Fungsi Green

3.5 Fungsi Green

3.5.1 Fungsi Green dan Persamaan Diferensial Tak Homogen

Sejauh ini kita telah membuktikan bahwa jika solusi persamaan Sturm-Liouville meme- nuhi syarat batas tertentu, solusinya menjadi sebuah himpunan fungsi eigen ortogonal y n (x), dengan nilai eigen λ n .

3. Fungsi Ortogonal dan Persamaan Sturm-Liouville

Sekarang anggap bahwa kita ingin menyelesaikan persamaan diferensial tak homo- gen berikut dalam selang a ≤≤ b

y + q(x)y + kw(x)y = f (x), (3.21) dx

p(x)

dx

dengan f (x) adalah fungsi yang diberikan. Syarat batas yang dipenuhi oleh solusi y(x) sama dengan yang dipenuhi fungsi eigen y n (x) dari persoalan Sturm-Liouville

y n + q(x)y n +λ n w(x)y n = 0. dx

p(x)

dx

Perhatikan bahwa k 6= λ n . Bahkan k bisa bernilai nol. Akan lebih nyaman jika kita menghitung dengan fungsi eigen ternormalisasi. Jika

y n (x) belum ternormalisasi, kita bisa mendefinisikan

φ n (x) =

1/2 y n (x), hy n |y n i

maka

hφ m |φ n i= φ m (x)φ n (x)w(x)dx = δ nm .

Karena {φ n } (n = 1, 2, . . .) merupakan himpunan ortonormal lengkap, solusi y(x) dari (3.21) bisa diekspansikan dalam suku φ n

y(x) =

c n φ n (x).

n=1

Masukkan dalam (3.21), kita mempunyai

c n p(x)

+ q(x) φ n (x) + kw(x)

c n φ n (x) = f (x).

+ q(x) φ n (x) = −λ n w(x)φ n (x), dx

c n (−λ n + k)w(x)φ n (x) = f (x).

n=1

Kalikan kedua ruas dengan φ m (x) dan integralkan

c n (−λ n + k)

w(x)φ n (x)φ m (x) dx =

f (x)φ m (x) dx.

n=1

Karena syarat ortogonalitas, kita mempunyai

c m (−λ m + k) =

f (x)φ m (x) dx,

3.5. Fungsi Green 147

atau

f (x)φ n (x) dx.

k−λ n a

Maka solusi y(x) adalah

y(x) =

c n φ n (x) =

f (x ′ )φ n (x ′ ) dx ′ φ n (x).

Karena f (x) adalah fungsi yang diberikan, kita menganggap deret ini bisa di- hitung. Tetapi, kita ingin mempunyai bentuk yang berbeda, dan memperkenalkan sebuah fungsi yang secara konsep penting, yang disebut fungsi Green. Dengan asumsi penjumlahan dan integrasi bisa dipertukarkan, kita bisa menuliskan rumus terakhir sebagai:

X φ n (x )φ n (x)

y(x) =

Sekarang jika kita mendefinisikan fungsi Green sebagai:

maka solusi y(x) bisa dituliskan sebagai

y(x) =

f (x ′ )G(x ′ , x) dx ′ .

3.5.2 Fungsi Green dan Fungsi Delta

Untuk mengapresiasi arti dari fungsi Green, pertama kita akan membuktikan bahwa G(x ′ , x) adalah solusi (3.21) kecuali f (x) digantikan dengan fungsi delta δ(x ′ − x). Yaitu, kita akan membuktikan bahwa

G(x ′ , x) + q(x)G(x ′ , x) + kw(x)G(x ′ , x) = δ(x ′ − x), (3.23) dx

d d p(x)

dx dengan fungsi delta δ(x ′ − x) diberikan oleh hubungan

F (x) =

F (x ′ )δ(x ′ − x) dx ′ ,

a < x < b.

