Osilator Periodik Teredam

1.8.2 Osilator Periodik Teredam

Perhatikan sistem massa dan pegas teredam yang diakibatkan fungsi gaya periodik eksternal. Persamaan diferensial untuk gerak ini adalah

dx

m 2 +c

+ kx = F (t).

Kita mengingatkan kembali jika fungsi gaya eksternal F (t) merupakan fungsi sinus atau cosinus, maka solusi keadaan stabil sistem adalah gerak osilatorik dengan freku- ensi yang sama dengan fungsi input. Sebagai contoh jika

sin(ωt − α), (1.36)

(k − mω ) + (cω) 2

Tetapi jika F (t) fungsi periodik dengan frekuensi ω, tetapi bukan merupakan fung- si sinus dan cosinus, maka solusi stabilnya bukan hanya mengandung suku dengan frekuensi input ω, tetapi juga suku yang lain dikalikan frekuensi ini. Anggap fungsi gaya input diberikan oleh gelombang persegi

0<t<L

F (t) =

F (t + 2L) = F (t). (1.37)

−L < t < 0

Gelombang persegi ini berulang pada waktu 2L. Jumlah ulangan tiap satu detik dina- makan frekuensi ν. Jelaslah ν = 1/(2L). Ingat bahwa frekuensi sudut ω didefinisikan sebagai 2πν. Maka

2L

1. Deret Fourier

kadang kita mengatakan ω sebagai frekuensi. Sekarang seperti yang sudah ditunjukkan ekspansi deret Fourier F (t) diberikan

n = ganjil,

b n = nπ

n = genap.

Terlihat di sini suku pertama adalah gelombang sinus murni dengan frekuensi yang sama dengan frekuensi input gelombang persegi. Kita menyebutnya sebagai frekuensi

dasar ω 1 (ω 1 = ω). Suku lain dalam deret Fourier memiliki frekuensi dari perkalian frekuensi dasar. Frekuensi ini dinamakan frekuensi harmonik. Sebagai contoh, freku- ensi harmonik kedua dan ketiga memiliki frekuensi masing-masing ω 2 = 2π/L = 2ω dan ω 3 = 3π/L = 3ω. (Di sini tidak ada frekuensi harmonik pertama).

Dengan input gelombang persegi F (t) yang dinyatakan dalam deret Fourier pada (1.35), respon dari sistem juga merupakan superposisi dari frekuensi harmonik ini, ka- rena (1.35) merupakan persamaan diferensial linier. Hal ini berarti jika x n meru]pakan solusi khusus dari

sehingga solusi (1.35) adalah

n=1

Sehingga mengikuti (1.36) yaitu dengan input yang berupa fungsi gaya gelombang persegi, solusi stabil dari sistem massa pegas diberikan oleh

b n sin(ω n t−α n )

. Solusi ini mengandung tidak hanya suku dengan frekuensi yang sama dengan frekuensi

k − mω n 2

input ω, tetapi juga suku dengan perkalian frekuensi ini. Jika salah satu frekuensi yang p lebih tinggi dekat dengan frekuensi alami sebuah sistem ω 0 (ω 0 = k/m), maka suku

tertentu akan sangat dominan dalam respon sistem. Hal ini merupakan masalah serius dalam analisis getaran. Frekuensi input bisa saja lebih rendah dibandingkan dengan frekuensi alami sistem, tetapi jika inputnya bukan sinusoidal murni, maka resonansi bisa saja terjadi. Kita akan lihat contoh tersebut berikut ini.

1.8. Deret Fourier dan Persamaan Diferensial

Contoh 1.8.2. Anggap kita bekerja pada satuan yang konsisten, m = 1, c = 0.2, k =

9 dan ω = 1, dan gaya input F (t) diberikan oleh (1.37). Carilah solusi stabil x p dari sistem massa pegas ini. Solusi 1.8.2. Karena ω = π/L = 1 maka L = π dan ω n = n. Seperti yang sudah kita tunjukkan deret Fourier F (t) adalah

F (t) =

sin t + sin 3t + sin 5t + · · · .

Solusi stabilnya diberikan oleh

4 ∞ X 1 sin(nt − α

x p (t) =

n=ganjil n (9 − n ) + (0.2n)

Setelah kita hitung, kita peroleh

x p (t) = 0.1591 sin(t − 0.0250) + 0.7073 sin(3t − 1.5708) + 0.0159 sin(5t − 3.0792) + · · ·

Gambar berikut menunjukkan x p yang dibandingkan dengan fungsi gaya input. Agar memiliki dimensi jarak yang sama, gaya input dinyatakan sebagai F (t)/k yang disebut “jarak statik”. Suku 0.7073 sin(3t − 1.5708) ditunjukkan sebagai garis titik-titik. Ter- lihat bahwa suku ini mendominasi respon sistem. Hal ini karena suku dengan n = 3 pada deret Fourier F (t) memiliki frekuensi yang sama dengan frekuensi alami sistem

p ( k/m) = 3. Sehingga dekat resonansi getaran muncul, dengan massa berosilasi

lengkap tiga kali untuk tiap osilasi gaya luar.

1. Deret Fourier

Untuk demonstrasi yang menraik dari fenomena ini bisa dilihat pada Feynmann Lecture of Physics, Vol. I, Chapter 50.

Marilah kita berikan label untuk dua buah C berurutan di dekat tengah-tengah keyboard dengan C, C ′ dan di atas G dengan G, G ′ . Nada dasar akan memiliki frekuensi relatif sebagai berikut

C − 2, G−3

C ′ − 4, G ′ −6

Hubungan harmonik ini dapat kita demonstrasikan dengan cara berikut. Anggap kita menekan C ′ pelan-pelan sehingga tidak berbunyi tetapi hanya menyebabkan peredam- nya terangkat. Jika kita membunyikan C, maka akan terbentuk nada dasarnya dan nada harmoniknya. Nada harmonik kedua akan menyebabkan tali C ′ bergetar. Jika kita lepaskan C (C ′ tetap kita tekan) peredam akan meredam getaran tali C, dan kita akan mendengar (dengan pelan) nada C ′ ketika ini hilang. Dengan cara yang sama nada harmonik C ketiga akan menyebabkan getaran G ′ .

Fenomena ini selain menarik juga penting. Dalam sistem mekanik dan elektrik yang dipaksa dengan sebuah fungsi periodik berfrekuensi lebih kecil dari frekuensi alami sistem, sepanjang fungsi gayanya tidak sinusoidal murni, salah satu frekuensi harmo- niknya mungkin akan beresonansi dengan sistem. Untuk menghilangkan/mengurangi kemunculan abnormal dari getaran resonansi yang besar dan merusak, kita tidak boleh membiarkan adanya frekuensi harmonik dari gaya input mendominasi respon sistem.