Gelombang Berjalan
5.1.4 Gelombang Berjalan
Dalam Subbab 5.1.3 kita telah mempelajari tiap mode normal adalah gelombang ber- diri. Sekarang kita ingin menunjukkan bahwa mode normal yang sama dapat dianggap sebagai sebuah superposisi dua buah gelombang berjalan dalam arah yang berlawanan.
Dengan menggunakan identitas trigonometri
1 sin a cos b = [sin(a + b) + sin(a − b)],
5.1. Persamaan Gelombang Satu Dimensi 241
Gambar 5.6: Gelombang berjalan. Kurva penuh menunjukkan seperti apa fungsi f (x − ct) pada t = 0, kurva putus-putus menunjukkan fungsi pada waktu t setelah itu.
kita dapat menuliskan (5.21) sebagai
1 1 u n (x, t) = sin(k n x+ω n t) + sin(k n x−ω n t)
= sin[k n (x + at)] + sin[k n (x − at)], (5.23)
dengan menggunakan
ω n =ν n λ n = a. k n
Sebelum kita membicarakan interpretasi (5.23), marilah pertama kita perhatikan perilaku fungsi f (x − ct). Dalam fungsi ini, variabel x dan t dikombinasikan dengan cara tertentu dari x − ct. Anggap pada t = 0, fungsi f(x) seperti kurva penuh pada Gambar 5.6. Jika nilai maksimum fungsi f (x m ) adalah pada x = x m , maka pada beberapa waktu t setelah itu, fungsi f (x − ct) akan mencapai maksimum yang sama pada x = x m + ct. Hal ini berarti titik maksimum telah berpindah sejauh ct dalam selang waktu t. Kenyataannya, tidak sulit untuk melihat fungsi keseluruhan telah berpindah sejauh ct ke kanan pada selang waktu t, seperti terlihat pada kurva putus- putus dalam Gambar 5.6. Sehingga f (x−ct) merepresentasikan fungsi yang berpindah (tanpa mengubah bentuk fungsinya) ke kanan dengan kecepatan c. Dengan cara yang sama, f (x + ct) merepresentasikan fungsi yang bergerak ke kiri dengan kecepatan c.
Sekarang jelas bahwa sin[k n (x + at)] dan sin[k n (x − at)] dalam mode normal (5.23) adalah dua buah gelombang sinus yang merambat dalam arah berlawanan dengan kecepatan a. Menarik untuk menuliskan (5.13) dalam suku gelombang berjalan
u(x, t) =
a n [sin k n (x + at) + sin k n (x − at)]. (5.24)
2 n=1
Karena pada saat t = 0 senar bergeser sehingga berbentuk f (x)
f (x) = u(x, 0) =
a n sin k n x,
n=1
5. Persamaan Diferensial Parsial dalam Koordinat Cartesian
jelaslah
f (x + at) =
a n sin k n (x + at),
n=1
f (x − at) =
a n sin k n (x − at).
n=1
Maka
u(x, t) =
f (x + at) +
f (x − at).
Dengan kata lain, ketika senar dilepaskan pada t = 0 dari posisi tergesernya f (x), senar akan terpisah menjadi dua bagian, satu bergerak ke kanan, satu lagi bergerak ke kiri dengan kecepatan a yang sama.
Tetapi terdapat sebuah pertanyaan tentang selang sehingga f (x) terdefinisi. Per- pindahan awal f (x) terdefinisi antara 0 dan L. Tetapi sekarang argumennya adalah x + at atau x − at. Karena t dapat memiliki nilai berapapun, argumen bisa mele- wati selang antara 0 dan L. Agar (5.26) berlaku untuk semua t, kita harus mem- perbesar argumen fungsi melewati selang ini. Karena (5.26) diperoleh dari (5.25) dan sin k n x = sin(nπ/L)x yang merupakan fungsi ganjil periodik dengan periode 2L, fung- si pada (5.26) juga harus memiliki sifat seperti ini. Sehingga kita notasikan f ∗ sebagai ekstensi periodik ganjil dari f dengan periode 2L, selanjutnya
u(x, t) = f ∗ (x + at) + f ∗ (x − at),
berlaku untuk semua t.
Contoh 5.1.2. Dengan interpretasi gelombang berjalan, selesaikan soal pada contoh sebelumnya dari senar yang ditarik pada tengahnya. Jawab 5.1.2. Dengan pergeseran awal senar
2h L x jika 0 < x <
u(x, 0) = f (x) =
pergeseran u(x, t) diberikan oleh
u(x, t) = f ∗ (x + at) + f ∗ (x − at)
Untuk menginterpretasi ekspresi ini, pertama kita bayangkan fungsi f (x) diperluas antisimetrik dari 0 sampai −L, kemudian diperluas periodik dari −∞ sampai ∞ de- ngan periode 2L. Kemudian setengah dari fungsi yang diperluas bergerak ke kanan dengan kecepatan a dan setengah yang lain ke kiri dengan kecepatan yang sama yang
5.1. Persamaan Gelombang Satu Dimensi 243
Gambar 5.7: Interpretasi gelombang berjalan dari solusi persamaan gelombang dengan kondisi awal dan syarat batas. Perpindahan u(x, t) adalah jumlah dari setengah perluasan fungsi awal bergerak ke kiri dan kanan dengan kecepatan a yang sama.
ditunjukkan pada Gambar 5.7. Jumlah dari dua buah gelombang berjalan ini dalam daerah 0 ≤ x ≤ L adalah pergeseran senar u(x, t).
