Fungsi Legendre Terasosiasi dan Fungsi Harmo- nik Bola

4.8 Fungsi Legendre Terasosiasi dan Fungsi Harmo- nik Bola

4.8.1 Polinomial Legendre Terasosiasi

Persamaan

dx 1−x

y(x) +

y(x) = 0. (4.92)

dx

1−x 2

4.8. Fungsi Legendre Terasosiasi dan Fungsi Harmonik Bola 211

dikenal sebagai persamaan Legendre terasosiasi. Persamaan ini dalam bentuk per- samaan Sturm-Liouville. Persamaan ini menjadi persamaan nilai eigen untuk λ jika kita mensyaratkan bahwa solusinya terikat pada titik singular x = ±1. Jika m = 0, persamaan ini menjadi persamaan Legendre yang kita kenal dan λ = l(l + 1). Ketika m nilainya tak nol, maka kita bisa menggunakan metode Frobenius untuk mencari solusinya sama seperti yang kita lakukan untuk persamaan Legendre. Tetapi, akan lebih menarik dan efisien jika kita mencari hubungan antara kasus m 6= 0 dan m = 0.

Untuk memulainya, kita ingat kembali persamaan Legendre

1−x

2 P l (x) − 2x

P l (x) + l(l + 1)P l (x) = 0, (4.93)

dx

dx

dan mengubahnya menjadi persamaan Legendre terasosiasi dengan penurunan beru- lang. Dengan aturan Leibnitz (4.79), kita bisa menuliskan

2 m+2

d m+1

2 P l =1−x m+2 P l − 2mx m+1 P l − m(m − 1) P l , dx

Sehingga dengan menurunkan (4.93) m kali dan kita kumpulkan suku-sukunya dipe- roleh

m+2 P l − 2x(m + 1) m+1 P l + [l(l + 1) − m(m + 1)] P l = 0. (4.94) dx

dx m Dengan menuliskan

dx

u=

P l (x),

dx m

persamaan di atas menjadi

(4.95) Sekarang kita akan membuktikan bahwa dengan

1−x 2 u ′′ − 2x(m + 1)u ′ + [l(l + 1) − m(m + 1)] u = 0.

u(x) = 1 − x 2 −m/2 y(x),

y(x) memenuhi persamaan Legendre terasosiasi. Dengan memasukkan u(x) dan turu- nannya

u ′ =1−x 2 −m/2

1−x −m/2−1 2 2xy

= −m/2 y ′ + 2

m(m + 2)x ′′ 2 2mx u −m/2 = y + y ′

2 2 y 1−x , 1−x

2 y+

1−x

(1 − x )

4. Fungsi Bessel dan Polinomial Legendre

pada (4.95) dan menyederhanakannya, kita memperoleh

y = 0, yang merupakan persamaan Legendre terasosiasi. Sehingga

P l (x), haruslah merupakan solusi persamaan Legendre terasosiasi. Nilai negatif dari m tidak

y(x) = 1 − x

2 m/2

u(x) = 1 − x

dx m

mengubah nilai m 2 sehingga solusi ini juga berlaku untuk bilangan m negatif. Solusi ini dikenal sebagai fungsi Legendre terasosiasi P m l (x). Untuk m positif dan

negatif, didefinisikan sebagai

d 2 |m| |m|/2

l (x) = 1 − x

|m| P l (x).

dx

Dengan menggunakan rumus Rodrigues, dapat ditunjukkan bahwa

Karena pangkat tertinggi dari x l 2 −1 adalah x 2l , jelas bahwa −l ≤ m ≤ l. Sebuah konstanta dikalikan (4.96) juga tetap merupakan solusi, sehingga hal ini

memungkinkan beberapa penulis dalam literatur yang lain mendefinisikan P m l secara berbeda mengalikannya dengan (−1) m . Jika tidak dikatakan secara eksplisit, kita akan menggunakan definisi (4.96). Beberapa polinomial ada di bawah ini, untuk aplikasi, kita biasa menemukan x = cos θ.

1 (x) = 1 − x

P 1/2 1 2 1

P 1 (cos θ) = sin θ

1 2 P 1/2

2 (x) = 3x 1 − x P 1 2 (cos θ) = 3 cos θ sin θ

P 2 2 (x) = 3 1 − x 2 P 2 2 (cos θ) = 3 sin 2 θ

3 (x) = (3/2) 5x −1 1−x P 3 (cos θ) = (3/2) 5 cos θ−1 sin θ P 2 3 (x) = 15x 1 − x 2 P 2 3 (cos θ) = 15 cos θ sin 2 θ P 3 2 3/2

P 1 2 2 1/2

3 (x) = 15 1 − x

P 3 3 (cos θ) = 15 sin θ

4.8.2 Ortogonalitas dan Normalisasi Polinomial Legendre Ter- asosiasi

Persamaan Legendre terasosiasi adalah berbentuk persamaan Sturm-Liouville, sehing-

ga fungsi eigennya, fungsi Legendre terasosiasi, saling tegak lurus.

4.8. Fungsi Legendre Terasosiasi dan Fungsi Harmonik Bola 213

Mari kita ingat persamaan Sturm-Liouville

r(x)

y + q(x)y + λw(x)y = 0.

dx

dx

Jika r(a) = r(b) = 0 maka persamaan ini adalah persamaan Sturm-Liouville singular pada selang a ≤ x ≤ b, sehingga solusinya terikat pada x = a dan x = b. Hal ini berarti fungsi eigennya saling tegak lurus dengan fungsi bobot tertentu w(x).

