Sifat-sifat Polinomial Legendre

4.7 Sifat-sifat Polinomial Legendre

4.7.1 Rumus Rodrigues

Polinomial Legendre dapat diringkas dengan rumus Rodrigues

Jelas bahwa rumus ini akan memberikan polinomial berorde l. Kita akan membuk- tikan bahwa polinomial ini adalah polinomial Legendre. Terdapat dua bagian dalam

pembuktian. Pertama kita akan membuktikan bahwa (d l l /dx l )x 2 −1 memenuhi

4.7. Sifat-sifat Polinomial Legendre 203

persamaan Legendre. Kemudian kita akan menunjukkan bahwa P l (1) yang diberikan oleh (4.78) sama dengan 1.

Sebelum kita membuktikan, marilah kita mengingat kembali aturan rantai Leibnitz dalam menurunkan

d k m! d m−k d dx m

A(x)B(x) =

A(x)

B(x)

k=0 k!(m − k)! dx m−k

dx k

d m−1

B(x) + · · · + A(x) B(x) (4.79) dx

m A(x) B(x) + m

m−1 A(x)

Untuk membuktikan bagian pertama (4.78), ambil

2 x l −1 =lx 2 −1 2x = 2lxv.

dx

h Turunkan ruas kiri persamaan ini sebanyak l + 1 kali dengan aturan Leibnitz dengan

A(x) = dv/dx dan B(x) = x 2 −1 :

+ (l + 1)2x

dx l Turunkan ruas kanan Pers. (4.80) sebanyak l + 1 kali dengan aturan Leibnitz dengan

A(x) = v dan B(x) = 2lx :

d l+1

d l+1 v

l+1 2lvx = 2lx dx l+1 dx + (l + 1)2l dx l ,

kita mempunyai

+ (l + 1)2l . dx

l+2 + (l + 1)2x l+1 +

= 2lx

dx l+1 dx l Kita bisa menyederhanakannya

l+2 + 2x dx l+1 dx − l(l + 1) dx l = 0, atau

" l ##

= 0. Jelas bahwa

1−x

+ l(l + 1)

dx

dx dx

dx l

l = dx l x dx −1

4. Fungsi Bessel dan Polinomial Legendre

memenuhi persamaan Legendre. Sekarang jika kita dapat menunjukkan

adalah polinomial Legendre. Dengan menuliskan

dan menggunakan aturan Leibnitz A(x) = (x + 1) l dan B(x) = (x − 1)

dx (4.81) Perhatikan

dx l−1 (x − 1) = l!(x − 1),

pada x = 1, suku ini nilainya nol. Sepanjang suku (x − 1) l ini diturunkan sebanyak kurang dari l kali, maka hasilnya akan mengandung suku (x − 1). Pada x = 1 nilai turunannya nol. Sehingga semua suku pada ruas kanan Pers. (4.81) nilainya nol pada x = 1 kecuali suku pertama.

yang melengkapi bukti kita.

4.7.2 Fungsi Pembangkit Polinomial Legendre

Kita akan membuktikan identitas yang sangat penting

P n (x)z n , |z| < 1.

1 − 2xz + z

n=0

4.7. Sifat-sifat Polinomial Legendre 205

Keuntungan dari hubungan ini adalah kita meringkas P n menjadi satu buah persa- maan. Hal ini memungkinkan kita untuk mendapatkan polinomial Legendre dengan orde berbeda tanpa mengetahui secara eksplisit bentuknya. Selain aplikasinya dalam fisika, hubungan ini juga banyak dijumpai dalam statistik.

Untuk membuktikan hubungan ini, kita akan menggunakan deret pangkat dengan bentuk

f= √

F n (x)z 2 n .

