Separasi Variabel

5.1.2 Separasi Variabel

Untuk menggambarkan gerakan dari dawai, kita harus memecahkan persamaan dife- rensial dan solusinya harus memenuhi syarat batas dan kondisi awal. Secara khusus mari kita cari rumus untuk perpindahan transversal u(x, t) dari dawai yang terbentang memenuhi (5.4). Untuk menyederhanakan penulisan, mari kita definisikan

Besaran a memiliki arti fisis yang nanti akan menjadi jelas. Sebuah metode klasik dan kuat memecahkan persoalan nilai batas linear persa-

maan diferensial parsial adalah metode separasi (pemisahan) variabel yang mengubah persamaan diferensial parsial menjadi persamaan diferensial biasa. Meskipun tidak semua persoalan bisa diselesaikan dengan metode ini dan tentu terdapat metode lain, umumnya pemisahan variabel adalah metode pertama yang harus kita uji.

5.1. Persamaan Gelombang Satu Dimensi 231

Mari kita pecahkan persoalan matematika berikut ini:

∂ 2 u(x, t)

1 ∂ 2 u(x, t)

S. B. : u(0, t) = 0;

u(L, t) = 0,

K. A. : u(x, 0) = f (x); u t (x, 0) = 0.

Asumsi dari pemisahan variabel adalah kita dapat menuliskan u(x, t) sebagai u(x, t) = X(x)T (t),

dengan X adalah sebuah fungsi dari x sendiri dan T adalah sebuah fungsi dari t sendiri. Pembenaran asumsi dari metode ini adalah hal ini berlaku. Mengikuti asumsi ini, bahwa:

X(x) T (t) = X ′′ (x)T (t),

∂x 2

dx 2

= X(x)

T (t) = X(x)T ′′ (t).

∂t 2

dx 2

Maka (5.6) menjadi

X (x)T (t) =

X(x)T ′′ (t).

Kedua ruas dibagi dengan X(x)T (t)

X ′′ (x)T (t)

1 X(x)T ′′ (t)

X(x)T (t)

a 2 X(x)T (t)

kita dapatkan

Ruas kiri persamaan ini hanyalah fungsi dari x saja, persamaan ini tidak berubah terhadap t. Tetapi, persamaan ini sama dengan sebuah fungsi yang tidak berubah terhadap x. Hal ini mungkin jika dan hanya jika dua ruas sama dengan sebuah kon- stanta umum α. Sehingga kita peroleh

X ′′ (x) = α, X(x)

Mengikuti hal ini:

X ′′ (x) = αX(x)

(5.10) Persamaan diferensial parsial sekarang sudah terdekomposisi menjadi dua buah per-

T ′′ (t) = αa 2 T (t).

samaan diferensial biasa.

5. Persamaan Diferensial Parsial dalam Koordinat Cartesian

Nilai Eigen dan Fungsi Eigen Jika u(x, t) memenuhi syarat batas pertama, maka

u(0, t) = X(0)T (t) = 0

untuk semua t. Karena T (t) berubah terhadap t, satu-satunya kemungkinan bahwa hal ini benar adalah

X(0) = 0.

Dengan cara yang sama, syarat U (L, t) = 0 memberikan

X(L) = 0.

Sejauh ini kita belum menspesifikasi nilai dari konstanta separasi α, nilainya da- pat lebih kecil dari nol, sama dengan nol, juga lebih besar dari nol. Mudah untuk dibuktikan, jika α = 0, maka tidak ada solusi yang memenuhi syarat batas.

Pertama jika α = 0, solusi dari (5.9) adalah X(x) = Ax + B. Dalam kasus ini X(0) = 0 mengharuskan B = 0. Sehingga, X(L) = AL. Karena X(L) = 0, maka

A = 0. Maka X(x) = 0 yang merupakan solusi trivial untuk kasus u yang identik sama dengan nol untuk semua x dan t.

