Sifat-sifat Fungsi Bessel
4.3 Sifat-sifat Fungsi Bessel
4.3.1 Hubungan Rekursi
Mulai dengan representasi dalam bentuk deret, kita dapat mendeduksi sifat rekursi fungsi Bessel sebagai berikut
x n+1 J n+1 (x) =x n+1 J n (x).
dx
4.3. Sifat-sifat Fungsi Bessel 181
Bukti:
(−1) n+1 k n+1
n+2k+1
J n+1 (x) = x
k=0 k!Γ (k + n + 2) 2
(−1) 2n+2k+2 x
. k=0 k!Γ (k + n + 2) 2 n+2k+1
d X n+1 ∞ (−1) k 2(n + k + 1) x 2n+2k+1 x
J n+1 (x) =
dx
k!Γ (k + n + 2) 2 n+2k+1
k=0
x 2n+2k+1
k=0 k!Γ (k + n + 1) 2 n+2k
X n+1 ∞
(−1) k
x n+2k
=x
k=0 k!Γ (k + n + 1) 2 n+2k
=x n+1 J n (x).
x −n J n (x) = −x −n J n+1 (x).
(−1) −n k (−1) k x n+2k x 2k x J n (x) = x −n
k=0 k!Γ (k + n + 1) 2 n+2k
k!Γ (k + n + 1) 2 k=0 n+2k
(−1) k 2k
x 2k−1
x −n J n (x) =
dx k!Γ (k + n + 1) 2 n+2k
k=0
Karena suku pertama dengan k = 0 bernilai nol. Maka penjumlahan dimulai dari k = 1
(−1) −n k 2k x 2k−1 x J n (x) = dx
k=1 k!Γ (k + n + 1) 2 n+2k
(−1) k
x 2k−1
(k − 1)!Γ (k + n + 1) 2 n+2k−1
k=0
Sekarang pilih variabel baru j = k − 1, sehingga k = j + 1, maka
x 2j+1 x J n (x) = dx
j=0 j!Γ (j + n + 2) 2 n+2j+1
x −n n+2j+1 (−1) = −x
j=0 j!Γ (j + n + 2) 2 n+2j+1
= −x −n J n+1 (x).
Dengan menggunakan sifat-sifat ini, kita dapat memperoleh hubungan sebagai berikut
4. Fungsi Bessel dan Polinomial Legendre
J n (x) − J n−1 (x),
2 n−1 (x) − J n+1 (x)] ,
(4.36) Untuk membuktikan tiga hubungan di atas,, kita mulai dengan
J ′ 0 (x) = −J 1 (x).
d x n+1 J n+1 (x) = (n + 1)x n J n+1 (x) + x n+1 J ′ dx
n+1 (x), mengikuti (4.32) yaitu (n + 1)x n J n+1 (x) + x n+1 J n+1 ′ (x) = x n+1 J n (x), yang dapat dituliskan sebagai
J ′ n+1 (x) = J n (x) −
n+1
J n+1 (x),
atau
J ′ n (x) = J n−1 (x) − J n (x).
Dari (4.33) kita mempunyai −nx −n−1 J n (x) + x −n J ′ n (x) = −x −n J n+1 (x), atau
n n (x) = J n (x) − J n+1 (x).
Dari (4.37) dan (4.38)
J n−1 (x) − J n (x) = J n (x) − J n+1 (x),
n−1 (x),
yang merupakan hubungan rekursi 3. Dengan menjumlahkan (4.37) dan (4.38), kita memperoleh
n (x) = [J 2 n−1 (x) − J n+1 (x)] ,
yang merupakan hubungan rekursi 4. Kasus khusus J 0 ′ (x) mengikuti langsung sifat 2. Ambil n = 0 pada (4.33),
kita mempunyai
J ′ 0 (x) = −J 1 (x),
4.3. Sifat-sifat Fungsi Bessel 183
yang merupakan hubungan rekursi 5. Hubungan rekursi ini sangatlah berguna. Dalam artian sepanjang kita
mengetahui nilai J 0 (x) dan J 1 (x), fungsi Bessel dengan orde yang lebih ting- gi dan juga turunannya dapat kita cari dengan mudah. Hubungan menarik yang dapat diperoleh dari sifat 1 adalah
x n+1 J n (x) dx = r n+1 J n+1 (r),
kasus penting adalah ketika n = 0
7. Z r
xJ 0 (x) dx = rJ 1 (r).