Selanjutnya kita akan membuktikan bahwa koefisien F n (x) memenuhi persamaan Le- gendre dan juga F n (1) = 1. Hal ini akan memungkinkan kita untuk mengatakan bahwa F n (x) tidak lain adalah P n (x). Sekarang

∂f

(−2z) = zf , (4.84) ∂f

∂x =− 2 1 − 2xz + z

=− 3 1 − 2xz + z (−2x + 2z) = (x − z)f , (4.85) ∂z

f 2 1 − 2xz + z =1−x f + (x − z) f dan

2 2 1−x 3 =1−x zf 3 =z 2 f − (x − z) f

[(x − z)f] .

∂z

Jika kita turunkan kedua ruas terhadap x ∂

[(x − z)f] = −z

∂ = −z 3 f + (x − z)zf

Dengan ekspansi deret dari f , kita mempunyai "

F 2 n z n (x)z , ∂x

1−x 2 F n (x)z n = −z

∂x n=0

∂z

n=0

4. Fungsi Bessel dan Polinomial Legendre

F n (x)(n + 1)nz n−1

n=0

F n (x)(n + 1)nz n .

Sehingga F n (x) memenuhi persamaan Legendre ∂

Selanjutnya untuk x = 1

F (1)z √ n n

Sehingga (4.82) telah terbukti sebagai fungsi pembangkit polinomial Legendre yang dinotasikan sebagai

G(x, z) = √

P n (x)z n .

1 − 2xz + z

n=0

4.7.3 Hubungan Rekursi

Hubungan rekursi berikut sangat bermanfaat dalam menangani polinomial Legendre dan juga turunannya

4.7. Sifat-sifat Polinomial Legendre 207

1. (n + 1)P n+1 (x) − (2n + 1)xP n (x) + nP n−1 (x) = 0.

(4.86) Bukti:

2 −1/2 i

P n (x)z n , ∂z

P n (x)nz n−1 ,

n=0

1 − 2xz + z 2 −1/2

(x − z)

P n (x)nz ,

(x − z) P n (x)z n = 1 − 2xz + z 2 P n (x)nz n−1 ,

n (x)z n −

n (x)z

= nP n (x)z

n−1

2xnP n (x)z n +

nP

n (x)z .

Dengan menyatukan suku-suku, kita mendapatkan

nP (x)z n−1

(n + 1)P (x)z n n+1 − n n = 0.

(2n + 1)xP (x)z n +

nP n (x)z n−1 =

nP n (x)z n−1 =

(n + 1)P n+1 (x)z n

(n + 1)P n (x)z n+1 =

nP n−1 (x)z n =

nP n−1 (x)z n ,

X ∞ [(n + 1)P n+1 (x) − (2n + 1)xP n (x) + nP

(x)] z n−1 n = 0.

n=0

Maka

n−1 (x)] . (4.87) Hal ini berarti sepanjang kita mengetahui P n−1 (x) dan P n (x), kita dapat mem-

P n+1 (x) =

[(2n + 1)xP n (x) − nP

n+1

peroleh P n+1 (x).

4. Fungsi Bessel dan Polinomial Legendre

2. nP n (x) − xP ′

n (x) + P ′

d n−1 (x) = 0, dengan P n (x) =

P n (x). (4.88) dx

Bukti: Dengan menurunkan fungsi pembangkit berturut-turut terhadap z dan x kita mendapatkan

x−z ∞ X

nP n (x)z n−1

(1 − 2xz + z 2 )

n=0

P ′ (x)z n

Dengan mengambil rasionya, kita memiliki

x−z

n=0 nP n (x)z = n−1 P

n=0 P n ′ (x)z n

Dari sini, kita memperoleh

(x − z)

n (x)z =z

nP n (x)z n−1

n=0

n=0

xP n ′ (x)z n −

(x)z

n+1

nP n (x)z n . (4.89)

xP n (x)z =

xP ′ n (x)z n ,

n=0

n=1

karena P 0 ′ (x) = 0 dan

nP n (x)z n

nP n (x)z n ,

n=0

n=1

karena suku pertama n = 0 sama dengan nol. Dengan mudah dibuktikan bahwa

n (x)z

n+1

P ′ n−1 (x)z .