Ketika α > 0, marilah kita tuliskan α = µ 2 dengan µ riil. Maka solusi dari X(x) = µ 2 X(x) adalah X(x) = cosh µx + D sin µx. Dengan X(0) = 0, C haruslah sama dengan nol. Diperoleh X(x) = D sinh µx. Karena sinh µL = 0, X(L) = 0 yang mengharuskan D = 0. Hal ini juga memberikan solusi trivial.

Sehingga α haruslah kurang dari nol. Marilah kita tuliskan α = −µ 2 , sehingga (5.9) menjadi

X ′′

(x) = −µ 2 X(x).

Solusi umum dari persamaan ini adalah

X(x) = A cos µx + B sin µx.

Maka X(0) = A dan kondisi X(0) = 0 berarti A = 0. Sehingga yang tersisa untuk kita adalah

X(x) = B sin µx.

Untuk memenuhi kondisi X(L) = 0, µ haruslah dipilih

Sehingga, untuk tiap n, terdapat sebuah solusi X n (x)

nπ

X n (x) = B n sin

x, n = 1, 2, . . . .

5.1. Persamaan Gelombang Satu Dimensi 233

dengan B n konstanta sebarang. Angka α = −n 2 π 2 /L 2 sehingga persoalan ini bukan merupakan solusi trivial disebut sebagai nilai eigen dan fungsi yang berkaitan (5.11) disebut sebagai fungsi eigen. Solusi Persamaan . Penting untuk diingat bahwa α pada (5.9) dan (5.10) haruslah

sama. Ketika α = −n 2 π 2 /L 2 , (5.9) adalah sebuah persoalan berbeda untuk tiap bilangan bulat positif n yang berbeda. Untuk sebuah bilangan bulat n yang tetap, (5.10) menjadi

T ′′

a n 2 (t) = −

T n (t).

Solusi untuk persamaan ini adalah

Maka, tiap

U n (x, t) = X n (x)T n (t)

merupakan solusi persamaan diferensial. Sebuah teorema penting dari persamaan di- ferensial parsial homogen adalah prinsip superposisi. Jika u 1 dan u 2 adalah persamaan diferensial linier homogen, maka

u=c 1 u 1 +c 2 u 2 ,

dengan c 1 dan c 2 merupakan konstanta sebarang, juga merupakan solusi dari persa- maan tersebut. Teorema ini dapat dengan mudah dibuktikan dengan menunjukkan persamaan tersebut dipenuhi dengan kombinasi sebagai solusi.

Sehingga solusi umumnya diberikan oleh

u(x, t) =

C n X n (x)T n (t)

L di sini kita telah mengkombinasikan tiga buah konstanta sebarang c n C n B n menjadi

n=1

sebuah konstanta a n dan c n D n B n menjadi b n . Sekarang koefisien a n dan b n dapat dipilih sedemikian rupa sehingga memenuhi kondisi awal.

Salah satu kondisi awal adalah

L yang memberikan

dt

n=1

t=0

nπa

nπ

sin

x = 0.

n=1

5. Persamaan Diferensial Parsial dalam Koordinat Cartesian

Karena sin(nπ/L)x merupakan himpunan lengkap pada selang 0 ≤ x ≤ L, semua koefisien haruslah nol. Cara lain untuk melihat bahwa semua b n nol adalah sebagai

berikut. Persamaan ini adalah deret Fourier sinus untuk nol. Koefisiennya merupakan perkalian nol dengan sebuah fungsi sinus. Jelaslah bahwa hasilnya nol. Maka

b n = 0.

