Fungsi Bessel Jenis Lain
4.5 Fungsi Bessel Jenis Lain
4.5.1 Fungsi Bessel Termodifikasi
Selain persamaan Bessel dengan orde n, kita juga sering menemui persamaan Bessel yang termodifikasi
x 2 y ′′ + xy ′
−x 2 +n 2 y = 0.
Satu-satunya perbedaan dengan persamaan Bessel biasa adalah tanda minus di depan suku x 2 yang kedua. Jika kita mengubah x menjadi ix maka persamaan ini kembali menjadi persamaan Bessel. Sehingga J n (ix) dan N n (ix) juga merupakan solusi dari persamaan ini.
Sekarang kita definisikan
I n (x) = i −n J n (ix),
sebagai fungsi Bessel jenis pertama. Karena
(−1) 2k+n ix
J n (ix) = ,
k=0 k!Γ (k + n + 1) 2
fungsi Bessel termodifikasi I n (x)
1 ∞ X 1 2k+n
I n (x) =
i n J n (ix) = k=0 k!Γ (k + n + 1) 2
merupakan fungsi riil dan naik secara monotonik.
4. Fungsi Bessel dan Polinomial Legendre
Gambar 4.4: Fungsi Bessel termodifikasi
Fungsi Bessel termodifikasi jenis kedua biasanya didefinisikan sebagai K n (x)
n (x) = i
n+1
H n (1) (ix) = i n+1 [J n (ix) + iN n (ix)].
Fungsi ini tidak memiliki nilai nol ganda/berulang dan bukan merupakan fungsi or- togonal. Fungsi ini bisa kita bandingkan dengan sinh(x) = −i sin(ix) dan cosh(x) = cos(ix). Dengan analogi ini I n (x) dan K n (x) juga sering disebut fungsi Bessel hiper- bolik. Faktor i dimasukkan agar nilainya menjadi riil. Tiga buah nilai pertama dari
I n (x) dan K n (x) diperlihatkan pada Gambar 4.4. Perhatikan bahwa fungsi Bessel termodifikasi pertama I n (x) berperilaku baik pada titik asal tetapi divergen pada tak hingga. Sedangakan fungsi Bessel termodifikasi jenis kedua K n (x) divergen pada titik asal dan berperilaku baik pada tak hingga.
4.5.2 Fungsi Bessel Sferis
Persamaan
(4.56) dengan l bilangan bulat, bisa kita temui dalam suku radial persamaan gelombang
x 2 y ′′ + 2xy ′ + x 2 − l(l + 1) y=0
dalam koordinat bola. Persamaan ini dinamakan sebagai persamaan Bessel sferis ka- rena dapat ditransformasikan ke dalam persamaan Bessel dengan mengubah variabel. Ambil
y=
z(x).
(x) 1/2
4.5. Fungsi Bessel Jenis Lain 191
Dengan mensubstitusikan pada (4.56) dan mengalikannya dengan x 1/2 kita mempero- leh
jelas bahwa (4.57) merupakan fungsi Bessel dengan orde l + 1/2 sehingga
z(x) = C 1 J l+1/2 (x) + C 2 J −(l+1/2) (x),
dan
y(x) = C 1 J l+1/2 (x) + C 2 J −(l+1/2) (x).
Dua buah solusi linier yang saling bebas dikenal sebagai fungsi Bessel sferis j l (x) dan fungsi Neumann sferis n l (x) yang masing-masing didefinisikan sebagai berikut
j l (x) =
J l+1/2 (x),
2x r π
n l (x) =
N l+1/2 (x).
2x
Karena cos[(l + 1/2)π]J l+1/2 (x) − J −(l+1/2) (x)
N l+1/2 (x) =
sin[(l + 1/2)π] = (−1) l+1 J −(l+1/2) (x)
sehingga n l (x) dapat dituliskan sebagai
l (x) = (−1)
l+1
J 2x −(l+1/2) (x).
Fungsi Hankel sferis didefinisikan sebagai
h (1)
(x) = j l (x) + in l (x),
h (2)
(x) = j l (x) − in l (x).
4. Fungsi Bessel dan Polinomial Legendre
Semua fungsi ini bisa dinyatakan dalam bentuk fungsi dasar tertutup. Dalam (4.27) dan (4.28), kita telah membuktikan bahwa
J (1/2) (x) =
sin x,
J −(1/2) (x) =
cos x.
πx Dan dengan hubungan rekursi (4.34)
(x) − J n−1 (x),
kita dapat memperoleh semua fungsi Bessel untuk bilangan pecahan setengah. Sebagai contoh untuk n = 1/2, kita mempunyai
J (3/2) (x) = J (1/2) (x) − J
Dengan n = −1/2 kita peroleh
J (1/2) (x) = − J
x −(1/2) (x) − J −(3/2) (x),
atau
J −(3/2) (x) = − J −(1/2) (x) − J (1/2) (x)
J (1/2) (x) = sin x, 2x
j 1 (x) =
J (3/2) (x) = 2x
n 1 (x) = J −(3/2) (x) = − 2 cos x − sin x.
2x
Fungsi Bessel sferis dengan orde yang lebih tinggi dapat dibentuk dengan menggunak- an hubungan rekursi
dengan f (2) l yang dapat berupa j l ,n l ,h p l dan h l . Hubungan rekursi ini didapatkan dengan mengalikan (4.34) dengan π/2x dan mengambil n = l + 1/2.
4.5. Fungsi Bessel Jenis Lain 193
Ekspresi asimtotik dari j (2) l ,n l ,h l dan h l menarik untuk dipelajari. Dalam daerah asimptotik, suku 1/x lebih dominan jika dibandingkan suku-suku yang lain. Karena j 0 (x) = (1/x) sin x
sehingga untuk l = 0 dan l = 1, secara asimptotik kita dapat menuliskan
Untuk orde l yang lebih tinggi dapat diperoleh dari hubungan rekursi (4.58) yaitu
1 (l − 1)π lim j l+1 (x) = lim
x→∞ [−j l−1 (x)] → −
2 Sehingga untuk tiap bilangan bulat l, secara asimptotik
1 lπ
j l (x) → sin x−
Dengan cara yang sama, kita dapat menunjukkan secara asimptotik
1 lπ n l (x) → − cos x−
untuk semua l. Lebih dari itu,
2 Ekspresi asimtotik ini sangat berguna ketika kita mempelajari hamburan. Kita juga harus mengatakan bahwa dari j 0 (x), j 1 (x) dan (4.58), dengan menggu-
nakan induksi matematika, kita bisa memperoleh
dan dengan cara yang sama
yang dikenal sebagai persamaan Rayleigh.
4. Fungsi Bessel dan Polinomial Legendre