Distribusi Suhu dengan Nilai Tertentu pada Batas

5.5.1 Distribusi Suhu dengan Nilai Tertentu pada Batas

Dua Ujung dengan Suhu yang Sama Sebuah batang panjang memiliki distribusi suhu awal sepanjang sumbunya; batang

disekat pada permukaan sampingnya, dan kedua ujung batang dijaga pada suhu sama yang konstan. Sepanjang suhu kedua ujung batang sama, kita dapat mengasumsikan suhunya sama dengan 0°. Jika tidak sama dengan 0°, perubahan sederhana pada skala

5. Persamaan Diferensial Parsial dalam Koordinat Cartesian

dapat membuatnya sama dengan 0° dalam skala yang baru. Anggap panjang batang adalah L dan distribusi awal suhu f (x). Untuk mencari suhu u(x, t) di semua tempat

pada batang beberapa saat kemudian, kita harus menyelesaikan persoalan berikut

∂ 2 u(x, t)

1 ∂u(x, t)

S. B. : u(0, t) = 0; u(L, t) = 0, K. A. : u(x, 0) = f (x).

Mengikuti prosedur separasi variabel

u(x, t) = X(x)T (t),

persamaan diferensialnya menjadi

X ′′ (x)T (t) =

X(x)T ′ (t).

Bagi kedua ruas dengan X(x)T (t)

X ′′ (x)T (t)

1 X(x)T ′ (t)

X(x)T (t)

α 2 X(x)T (t)

kita dapatkan

Persamaan ini terpenuhi jika dan hanya jika kedua ruas sama dengan sebuah konstanta yang sama

Solusi umum dari X ′′ (x) = −µ 2 X(x) adalah X(x) = A cos µx + B sin µx.

Karena syarat batas meminta

X(0) = 0, X(L) = 0,

diperoleh

A = 0, nπ

5.5. Persamaan Difusi Satu Dimensi 275

dengan n bilangan bulat. Untuk tiap n, solusi bagian ruangnya diberikan oleh

X n (x) = sin

Berkaitan dengan n ini, persamaan untuk T (t) menjadi

nπ 2

(t) = − α

x T (t).

Sehingga suku yang bergantung waktu diberikan oleh

T n (x) = exp −

Maka untuk tiap bilangan bulat n, terdapat sebuah solusi X n (x)T n (t). Solusi umum- nya adalah kombinasi linier dari solusi individu ini

u(x, t) =

Kondisi awal meminta

u(x, 0) =

c n sin

x = f (x).

n=1

Ini adalah deret Fourier sinus, koefisien c n diberikan oleh

f (x) sin

x dx.

Sehingga solusi lengkap persoalan ini adalah

u(x, t) =

Solusi ini tentu memiliki arti. Tidak peduli bagaimana suhu awalnya, ketika t → ∞ batang (semua tempat) akan bersuhu 0° seperti dua ujungnya.

Dua Ujung dengan Suhu Berbeda Sebuah persoalan yang lebih realistik adalah dua ujung batang memiliki suhu yang

berbeda. Dalam kasus ini, persoalan kita menjadi

∂ 2 u(x, t)

1 ∂u(x, t)

S. B. : u(0, t) = 0; u(L, t) = K, K. A. : u(x, 0) = f (x).

5. Persamaan Diferensial Parsial dalam Koordinat Cartesian

Untuk menyelesaikan persoalan di atas adalah dengan mengubahnya ke dalam bentuk yang sudah kita selesaikan sebelumnya. Kita dapat melakukannya dengan memisahkan variabel yang bergantung u(x, t) dengan cara berikut

u(x, t) = v(x, t) − ψ(x).

Mengikuti hal ini

∂ 2 (x, t)

∂ 2 v(x, t)

∂(x, t)

∂v(x, t)

∂t

∂t

Sekarang jika kita meminta

ψ(0) = 0, ψ(L) = −K

∂ 2 u(x, t)

1 ∂u(x, t)

= ∂x 2 α 2 ∂t

v(0, t) = 0, v(L, t) = 0 v(x, 0) = f (x) + ψ(x).

Jelas kita dapat menyelesaikan v(x, t) dengan metode yang sama untuk persoalan sebelumnya. Jika kita dapat mencari ψ(x, t), maka u(x, t) bisa diperoleh.

Dari (5.71)

ψ(x) = a + bx.

Syarat pada (5.72) meminta

K ψ(x) = − x. L

Sehingga u(x, t) = v(x, t) − ψ(x)

Hasil ini memiliki arti, ketika t → ∞, suhu pada batang akan naik linier dari 0 ke K.

5.5. Persamaan Difusi Satu Dimensi 277