4.3.2 Fungsi Pembangkit untuk Fungsi Bessel
Meskipun fungsi Bessel yang kita pelajari utamanya berkaitan dengan solusi persama- an diferensial, akan menjadi sebuah pelajaran yang berharaga untuk membangunnya dengan pendekatan yang sama sekali berbeda yang dinamakan fungsi pembangkit.
Ingat kembali
exp(x) =
n=0 n! 2t Mengikuti hal ini
X ∞ X ∞ (−1) m
l+m
t l−m . (4.41)
l!m!
l=0 m=0
Jika l − m = n maka l = m + n dann l + m = 2m + n, sehingga (4.41) dapat dituliskan !
xt
1 (−1) m
exp t − n = .
2m+n
2 2t
m=0 (m + n)! m!
n=−∞
4. Fungsi Bessel dan Polinomial Legendre
Fungsi Bessel J n (x) diberikan oleh
jelas bahwa
xt
exp
n (x)t .
Ruas kiri dari persamaan ini dikenal sebagai fungsi pembangkit untuk fungsi Bessel. Kadang dituliskan sebagai G(x, t)
xt
G(x, t) = exp
2 2t
4.3.3 Representasi Integral
Sebuah cara yang berguna untuk memperlakukan fungsi Bessel yaitu dengan repre- sentasi integral. Jika kita menggantikan
Sehingga (4.42) dapat dituliskan
∞ (ix sin θ)
X inθ
e = J (x)e
=J (x) +
J (x)e n inθ 0 n +J
−n (x)e
J n (x)(cos nθ + i sin nθ) +
(−1) n J n (x)(cos nθ − i sin nθ)
n=1
n=1
=J 0 (x) + 2[J 2 (x) cos 2θ + J 4 (x) cos 4θ + J 6 (x) cos 6θ + · · · ] + 2i[J 1 (x) sin θ + J 3 (x) sin 3θ + J 5 (x) sin 5θ + · · · ].
Tetapi
e (ix sin θ) = cos(x sin θ) + i sin(x sin θ),
sehingga cos(x sin θ) = J 0 (x) + 2[J 2 (x) cos 2θ + J 4 (x) cos 4θ + J 6 (x) cos 6θ + · · · ],
(4.43) sin(x sin θ) = 2[J 1 (x) sin θ + J 3 (x) sin 3θ + J 5 (x) sin 5θ + · · · ].
(4.44) Representasi ini merupakan representasi jenis Fourier. Koefisien J n (x) dapat dengan
mudah diperoleh. Sebagai contoh kalikan (4.43) dengan cos(nθ) dan integralkan dari
0 sampai dengan π kita memperoleh
n genap cos(x sin θ) cos(nθ) dθ =
J n (x),
n ganjil
4.4. Fungsi Bessel dan Persamaan Sturm-Liouville 185
Dengan cara yang sama, dari (4.44)
n genap sin(x sin θ) sin(nθ) dθ =
n ganjil Dengan menjumlahkan kedua persamaan ini didapatkan
π 0 J n (x),
J n (x) = [cos(x sin θ) cos(nθ) + sin(x sin θ) sin(nθ)] dθ π 0
cos(x sin θ − nθ) dθ.
Kasus khusus
J 0 (x) =
cos(x sin θ) dθ.
Kita tahu bahwa cosinus adalah fungsi genap, sedangkan sinus adalah fungsi ganjil Z π
cos(x sin θ) dθ =
cos(x sin θ) dθ,
0 2 0 Z 2π
sin(x sin θ) dθ = 0.
Sehingga (4.46) dapat dituliskan Z
cos(x sin θ) dθ =
[cos(x sin θ) + i sin(x sin θ)] dθ
exp(ix sin θ) dθ =
exp(ix cos θ) dθ.
Bentuk ini sangat berguna pada difraksi Fraunhofer dengan celah lingkaran.