Jika persamaan Legendre terasosiasi dituliskan sebagai

P m l (x) = 0, kita dapat mengidentifikasi r(x) = x 2 − 1, 1 q(x) = −l(l + 1), w(x) = , λ=m 2 ,

kita dapat menyimpulkan

P m l (x)P m l (x)

m 6= m 2 ′ dx = 0, . (4.98)

1−x

Pada sisi yang lain, kita dapat mengidentifikasi

r(x) = 1 − x , q(x) = − , w(x) = 1, λ = l(l + 1),

1−x 2

maka P m l (x) juga memenuhi syarat tegak lurus

P m l (x)P m l ′ (x) dx = 0,

Dalam aplikasi praktis (4.99) lebih sering digunakan sedangkan (4.98) hanya sekedar keingintahuan matematik.

Untuk menggunakan P m l (x) sebagai himpunan basis dalam deret Fourier umum, kita harus menghitung integral normalisasi

[P 2 m

l (x)] dx = β 2 lm .

Dengan definisi

[P 2 m (x)] dx =

2 P l (x) d P l (x)

1−x

dx

dx

dx

2 P l (x)

d m−1 P l (x)

1−x

dx m

dx m−1

4. Fungsi Bessel dan Polinomial Legendre

Dengan mengintegralkan parsial kita memperoleh

Bagian yang diintegralkan hilang pada batas atas dan bawah, sehingga

. Menggantikan m dengan m − 1 pada (4.94) persamaannya menjadi

m+1 P l − 2xm m P l dx + [l(l + 1) − (m − 1)m] dx dx m−1 P l = 0.

2 Kalikan persamaan ini dengan 1 − x m−1 , kita mempunyai

d 2 m−1 P l (x) =−1−x

m−1

(l + m)(l − m + 1)

P l (x) l (x)]

2 m−1 d dx = (l + m)(l − m + 1)

= (l + m)(l − m + 1) 2 P m−1

(x) dx.

Proses ini dapat dilakukan berulang kali, dan setelah m kali

2 [P 2 m

l (x)] dx = k lm

[P l (x)] dx,

dengan k lm = (l + m)(l − m + 1)(l + m − 1)(l − m + 2) · · · (l + 1)l

= (l + m)(l + m − 1) · · · (l + 1)l · · · (l − m + 2)(l − m + 1)

(l + m)! = (l + m)(l + m − 1) · · · (l − m + 1)

(l − m)!

(l − m)! Karena

(l − m)!

[P l (x)] dx =

[P l (x)] dx =

2l + 1 (l − m)!

4.8. Fungsi Legendre Terasosiasi dan Fungsi Harmonik Bola 215

4.8.3 Fungsi Harmonik Bola

Penggunaan paling banyak dari polinomial Legendre bersama dengan fungsi harmonik bola Y m l (θϕ) yang merupakan suku angular dari solusi persamaan Laplace dalam koordinat bola,

P m (cos θ)e l ixmϕ (θ, ϕ) = (−1) l ,

dengan θ adalah sudut polar dan ϕ adalah sudut azimut dan m ≥ 0. Untuk m ≤ 0

(4.101) Sepanjang permukaan bola, {Y m l } membentuk himpunan ortonormal lengkap

Y −|m|

l 1 (θ, ϕ)Y 2 l 2 (θ, ϕ) sin θ dθdϕ = δ l 1 ,l 2 δ m 1 ,m 2 .

Ortogonalitas terhadap (m 1 ,m 2 ) berasal dari suku yang bergantung ϕ yaitu e imϕ Z 2π

sedangkan ortogonalitas (l 1 ,l 2 ) berkaitan dengan fungsi Legendre terasosiasi P m l (cos θ) Z π

l 1 (cos θ)P m l 2 (cos θ) sin θ dθ =

(l + m)!

δ l 1 ,l 2 .

2l + 1 (l − m)! Beberapa fungsi harmonik bola adalah sebagai berikut.

Faktor (−1) m pada (4.100) adalah faktor fase. Meskipun tidak terlalu penting, namun pemilihan ini akan sering ditemukan dalam teori momentum sudut di dalam

mekanika kuantum. Faktor ini dinamakan fase Condon-Shortely. Beberapa penulis tidak mencantumkannya dalam mendefinsikan fungsi harmonik bola. Beberapa yang lain menggunakan cos ϕ atau sin ϕ daripada e iϕ . Sehingga ketika kita menggunakan fungsi harmonik bola, konvensi fase harus dispesifikasi terlebih dahulu.

Sebuah fungsi θ dan ϕ yang berperilaku baik dapat diekspansikan sebagai penjum- lahan fungsi harmonik bola

f (θ, ϕ) =

c lm Y m l (θ, ϕ),

l=0 m=−l

4. Fungsi Bessel dan Polinomial Legendre

dengan

Z 1 Z 2π

c lm = [Y m (θ, ϕ)] ∗ l f (θ, ϕ) dϕ d(cos θ).

Hal ini merupakan contoh dari deret Fourier umum dengan himpunan basisnya adalah solusi dari persamaan Sturm−Liouvillve.