Dengan G(x, x ′ ) diberikan oleh (3.22)

G(x ′ , x) + q(x)G(x ′ , x) + kw(x)G(x ′ , x) dx

d d p(x)

p(x) + q(x)

+ kw(x)

X ∞ −λ n w(x)φ n (x ′ )(x ′

+ kw(x)

= w(x) φ n (x ′ )φ n (x)

k−λ n

k−λ n

n=1

n=1

n=1

3. Fungsi Ortogonal dan Persamaan Sturm-Liouville

yang bisa dibuktikan sebagai ekspansi fungsi eigen dari fungsi delta. Misalkan

δ(x ′ − x) =

a n φ n (x).

n=1

Perkalian titik kedua ruas dengan salah satu fungsi eigen adalah

a n = hδ(x ′ − x)φ n (x)i .

hδ(x ′ − x)|φ n (x)i φ n (x)

δ(x ′ − x)φ n (x)w(x)dx φ n (x) = w(x ′ ) φ n (x ′ )φ n (x)

n=1 a n=1

Selanjutnya, karena δ(x ′ − x) bernilai tak nol hanya pada x = x ′

δ(x ′

− x) = δ(x − x ′ ) = w(x)

φ n (x)φ n (x ′ ). (3.24)

n=1

Pers. (3.23) terbukti. Sekarang fungsi Green bisa diinterpretasikan sebagai berikut. Persamaan diferen-

sial linier, seperti (3.21), bisa digunakan untuk mendeskripsikan sistem fisis linier. Fungsi f (x) dalam ruas kanan persamaan merepresentasikan “gaya,” atau fungsi gaya yang dikerjakan pada sistem. Dengan kata lain, f (x) merupakan input pada sistem. Solusi dari persamaan, y(x), merepresentasikan respon dari sistem.

Fungsi Green G(x ′ , x) mendeskripsikan respon sistem fisis terhadap sebuah fungsi delta satuan, yang merepresentasikan impuls sumber titik pada x yang besarnya satu.

Kita bisa membuat model sebarang input f (x) sebagai penjumlahan beberapa input titik. Ini dinyatakan sebagai

f (x) =

f (x ′ )δ(x ′ − x)dx ′ .

Nilai dari f (x ′ ) sederhananya adalah besarnya fungsi delta pada x. Karena G(x ′ , x) merupakan respon dari fungsi delta satuan, jika besar fungsi delta adalah f (x ′ ) kali lebih besar, respon juga akan lebih besar sebesar itu. Yaitu, respon akan f (x ′ )G(x ′ , x). Karena sistemnya linier, kita bisa mencari respon sistem pada input f (x) dengan menambahkan respon pada titik-titik input. Yaitu

y(x) =

f (x ′ )G(x ′ , x) dx ′ .

3.5. Fungsi Green 149

Contoh 3.5.1. (a) Tentukan ekspansi fungsi eigen dari fungsi Green G(x ′ , x) untuk

y ′′ + y = x, y(0) = 0, y(1) = 0.

(b) Carilah solusi y(x) dari persamaan diferensial tak homogen melalui

y(x) =

x ′ G(x ′ , x) dx ′ .

Solusi 3.5.1. (a) Untuk menyelesaikan persamaan diferensial tak homogen, marilah kita lihat persoalan nilai eigen yang sesuai

y ′′ + y + λy = 0, y(0) = 0, y(1) = 0,

yang merupakan persoalan Sturm-Liouville, dengan p(x) = 1, q(x) = 1, w(x) = 1. Solusi persamaan

y ′′ = −(1 + λ)y

adalah

y(x) = A cos

1 + λx + B sin

1 + λx.

Syarat batas y(0) = 0 meminta

y(0) = A = 0,

jadi

y(1) = B sin

Jadi syarat batas yang lain y(1) = 0 membuat

1 + λ = nπ, n = 1, 2, 3, . . . .

Maka nilai eigennya

λ n =n 2 π 2 − 1,

dan fungsi eigennya adalah

y n (x) = sin nπx.

