Persamaan Konduksi Panas

5.4 Persamaan Konduksi Panas

Untuk memperoleh persamaan aliran panas, kita menggunakan hasil eksperimen • Panas mengalir dalam arah temperatur yang menurun.

• Laju aliran panas melalui sebuah luas sebanding dengan luas dan pada gradien suhu yang normal pada luas. Konstanta kesebandingannya dinamakan dengan konduktivitas termal k.

5.4. Persamaan Konduksi Panas 271

Gambar 5.15: Energi panas naik tiap satuan waktu dalam elemen kecil massa sama dengan fluks panas yang mengalir ke dalam elemen ini melalui enam buah permukaannya.

• Kuantitas panas yang diterima atau dilepas oleh benda ketika suhunya berubah sebanding dengan massa benda dan perubahan suhu. Konstanta kesebandingan

dinamakan panas spesifik c. Konstanta k, c dan rapat massa per satuan volume/densitas ρ dari banyak material

terdapat pada buku kimia dan fisika. Anggap suhu adalah u(x, y, z, t). Kuantitas panas ∆Q yang dibutuhkan agar

terjadi perubahan suhu ∆u dalam kotak kecil bermassa ∆m ditunjukkan pada Gambar

5.15 adalah

(5.68) Laju aliran panas melalui permukaan ABCD ke dalam kotak adalah

∆Q = c∆m∆y∆z∆u.

∆Q 1 ∂u

= −k

∆x∆z.

∆t

∂y y

Perhatikan bahwa kuantitas positif dari ∂u/∂y berarti sehu naik dalam arah−y positif dan aliran panas ke arah−y negatif, sehingga panas mengalir ke luar kotak, sehingga h i ada tanda negatif pada persamaan. Subscript y dalam ∂u ∂y

menyatakan gradien

dihitung pada permukaan tegak lurus sumbu−y dan pada jarak y satuan dari titik asal. Maka panas yang mengalir ke dalam kotak melalui ABCD dalam selang waktu ∆t adalah

∂u

∆Q 1 = −k

∆x∆z∆t.

∂y y

Dengan cara yang sama aliran panas ke dalam kotak melalui permukaan EFGH adalah

∂u

∆Q 2 =k

∆x∆z∆t.

∂y y+∆y

5. Persamaan Diferensial Parsial dalam Koordinat Cartesian

Mengikuti hal ini

∆x∆z∆t − k

∆x∆z∆t

∆x∆z∆t

∂y y+∆y

∂y y

=k

∆x∆z∆t.

∂y 2

Dapat ditunjukkan dengan cara yang sama aliran panas ke dalam kotak melalui permukaan atas BFGC dan permukaan bawah AEHD dalam selang waktu ∆t dibe- rikan oleh

∂ 2 u ∆Q 3 + ∆Q 4 =k 2 ∆z∆x∆y∆t ∂z

dan melalui permukaan depan dan belakang

∆Q 5 + ∆Q 6 =k

∆x∆y∆z∆t.

∂x 2

Sehingga jumlah total panas yang masuk ke dalam kotak melalui enam buah permu- kaannya adalah

∆Q = ∆Q 1 + ∆Q 2 + ∆Q 3 + ∆Q 4 + ∆Q 5 + ∆Q 6

(5.69) Panas ini haruslah bertanggung jawab terhadap kenaikan suhu di dalam kotak, maka

=k

2 ∂y + ∂z 2 + ∂x 2 ∆x∆y∆z∆t.

∆Q pada (5.69) harus sama dengan ∆Q pada (5.68). Jadi ∂ 2 u

2 ∂x ∆x∆y∆z∆t = cρ∆x∆y∆z∆u atau

Pada limit ∆t → 0, persamaan di atas menjadi

yang dikenal sebagai difusivitas termal. Ini adalah persamaan konduksi panas. Menarik untuk memperhatikan bahwa da-

lam penurunan rumus kita tidak menggunakan syarat batas. Aliran panas dalam

5.5. Persamaan Difusi Satu Dimensi 273

benda dideskripsikan dengan persamaan yang sama apakah permukaannya dijaga da- lam suhu tetap, disekat terhadap kehilangan panas, atau dibolehkan mendingin secara bebas dengan konduksi pada medium yang mengelilingi. Secara umum, seperti yang akan kita lihat, peran syarat batas adalah untuk menentukan bentuk solusi persamaan diferensial parsial yang relevan dengan persoalan khusus.

Persamaan ini berbeda dengan persamaan gelombang satu dimensi dalam turunan waktu yang hanya orde pertama, sedangkan dalam persamaan gelombang dalam orde dua.

Persamaan ini dikenal juga sebagai persamaan difusi, karena tidak hanya mem- bangkitkan difusi panas, tetapi juga difusi material, seperti difusi polutan pada air, atau difusi obat pada liver.