n=0

n=1

Sehingga (4.89) dapat dituliskan

xP ′ n (x) − P ′ n−1 (x) − nP n (x) z n = 0.

n=1

Kita bisa memperoleh

(4.90) Hubungan ini bersama dengan hubungan rekursi (4.86) dapat digunakan untuk

xP ′ n (x) − P ′ n−1 (x) − nP n (x) = 0.

mencari semua turunan polinomial Legendre hanya dengan mengetahui P 0 (x) =

4.7. Sifat-sifat Polinomial Legendre 209

1 dan P 1 (x) = 1. Hubungan yang lain juga dapat dicari dengan menggunakan dua buah hubungan rekursi ini. Sebagai contoh dari (4.87) kita mempunyai

2n + 1 n−1 . Jika kita masukkan pada (4.90)

2n + 1 n−1 −P n−1 − nP jika kita kumpulkan suku-sukunya

kita memperoleh hubungan yang sangat berguna

Persamaan ini memungkinkan kita menghitung integral

2n + 1 n−1 (x) − P n+1 x (x)].

P n (ζ)dζ =

[P

4.7.4 Ortogonalitas dan Normalisasi Polinomial Legendre

Seperti yang sudah kita bahas sebelumnya, persamaan Legendre dengan sendirinya yang berbentuk

termasuk persamaan Sturm-Liouville pada selang −1 ≤ x ≤ 1 dengan fungsi bobot satuan. Persyaratan bahwa solusinya harus terikat (berhingga) pada x = ±1 membuat nilai eigen λ menjadi l(l + 1), dengan l bilangan bulat. Fungsi eigen yang berkaitan dengan nilai eigen tersebut adalah polinomial Legendre P l (x). Karena fungsi eigen dari persamaan Sturm-Liouville haruslah saling tegak lurus dengan fungsi bobot tertentu, maka

P l (x)P l ′ (x)dx = 0, l 6= l ′ .

Perluasan dari sini adalah

Z 1 x n P l (x)dx = 0, n < l,

karena x n dapat dituliskan sebagai kombinasi linier polinomial Legendre dengan orde tertinggi n.

4. Fungsi Bessel dan Polinomial Legendre

Semua fungsi yang berperilaku baik dalam selang −1 ≤ x ≤ 1 dapat diekspansikan dalam deret Fourier-Legendre

f (x) =

a n P n (x),

n=0

dengan

a n = R 1 f (x)P n (x)dx. −1 P n 2 (x)dx −1

Untuk melakukan ekspansi deret ini, kita perlu mengetahui nilai dari integral norma- lisasi

β 2 = P n 2 n (x)dx.

Terdapat banyak cara untuk menghitung integral ini, yang paling sederhana adalah menggunakan (4.91)

[P ′ 2n + 1 n+1 (x) − P ′ n−1 (x)].

Kalikan kedua ruas dengan P n (x) dan integralkan

P 2 n (x)dx =

P n (x)P n+1 ′ (x)dx −

P n (x)P ′ (x)dx .

Integral kedua pada ruas kanan nilainya nol karena P ′ n−1 adalah polinomial dengan orde n − 2. Suku pertama pada ruas kanan bisa dituliskan

P n (x)P n+1 ′

dP n+1 (x)

(x)dx =

P n (x)

dx =

P n (x)dP n+1 (x)

n (x)P n+1 (x)dx]

P n+1 (x)P n (x) dx.

Integral pada suku kedua bernilai nol karena P n ′ (x) adalah polinomial berorde n − 1. Suku yang diintegralkan

[P n (x)P n+1 (x)] 1 −1 =P n (1)P n+1 (1) − P n (−1)P n+1 (−1)

= 1 − (−1) n+1 (−1) = 2.

Sehingga

β 2 n 2 = P 2 n (x)dx. = .

2n + 1