Oleh karena itu fungsi eigen yang bersesuaian adalah

sin nπx

φ n (x) =

hR 2 sin nπx.

1 i 1/2

0 sin nπx dx

Oleh karena itu fungsi Greennya bisa dituliskan

X sin(nπx ) sin(nπx) , x) =

X φ n (x )φ n (x)

G(x ′

0−λ n

1−n 2 π 2

n=1

n=1

3. Fungsi Ortogonal dan Persamaan Sturm-Liouville

(b) Solusi y(x) diberikan oleh

X ′ ∞ sin nπx

y(x) = x G(x , x) dx =2 x ′ sin nπx ′ dx ′ .

0 1−n 2 π n=1 2 0

Karena Z 1 1 Z 1

solusinya bisa dinyatakan sebagai

y(x) =

n(1 − n 2 π 2

n=1

Dalam contoh ini, dengan ekspansi fungsi eigen dari fungsi Green, kita telah mene- mukan solusi persoalan yang dinyatakan dalam deret Fourier dari fungsi sinus. Untuk menunjukkan fungsi Green merupakan respon sistem terhadap fungsi delta satuan, kita bisa menyelesaikan persoalan yang sama dengan fungsi Green yang diperoleh langsung dari persamaan

(3.25) Kita akan mengerjakannya dalam contoh berikut.

Contoh 3.5.2. (a) Selesaikan soal pada contoh sebelumnya dengan fungsi Green yang diperoleh dari kenyataan bahwa ini merupakan respon sistem terhadap fungsi delta satuan. (b) Selesaikan persamaan diferensial tak homogen dari contoh sebelumnya, dengan fungsi Green yang diperoleh pada (a). Solusi 3.5.2. (a) Karena fungsi Green merupakan respon sebuah sistem terhadap sebuah fungsi delta, kita meminta fungsi ini kontinu dan berhingga pada selang yang ditinjau. Untuk x 6= x ′ , fungsi Green memenuhi persamaan

d 2 dx 2

G(x ′ , x) + G(x ′ , x) = 0.

Solusi persamaan ini diberikan oleh

G(x ′ , x) = A(x ′ ) cos x + B(x ′ ) sin x.

3.5. Fungsi Green 151

Sepanjang x yang ditinjau, A(x ′ ) dan B(x ′ ) merupakan dua buah konstanta sebarang. Tetapi tidak ada alasan bahwa konstanta ini sama untuk x < x ′ seperti x > x ′ , kenyataannya memang berbeda. Marilah kita tuliskan G(x ′ , x) sebagai

x<x ′ , G(x , x) =

a cos x + b sin x,

x>x ′ . Karena fungsi Green harus memenuhi syarat batas yang sama seperti persamaan di-

 c cos x + d sin x,

ferensial asalnya. Pada x = 0, G(x ′ , 0) = 0. Karena x = 0 jelaslah lebih kecil dari x ′ , maka kita meminta

G(x ′ , 0) = a cos 0 + b sin 0 = a = 0.

Selanjutnya, karena pada x = 1, G(x ′ , 1) = 0, kita mempunyai

Jadi untuk x > x ′

(sin 1 cos x − cos 1 sin x)

sin(1 − x).

sin 1 Dengan menerapkan syarat batas, kita mempunyai dua buah konstanta untuk diten- tukan

x<x ′ , G(x , x) =

b sin x,

 1 c sin(1 − x),

x>x ′ .

sin 1

Untuk menentukan b dan c, kita menggunakan syarat bahwa G(x ′ , x) harus kontinu pada x = x ′ , jadi

b sin x ′

=c

sin 1 sin(1 − x ′ ).

x>x . Selanjutnya kita integralkan kedua ruas (3.25) terhadap sebuah selang kecil x ′