Sebagai sebuah konsekuensi, kita melihat untuk waktu sebarang t = T , untuk T ≤ L/2a, perpindahannya
1 2h 2h
u(x, T ) =
jika 0 ≤ x ≤
− aT ,
1 2h 2h
u(x, T ) =
u(x, T ) =
Hasil ini bisa dilihat pada Gambar 5.7. Perpindahan u(x, t) sebagai fungsi waktu ditunjukkan Gambar 5.8. Pada kolom
sebelah kiri, posisi senar ditunjukkan pada waktu t yang berbeda. Tiap kasus adalah superposisi dua buah gelombang berjalan, satu ke kiri dan satu ke kanan, ditunjukk- an pada kolom sebelah kanan. Keduanya bergerak dengan kecepatan a yang sama. Jumlah dua buah gelombang berjalan ini membuat senar bergerak ke atas dan ke bawah. Menarik untuk membandingkan Gambar 5.8 dengan Gambar 5.2. Keduanya mendeskripsikan gerak yang sama dengan interpretasi berbeda.
5. Persamaan Diferensial Parsial dalam Koordinat Cartesian
Gambar 5.8: Grafik solusi senar bergetar dengan perpindahan awal u(x, 0) ditunjukkan pada ba- gian atas kolom sebelah kiri. Pada waktu berbeda t, senar akan berada pada posisi seperti yang ditunjukkan kolom sebelah kiri. Posisi diperoleh sebagai superposisi sebuah gelombang berjalan ke kanan dan sebuah gelombang berjalan ke kiri yang ditunjukkan kolom sebelah kanan.
Persoalan dengan Kecepatan Awal Marilah kita perhatikan kasus senar yang awalnya diam tetapi memilkiki kecepatan
awal g(x). Perpindahan senar adalah solusi persamaan berikut:
∂ 2 u(x, t)
1 ∂ 2 u(x, t)
P. D. :
2 ∂x = a 2 ∂t 2 ,
S. B. : u(0, t) = 0;
u(L, t) = 0,
K. A. : u(x, 0) = 0; u t (x, 0) = g(x).
Dengan separasi variabel, kita akan mendapatkan (5.12) seperti sebelumnya,karena persamaan diferensial dan syarat batas yang sama
nπ u(x, t) =
L Kondisi awal u(x, 0) = 0 berarti bahwa
n=1
nπ
u(x, 0) =
Maka semua a n nilainya haruslah nol. Sehingga
nπa
nπ
u(x, t) =
b n sin
t sin
n=1
5.1. Persamaan Gelombang Satu Dimensi 245
x. (5.28) ∂t
u(x, t) =
Dari kondisi awal yang lain U t (x, 0) = g(x) diperoleh
x = g(x).
n=1
Deret ini adalah deret Fourier sinus, maka
nπa
nπ
g(x) sin
x dx.
Sehingga solusinya, u(x, t), diberikan oleh deret tak hingga
nπa nπ u(x, t) =
L Solusi ini dinyatakan dalam suku penjumlahan gelombang berdiri tak hingga. Kita
nπa 0 L
n=1
dapat juga menyatakannya dalam suku penjumlahan dua buah gelombang berjalan. Dengan identitas trigonometrik
1 sin a cos b = [sin(a + b) + sin(a − b)],
kita dapat menuliskan (5.28) sebagai
u(x, t) =
sin (x − at).
L Dengan (5.29), kita dapat menuliskannya sebagai
2 n=1
2 n=1
u(x, t) = g ∗ (x + at) + g ∗ (x − at)
∂t
dengan g ∗ adalah ekstensi ganjil dari g berperiode 2L, untuk alasan yang sama seperti
f ∗ yang merupakan ekstensi periodik ganjil dari f berperiode 2L. Integrasi dari (∂/∂t)u(x, t) akan diperoleh u(x, t), Konstanta integrasi ditentukan
oleh kondisi awal u(x, 0) = 0. Syarat ini dipenuhi oleh integral berikut:
∂u(x, t ′ )
Dengan menggantikan variabel
τ = x + at ′
1 , dt ′ = dτ,
5. Persamaan Diferensial Parsial dalam Koordinat Cartesian
integral pertama ruas kanan dapat dituliskan sebagai
1 1 x+at
karena pada t ′ = 0, τ = x dan pada t ′ = t, τ = x + at. Serupa dengan hal ini, integral keduanya dapat dituliskan
1 x−at
g ∗ (x − at ′ )dt ′
g ∗ (τ )dτ.
2 0 2a x
Mangikuti hal ini:
1 x+at
1 x−at
u(x, t) =
1 x+at
g ∗ (τ )dτ.
2a x−at
Persamaan ini adalah solusi senar tanpa perpindahan awal tetapi memiliki kecepatan awal g(x).
Superposisi Solusi Jika senarnya memiliki perpindahan awal dan kecepatan awal
(5.31) maka perpindahan yang diakibatkan dapat dituliskan sebagai superposisi dari (5.27)
u(x, 0) = f (x), u t (x, 0) = g(x),
dan (5.30), yaitu
1 1 x+at
u(x, t) = [f ∗ (x − at) + f ∗ (x + at)] +
g ∗ (τ ) dτ. (5.32)
2 2a x−at
Perhatikan bahwa kedua suku memenuhi persamaan diferensial homogen dan syarat batas, sedangkan jumlahnya memenuhi kondisi awal (5.31).
Secara umum solusi dari persoalan linier yang memiliki lebih dari satu syarat tak homogen dapat dituliskan sebagai jumlah solusi persoalan yang hanya memiliki satu syarat batas saja. Cara melihat seperti ini, meskipun tidak harus, biasanya menye- derhanakan proses penyelesaian.