Persamaan Gelombang dalam Koordinat Bola

6.4.3 Persamaan Gelombang dalam Koordinat Bola

Pada Bab 5, kita mengetahui bahwa salah satu solusi dari fungsi gelombang adalah

2 ∂x u= a 2 ∂t 2 u

adalah gelombang bidang

u(x, t) = e i(kx−kat) =e (kx−ωt) ,

dengan panjang gelombangnya 2π/k dan frekuensi sudut ω = ka. Ini adalah ge- lombang bidang karena muka gelombangnya adalah bidang yang tegak lurus dengan sumbu−x. Bidang ini bergerak dari kiri ke kanan dengan kecepatan a.

Dengan menyatakan persamaan gelombang dalam koordinat bola, kita dapat mem- pelajari gelombang bola, muka gelombangnya adalah sebuah bola.

Pertama asumsikan bahwa gelombang bola hanya bergantung pada jarak radial r. Pada suku ini persamaan gelombang dapat dituliskan sebagai

u(r, t) =

u(r, t).

Kalikan kedua ruas dengan r,

[ru(r, t)]. Karena

r 2 +2

u(r, t) =

u(r, t) =

[ru(r, t)],

dapat kita tuliskan persamaan gelombang tiga dimensi sebagai

[ru(r, t)] =

[ru(r, t)].

∂r 2

a 2 ∂t 2

6. Persamaan Diferensial Parsial dengan Batas Lengkung

Jelas bahwa ru(r, t) mempunyai peran yang sama dengan u(x, t) dalam persamaan dimensi satu dimensi. Sehingga salah satu solusinya dapat dituliskan sebagai

ru(r, t) = e i(kr−ωt)

atau

u(r, t) = e i(kr−ωt) .

Kita dapat menginterpretasi solusi ini sebagai gelombang bola ke luar dengan pan- jang gelombang 2π/k dan sebuah frekuensi sudut ω. Perhatikan bahwa amplitudonya berkurang dengan faktor 1/r, ketika r membesar. Hal ini memang sudah seharusnya,

karena luas muka gelombang membesar dengan faktor r 2 . Sehingga intensitas gelom- bang (energi tiap satuan luas yang sebanding dengan |u| 2 ) dijumlahkan terhadap muka

gelombang adalah sebuah konstanta. Secara umum, gelombang bola juga bergantung pada θ dan ϕ. Kebergantungan

sudut ditentukan oleh syarat batas atau pada bagaimana gelombang ini dibangkitkan. Solusi terpisah persamaan gelombang adalah perkalian suku bergantung waktu dan

suku bergantung ruang. Suku bergantung waktu sama dengan persamaan gelombang satu dan dua dimensi yaitu

T (t) = e ikat ,e −ikat

atau ekivalen dengan bagian riilnya. Kemudian e −ikat dapat dituliskan sebagai e −iωt , dengan ω adalah frekuensi sudut.

Suku ruangnya diberikan oleh persamaan Helmholtz. Dalam koordinat bola, solu- sinya diberikan oleh

F lm (r, θ, ϕ) = [a lm j l (kr) + b lm n l (kr)] Y m l (θ, ϕ).

Jika kita mencari gelombang bola yang ke luar pada r yang besar, maka kita harus mengkombinasikan fungsi Bessel sferis j l (kr) dan fungsi Neumann sferis n l (kr) ke dalam fungsi Hankel sferis jenis pertama h ( 1) l (kr). Yaitu, b lm harus sama dengan ia lm . Ingat ketika x → ∞

h l (x) → e i[x−(l+1)π/2] .

Dengan cara ini, secara asimptotik u(r, θ, ϕ, t) = F (r, θ, ϕ)T (t) akan berbentuk

u lm (r, θ, ϕ, t) →

e i(kr±ωt) Y m (θ, ϕ),

kr

Tanda minus (−ωt) adalah untuk gelombang bola ke luar dan tanda positif (+ωt) untuk gelombang bola ke dalam. Sehingga, gelombang bola ke luar adalah kombinasi

linier dari komponen-komponen ini.

u(r, θ, ϕ, t) = (1) a lm h l (kr)Y m l (θ, ϕ)e −iωt .

l=0 m=−l

6.4. Laplacian Tiga-Dimensi dalam Koordinat Bola 345

Contoh 6.4.6. Gelombang akustik u(r, t), memenuhi persamaan gelombang

∇ u=

a 2 ∂t 2

diemisikan dari antena sferis. Pada r = r 0 , persamaan ini memenuhi syarat batas

 V 0 e −iωt

u=

 −V 0 e −iωt

Carilah solusi persamaan gelombang ke luar. Solusi 6.4.6. Pertama konstanta separasi k harus sama dengan

ω k= .

Selanjutnya kita perhatikan bahwa syarat batasnya bersimetri sumbu, kita hanya perlu memperhatikan solusi untuk m = 0. Maka

u(r, θ, t) = (1) a

l h l (kr)P l (cos θ)e −iωt .

l=0

Pada r = r 0

 V 0 0<θ< , u(r , θ, 0) =

a l h l (kr 0 )P

0 l (cos θ) =

 −V 0 π 2 < θ < π. Ini adalah deret Fourier-Legendre, koefisien-koefisiennya adalah

V 0 P l (cos θ) sin θdθ −

P l (cos θ) sin θdθ

 0 l genap,

(2l + 1)V 0 0 P l (x)dx

l ganjil.

Jadi l haruslah ganjil dan dapat dituliskan sebagai l = 2n + 1 dengan n = 0, 1, 2, . . .. Sehingga

u(r, θ, t) = (1) a 2n+1 h 2n+1 (kr)P 2n+1 (cos θ)e −iωt

a 2n+1 = (1)

V 0 P 2n+1 (x)dx.

h 2n (kr 0 )

Dengan (6.23) Z 1

1 (2n)! 4n + 3 P 2n+1 (x)dx =

4n + 3 (−1)

0 2 2n (n!) 2 2n + 2

6. Persamaan Diferensial Parsial dengan Batas Lengkung

gelombang akustik ke luar diberikan oleh

u(r, θ, t) =

A n V 0 h (1) −iωt 2n+1 (kr)P 2n+1 (cos θ)e ,

n=0

h 2n+1 (kr 0 )

(2n)! 4n + 3

A n = (−1)

2 2n (n!) 2

2n + 2