ2π,

y (0) = λB, y (2π) = − λA sin λ2π + λB cos λ2π.

Karena syarat batas y(0) = y(2π), y ′ (0) = y ′ (2π)

A = A cos λ2π + B sin λ2π,

λB = − λA sin λ2π + λB cos λ2π

atau

A(1 − cos λ2π) − B sin λ2π = 0,

A sin λ2π + B(1 − cos λ2π) = 0.

A dan B solusinya akan tidak trivial jika

1 − cos λ2π

sin λ2π

sin λ2π

1 − cos λ2π

3. Fungsi Ortogonal dan Persamaan Sturm-Liouville

Diperoleh

λ2π + sin 2 λ2π = 0 atau

Jadi untuk tiap bilangan bulat n, solusinya adalah

y n (x) = A n cos nx + B n sin nx.

Dengan kata lain, untuk syarat batas periodik ini, fungsi eigen operator Hermitian L =

d 2 /dx 2 adalah cos nx dan sin nx. Ini berarti bahwa kumpulan {cos nx, sin nx} (n =

0, 1, 2, . . .) merupakan himpunan basis lengkap untuk ruang ini. Jadi semua bagian fungsi periodik dengan periode 2π bisa diekspansikan dalam fungsi eigen ini. Ekspresi ini tidak lain hanyalah deret Fourier biasa.

Pembahasan sistematik hubungan antara syarat batas dan fungsi eigen persamaan diferensial orde dua diberikan oleh teori Sturm-Liouville.