Fungsi Bessel Jenis Lain

4.5 Fungsi Bessel Jenis Lain

4.5.1 Fungsi Bessel Termodifikasi

Selain persamaan Bessel dengan orde n, kita juga sering menemui persamaan Bessel yang termodifikasi

x 2 y ′′ + xy ′

−x 2 +n 2 y = 0.

Satu-satunya perbedaan dengan persamaan Bessel biasa adalah tanda minus di depan suku x 2 yang kedua. Jika kita mengubah x menjadi ix maka persamaan ini kembali menjadi persamaan Bessel. Sehingga J n (ix) dan N n (ix) juga merupakan solusi dari persamaan ini.

Sekarang kita definisikan

I n (x) = i −n J n (ix),

sebagai fungsi Bessel jenis pertama. Karena

(−1) 2k+n ix

J n (ix) = ,

k=0 k!Γ (k + n + 1) 2

fungsi Bessel termodifikasi I n (x)

1 ∞ X 1 2k+n

I n (x) =

i n J n (ix) = k=0 k!Γ (k + n + 1) 2

merupakan fungsi riil dan naik secara monotonik.

4. Fungsi Bessel dan Polinomial Legendre

Gambar 4.4: Fungsi Bessel termodifikasi

Fungsi Bessel termodifikasi jenis kedua biasanya didefinisikan sebagai K n (x)

n (x) = i

n+1

H n (1) (ix) = i n+1 [J n (ix) + iN n (ix)].

Fungsi ini tidak memiliki nilai nol ganda/berulang dan bukan merupakan fungsi or- togonal. Fungsi ini bisa kita bandingkan dengan sinh(x) = −i sin(ix) dan cosh(x) = cos(ix). Dengan analogi ini I n (x) dan K n (x) juga sering disebut fungsi Bessel hiper- bolik. Faktor i dimasukkan agar nilainya menjadi riil. Tiga buah nilai pertama dari

I n (x) dan K n (x) diperlihatkan pada Gambar 4.4. Perhatikan bahwa fungsi Bessel termodifikasi pertama I n (x) berperilaku baik pada titik asal tetapi divergen pada tak hingga. Sedangakan fungsi Bessel termodifikasi jenis kedua K n (x) divergen pada titik asal dan berperilaku baik pada tak hingga.

4.5.2 Fungsi Bessel Sferis

Persamaan

(4.56) dengan l bilangan bulat, bisa kita temui dalam suku radial persamaan gelombang

x 2 y ′′ + 2xy ′ + x 2 − l(l + 1) y=0

dalam koordinat bola. Persamaan ini dinamakan sebagai persamaan Bessel sferis ka- rena dapat ditransformasikan ke dalam persamaan Bessel dengan mengubah variabel. Ambil

y=

z(x).

(x) 1/2

4.5. Fungsi Bessel Jenis Lain 191

Dengan mensubstitusikan pada (4.56) dan mengalikannya dengan x 1/2 kita mempero- leh

jelas bahwa (4.57) merupakan fungsi Bessel dengan orde l + 1/2 sehingga

z(x) = C 1 J l+1/2 (x) + C 2 J −(l+1/2) (x),

dan

y(x) = C 1 J l+1/2 (x) + C 2 J −(l+1/2) (x).

Dua buah solusi linier yang saling bebas dikenal sebagai fungsi Bessel sferis j l (x) dan fungsi Neumann sferis n l (x) yang masing-masing didefinisikan sebagai berikut

j l (x) =

J l+1/2 (x),

2x r π

n l (x) =

N l+1/2 (x).

2x

Karena cos[(l + 1/2)π]J l+1/2 (x) − J −(l+1/2) (x)

N l+1/2 (x) =

sin[(l + 1/2)π] = (−1) l+1 J −(l+1/2) (x)

sehingga n l (x) dapat dituliskan sebagai

l (x) = (−1)

l+1

J 2x −(l+1/2) (x).

Fungsi Hankel sferis didefinisikan sebagai

h (1)

(x) = j l (x) + in l (x),

h (2)

(x) = j l (x) − in l (x).

4. Fungsi Bessel dan Polinomial Legendre

Semua fungsi ini bisa dinyatakan dalam bentuk fungsi dasar tertutup. Dalam (4.27) dan (4.28), kita telah membuktikan bahwa

J (1/2) (x) =

sin x,

J −(1/2) (x) =

cos x.

πx Dan dengan hubungan rekursi (4.34)

(x) − J n−1 (x),

kita dapat memperoleh semua fungsi Bessel untuk bilangan pecahan setengah. Sebagai contoh untuk n = 1/2, kita mempunyai

J (3/2) (x) = J (1/2) (x) − J

Dengan n = −1/2 kita peroleh

J (1/2) (x) = − J

x −(1/2) (x) − J −(3/2) (x),

atau

J −(3/2) (x) = − J −(1/2) (x) − J (1/2) (x)

J (1/2) (x) = sin x, 2x

j 1 (x) =

J (3/2) (x) = 2x

n 1 (x) = J −(3/2) (x) = − 2 cos x − sin x.

2x

Fungsi Bessel sferis dengan orde yang lebih tinggi dapat dibentuk dengan menggunak- an hubungan rekursi

dengan f (2) l yang dapat berupa j l ,n l ,h p l dan h l . Hubungan rekursi ini didapatkan dengan mengalikan (4.34) dengan π/2x dan mengambil n = l + 1/2.

4.5. Fungsi Bessel Jenis Lain 193

Ekspresi asimtotik dari j (2) l ,n l ,h l dan h l menarik untuk dipelajari. Dalam daerah asimptotik, suku 1/x lebih dominan jika dibandingkan suku-suku yang lain. Karena j 0 (x) = (1/x) sin x

sehingga untuk l = 0 dan l = 1, secara asimptotik kita dapat menuliskan

Untuk orde l yang lebih tinggi dapat diperoleh dari hubungan rekursi (4.58) yaitu

1 (l − 1)π lim j l+1 (x) = lim

x→∞ [−j l−1 (x)] → −

2 Sehingga untuk tiap bilangan bulat l, secara asimptotik

1 lπ

j l (x) → sin x−

Dengan cara yang sama, kita dapat menunjukkan secara asimptotik

1 lπ n l (x) → − cos x−

untuk semua l. Lebih dari itu,

2 Ekspresi asimtotik ini sangat berguna ketika kita mempelajari hamburan. Kita juga harus mengatakan bahwa dari j 0 (x), j 1 (x) dan (4.58), dengan menggu-

nakan induksi matematika, kita bisa memperoleh

dan dengan cara yang sama

yang dikenal sebagai persamaan Rayleigh.

4. Fungsi Bessel dan Polinomial Legendre