Inner Product dan Ortogonalitas

3.1.2 Inner Product dan Ortogonalitas

Sejauh ini kita belum menyebut perkalian titik vektor. Perkalian titik yang juga disebut sebagai inner product atau perkalian skalar. Biasanya kita menuliskan sebagai u · v atau sebagai hu|vi atau hu, vi

u · v = hu|vi = hu, vi.

Sebuah ruang vektor tidak harus memiliki sebuah perkalian titik. Tetapi sebuah fungsi ruang tanpa sebuah perkalian titik yang didefinisikan merupakan sebuah ruang vektor yang sangat besar untuk digunakan dalam aplikasi fisika.

Jika kita memilih untuk memperkenalkan sebuah perkalian titik untuk fungsi ru- ang, bagaimana cara mendefinisikannya? Kita membuang sifat-sifat perkalian titik vektor yang kita kenal dengan aksioma dan mengharuskan ruang vektor sebarang me- menuhi aksioma-aksioma ini.

Dari definisi perkalian titik vektor tiga dimensi u dan v

u·v=u 1 v 1 +u 2 v 2 +u 3 v 3 =

j=1

bisa dengan mudah kita deduksi bahwa perkalian titik adalah • komutatif

u·v=v·u

• dan linier (αu + βv) · w = α(u · w) + β(v · w).

Norm (atau panjang) vektor didefinisikan sebagai

||u|| = (u · u)

j=1

• jadi norm definit positif

u · v > 0, untuk u 6= 0.

Dalam ruang kompleks, komponen vektor bisa bernilai kompleks. Seperti yang su- dah kita lihat dalam teori matriks, perkalian titik dalam ruang kompleks didefinisikan sebagai:

u·v=u ∗

1 v 1 +u 2 ∗ v 2 +u 2 ∗ v 2 +u ∗ 3 v 3 =

j=1

dengan u ∗ adalah konjugat kompleks dari u. Jadi dalam ruang kompleks,

3.1. Fungsi sebagai Vektor dalam Ruang Vektor Dimensi Tak Hingga 111

• Aturan komutatif u · v = v · u digantikan dengan

(3.1) Ini mengikuti fakta bahwa

u · v = (v · u) ∗ .

X 3 X 3 X 3 ∗ u·v=

Oleh karena itu jika α bilangan kompleks maka

(αu · v) = α ∗ (u · v),

(3.3) Sekarang jika kita menggunakan sifat-sifat ini sebagai aksioma untuk mendefini-

(u · αv) = α(u · v).

sikan perkalian titik yang lebih luas, maka kita bisa melihat untuk dua buah vektor berdimensi−n u dan v dalam ruang kompleks, rumus

u·v=u ∗

1 w 1 +u ∗ 2 w 2 +···+u ∗ n v n w n =

u ∗ j v j w j (3.4)

j=1

juga merupakan perkalian titik yang terlegitimasi sepanjang w j konstanta positif tetap untuk tiap j.

marilah kita gunakan ruang riil dua dimensi sebagai ilustrasi. Anggap u = (1, 2)

dan v = (3, −4) dengan w 1 = 2, w 2 = 3, maka u · v = (1)(3)(2) + (2)(−4)(3) = −18,

v · u = (3)(1)(2) + (−4)(2)(3) = −18,

sesuai dengan aksioma u · v = v · u.

Di sisi lain jika w 1 = 2, w 2 = −3 u · u = (1)(1)(2) + (2)(2)(−3) = −10,

melanggar aksioma u · u > 0 untuk u 6= 0. Bisa diverifikasi bahwa dengan nilai positif riil w j , (3.4) memenuhi semua aksioma

perkalian titik. w j dikenal sebagai “bobot” karena ini memberikan bobot yang lebih atau kurang pada komponen yang berbeda dari vektor. Jelaslah semua w j bisa sama dengan satu. Dalam banyak kasus, inilah yang kita tinjau.

Untuk mendefinisikan perkalian titik dalam sebuah ruang fungsi dalam selang a ≤ x ≤ b, marilah kita bagi selang menjadi n − 1 bagian yang sama dan bayangkan bahwa fungsi f (x) dan g(x) diaproksimasi secara konstan seperti sebelumnya:

f (x) = (f 1 ,f 2 ,...,f n ), g(x) = (g 1 ,g 2 ,...,g n ).

3. Fungsi Ortogonal dan Persamaan Sturm-Liouville

Kita bisa mengadopsi perkalian titik sebagai

hf|gi =

f j ∗ g j ∆x j

j=1

dengan ∆x j merupakan lebar sub selang. Dengan menganggap ∆x j sebagai bobot, definisi ini sesuai dengan (3.4). Jika kita memilih n → ∞, jumlah ini menjadi sebuah integral

hf|gi =

f ∗ (x)g(x) dx.

Bobot juga bisa berupa w(x) dx, sepanjang w(x) berupa fungsi riil positif. Dalamm kasus tersebut, perkalian titik didefinisikan sebagai

hf|gi =

f ∗ (x)g(x)w(x) dx.

Ini adalah definisi umum perkalian titik sebuah fungsi ruang vektor berdimensi tak hingga. Bisa dengan mudah dibuktikan bahwa definisi ini memenuhi semua aksioma perkalian titik. Seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya, dalam berbagai persoalan fungsi bobot w(x) sama dengan satu untuk semua x. Kita juga menekankan di sini pendekatan heuristik bukanlah penurunan maupun pembuktian, ini hanya memberik- an motivasi untuk definisi.

Dua buah fungsi dikatakan ortogonal dalam selang a dan b jika

hf|gi =

f ∗ (x)g(x)w(x) dx = 0.

Norm sebuah fungsi didefinisikan sebagai

"Z b # 1/2 1/2 =

"Z b # 1/2

kfk = hf|gi 2 |f(x)| w(x) dx .

f ∗ (x)f (x)w(x) dx

Fungsinya dikatakan ternormalisasi jika

kfk = 1.

Sebuah ruang vektor berdimensi tak hingga dari fungsi, dengan perkalian titik yang terdefinisi disebut ruang Hilbert. Dalam mekanika kuantum, semua fungsi gelombang yang terlegitimasi berada dalam ruang Hilbert.