Kita memiliki

nπ

nπa

u(x, t) =

dengan koefisien a n dipilih sedemikian rupa untuk memenuhi kondisi awal yang lain. Karena u(x, 0) = f (x), mengikuti persamaan terakhir

nπ

u(x, 0) =

a n sin

x = f (x).

n=1

Persamaan ini adalah deret Fourier sinus setengah selang f (x) antara 0 dan L. Se- hingga a n diberikan oleh koefisien Fourier

Maka solusi persoalan ini adalah

nπa u(x, t) =

x cos t. (5.14)

n=1

Contoh 5.1.1. Sebuah senar gitar sepanjang L ditarik ke atas di tengahnya sehingga memiliki ketinggian h. Bagaimanakah gerak senar/dawai tersebut jika dilepaskan dari keadaan diamnya? Solusi 5.1.1. Untuk mencari gerak sebagi akibat berarti kita perlu mencari per- pindahan senar sebagai fungsi dari t. Hal ini berarti kita perlu mencari u(x, t) dari persamaan

∂ 2 u(x, t)

1 ∂ 2 u(x, t)

∂x 2 a 2 ∂t 2

Karena ujung kedua senar gitar ini tetap, kita harus memenuhi syarat batas

u(0, t) = 0,

u(L, t) = 0.

Bentuk awal senar diberikan oleh

  2h x L untuk 0≤x≤ ,

f (x) =

2   2h (L − x) L untuk ≤ x ≤ L.

5.1. Persamaan Gelombang Satu Dimensi 235

Karena senarnya dilepaskan dari keadaan diam, maka kecepatan awal senar di tiap titik adalah nol. Hal ini berarti turunan u(x, t) terhadap waktu pada t = 0 adalah nol. Maka kondisi awalnya adalah

u(x, 0) = f (x),

u t (x, 0) = 0.

Menurut (5.14), u(x, t) diberikan oleh

nπ

nπa

u(x, t) =

dengan Z

u(x, t) = 2 2 2 sin

L Menarik untuk melihat perpindahan sebagai fungsi waktu. Bentuk senar pada ber- bagai waktu diperlihatkan pada kolom sebelah kiri Gambar 5.2. Komponen individu diperlihatkan kolom sebelah kanan pada gambar yang sama. Senar berosilasi ke atas dan bawah seperti yang diperkirakan. Kita telah menunjukkan posisi senar pada se- tengah sikulsnya. Setelah itu senar akan kembali pada posisi awalnya dan mengulangi geraknya. Dalam selang waktu setengah siklusnya, frekuensi dasar (suku pertama dari deret, sin(πx/L) cos(πat/L)) juga menyelesaikan setengah siklusnya. Frekuensi har- monik ketiga (suku tak nol kedua sin(3πx/L) cos(3πat/L)) telah berosilasi sebanyak satu setengah kali, keduanya dijumlahkan menjadi sebuah osilasi pada kolom sebelah kiri. Sebenarnya kita hanya menjumlahkan empat buah suku tak nol, sehingga garis untuk bentuk senar sebenarnya melengkung dan titik sudutnya melingkar. Jika kita gunakan komputer untuk menggambar

Dengan N = 50, maka semua garis pada kolom sebelah kiri akan lurus dan titik sudutnya akan jelas menjadi titik. Amplitudo komponen yang lebih tinggi sangat

5. Persamaan Diferensial Parsial dalam Koordinat Cartesian

Gambar 5.2: Perpindahan senar bergantung waktu setelah titik tengahnya ditarik ke atas sampai ketinggian h dan dilepaskan dari posisi tersebut. Kolom sebelah kiri adalah bentuk senar pada berbagai waktu yang didapatkan dengan menjumlahkan empat buah suku tak nol pertama dari (5.15). Kolom sebelah kanan merupakan posisi dari empat buah suku dari deret pada waktu yang sama. Meskipun komponen berbeda berosilasi pada frekuensi yang berbeda, komponen ini dijumlahkan sehingga senar bergerak naik turun seperti yang diharapkan. Terlihat bahwa suku pertama (frekuensi dasar) mendominasi gerak.

kecil, tetapi membuat penjumlahan konvergen pada nilai sebenarnya. Terlihat di sini, frekuensi dasar mendominasi gerak.