 G + (x ′

, x) = c

sin x ′ sin(1 − x ) sin(1 − x),

Integral pada ruas kanan sama dengan 1, dengan definisi fungsi delta. Ketika ǫ → 0

Z x ′ +ǫ

lim

G(x ′ , x) dx = 0.

x ′ −ǫ

3. Fungsi Ortogonal dan Persamaan Sturm-Liouville

Integral ini sama dengan 2ǫ kali nilai rata-rata G(x ′ , x) dibagi 2ǫ pada x = x ′ . Karena G(x ′ , x) berhingga, integral ini sama dengan nol ketika ǫ mendekati nol. Sekarang

x +ǫ ′ +ǫ

d 2 dG(x ′ , x)

Ketika ǫ → 0, diperoleh Z x ′ +ǫ

cos(1 − x ′ ) − b cos x ′

sin(1 − x ′

atau sin x ′

−b sin(1 − x ′

[sin(1 − x ′ ) cos x ′ + cos(1 − x ′ ) sin x ′ ] = 1.

Karena

[sin(1 − x ′ ) cos x ′ + cos(1 − x ′ ) sin x ′ ] = sin(1 − x ′ +x ′ ) = sin 1,

jadi

sin(1 − x ′ )

b=−

sin 1

Maka fungsi Greennya diberikan oleh

   sin(1 − x ′ ) sin x,

′ , G(x ′

x<x , x) =

sin 1   sin(1 − x ′ ) − sin(1 − x),

y(x) = x ′ G(x ′ , x) dx ′

sin x

sin(1 − x

sin(1 − x) dx −

sin(1 − x) =−

x ′ sin(1 − x ′ ) dx ′ . sin 1

Karena Z x x ′ sin x ′ dx ′ = [−x ′ cos x ′ + sin x ′ ] x 0 = −x cos x + sin x, Z 0

x ′ sin(1 − x 1 ′ ) dx ′ = [x ′ cos(1 − x ′ ) + sin(1 − x ′ )] x = 1 − x cos(1 − x) − sin(1 − x),

3.5. Fungsi Green 153

jadi

y(x) = − [−x sin(1 − x) cos x + sin x − x sin x cos(1 − x)] sin 1

sin x. sin 1

[−x sin(1 − x + x) + sin x] = x −

sin 1 Untuk melihat hasil ini sama dengan solusi yang diperoleh pada contoh sebelumnya, kita bisa mengekspansikan dalam deret Fourier sinus dalam selang 0 ≤ x ≤ 1,

Bisa dengan mudah dibuktikan bahwa

Z 1 (−1) n+1

sin(nπ − 1) −

sin(nπ + 1)

(−1) n+1 nπ

sin 1 +

sin 1 = sin 1.

n 2 π 2 Maka

(−1) n+1 nπ

2(−1) n+1

2 2 nπ , n π nπ(1 − n π ) dan

a n =2

1 2 X ∞ (−1) n+1

x−

sin x =

sin nπx,

sin 1

π n=1 n(1 − n 2 π 2 )

yang identik dengan hasil sebelumnya.

Soal ini bisa dengan mudah diselesaikan dengan “metode biasa.” Jelaslah x me- rupakan solusi khusus, dan fungsi komplementernya adalah y c = A cos x + B sin x. Dengan memasukkan syarat batas y(0) = 0 dan y(1) = 1 pada solusi

y(x) = y p +y c = x + A cos x + B sin x,

kita memperoleh

y(x) = x

sin x.

sin 1

Kita menggunakan persoalan ini untuk mengilustrasikan bagaimana fungsi Green bekerja. Untuk persoalan sederhana seperti ini, fungsi Green tidak menawarkan keun- tungan, tetapi ide dari fungsi Green sangatlah berguna ketika menemui syarat batas dan juga aproksimasi dalam menyelesaikan persamaan diferensial parsial. Kita akan melihat aspek fungsi Green ini dalam bab belakangan.

3. Fungsi Ortogonal dan Persamaan Sturm-Liouville