Ketidakpastian Gelombang

2.9 Ketidakpastian Gelombang

Transformasi Fourier membuat kita bisa memecah gelombang yang rumit bahkan non peridoik dan menjadikannya gelombang sederhana. Cara melakukannya adalah dengan mengasumsikan gelombangnya berupa fungsi periodik dengan periode tertentu yang berhingga. Karena tidak mungkin mengamati gelombang dalam waktu tak berhing-

ga, kita harus melakukan analisis berdasarkan observasi pada waktu yang berhingga. Konsekuensinya, kita tidak bisa yakin 100% dengan karakteristik gelombang tersebut.

Sebagai contoh, sebuah fungsi konstan f (x) tidak memiliki osilasi, sehingga fre- kuensinya nol. Sehingga transformasi Fouriernya b f adalah sebuah fungsi delta pada ω = 0, seperti terlihat pada Gambar 2.2. Tetapi hal ini hanya berlaku untuk sebuah fungsi yang konstan dari −∞ ke ∞. Tetapi tentu kita tidak yakin akan hal ini. Apa yang kita katakan adalah fungsi tersebut konstan pada selang waktu tertentu ∆t. Hal ini direpresentasikan dengan pulsa persegi/kotak pada Gambar 2.4. Di luar selang waktu ini, kita tidak memiliki informasi, sehingga fungsinya kita berikan nilai nol. Transformasi Fourier fungsi ini adalah 2 sin aω/ω. Seperti yang terlihat pada Gam- bar 2.4 terdapat penyebaran frekuensi di sekitar ω = 0. Dengan kata lain terdapat ketidakpastian frekuensi gelombang. Kita dapat mengatakan ketidakpastian dengan mengukur lebar ∆ω dari puncak pusatnya. Dalam contoh ini ∆t = 2a, ∆ω = 2π/a . Menarik untuk memperhatikan bahwa ∆t∆ω = 4π yang merupakan sebuah konstanta. Karena sebuah konstanta, maka nilainya tidak bisa nol, tidak peduli seberapa besar atau kecilnya ∆t. Sehingga akan selalu terdapat derajat ketidakpastian.

Menurut mekanika kuantum, foton atau elektron, dapat kita anggap sebagai ge- lombang. Sebagai gelombang, maka akan terdapat ketidakpastian yang berlaku untuk semua gelombang. Sehingga dalam dunia subatomik, fenomena hanya dapat dideskri- psikan dengan presisi selang yang mengijinkan adanya ketidakpastian gelombang. Hal ini dikenal sebagai prinsip ketidakpastian yang pertama kali dikemukakan oleh Werner Heisenberg.

Dalam mekanika kuantum, jika f (t) fungsi gelombang ternormalisasi, yaitu

Z ∞ |f(t)| 2 dt = 1,

maka nilai ekspektasi ht n i yang didefinisikan sebagai

2 ht n i= |f(t)| t dt.

Ketidakpastian ∆t diberikan oleh “akar rata-rata kuadrat” yaitu

E 1/2

− hti

∆t = t 2 2

2. Transformasi Fourier

Jika b f (ω) adalah transformasi Fourier dari f (t), maka menurut teorema Parseval Z ∞

f (ω) dω = 2π

|f(t)| 2 dt = 2π.

Sehingga nilai ekspektasi dari hω n i diberikan oleh

Dengan cara yang sama ketidakpastian ∆ω adalah

Jika f (t) diberikan oleh fungsi Gaussian ternormalisasi

2a 1/4

f (t) =

exp(−at 2 ),

jelas bahwa hti = 0, karena integran dari 2 −∞ |f(t)| t dt adalah fungsi ganjil, dan ∆t = ht 2 i 1/2 . Dengan definisi

exp(−2at )t dt.

Dengan mengintegralkan parsial, kita bisa memperoleh Z ∞

4a exp(−2at −∞ ) dt −∞ −∞

)t 2 exp(−2at 2 dt = −

4a t exp(−2at )

1/2 Z

4a 2a exp(−u )=

4a 2a Maka

2a 2a 4a Sekarang

b 2a 1/4

f (ω) = F{f(t)} =

exp −

a 4a Sehingga hωi = 0 dan

a(2aπ) 1/2 =a

Maka

2 ∆ω = hω 1/2 i = (a) 1/2

2.10. Latihan 101

Kemudian kita mempunyai

Seperti yang sudah kita diskusikan bahwa apabila variabel t (merepresentasikan waktu) kita ganti dengan variabel x (merepresentasikan jarak), frekuensi sudut ω kita ganti dengan bilangan gelombang k. Hubungan ini bisa kita tuliskan sebagai

1 ∆x · ∆k = .

Dua buah hubungan fundamental dalam mekanika kuantum adalah

E = ~ω dan p = ~k,

dengan E adalah energi, p momentum dan ~ adalah konstanta Planck yaitu h/2π. Sehingga ketidakpastian energi adalah ∆E = ~∆ω dan ketidakpastian momentum ∆p = ~∆k. Dengan gelombang Gaussian kita memiliki

∆t · ∆E =

∆x · ∆p = .

Karena tidak ada bentuk fungsi gelombang yang dapat mereduksi ketidakpastian di bawah nilai ini, hubungan ini biasanya dituliskan sebagai

∆t · ∆E ≥ ,

∆x · ∆p ≥ ,

yang merupakan pernyataan formal dari prinsip ketidakpastian dalam mekanika ku- antum.