Persoalan Brachistochrone

7.3.1 Persoalan Brachistochrone

Anggap sebuah benda menggelinding dalam sebuah kawat tanpa gesekan seperti pada Gambar 7.2. Kita telah belajar dalam fisika dasar bahwa pada titik (x, y), energi kine-

tik benda tersebut adalah 1 2 mv 2 dan energi potensialnya −mgy, jika kita mengambil

7. Kalkulus Variasi

y = 0 sebagai titik acuan. Karena hukum kekekalan energi, jumlah keduanya harus sama dengan nol

mv 2 − mhy = 0,

karena mula-mula pada (0, 0) baik energi kinetik maupun potensialnya sama dengan nol. Sehingga kecepatan pada titik tersebut adalah

p v= 2gy.

Waktu yang diperlukan dari A ke B adalah

2 ds 2 (dx) + (dy) T=

Pertanyaannya sekarang adalah: bentuk kawat seperti apa agar waktu yang diperlukan dari A ke B paling pendek? Persoalan terkenal ini dinamakan persoalan Brachisto- chrone (dari kata Yunani yang berarti waktu paling pendek).

Gambar 7.2: Persoalan Brachistochrone. Sebuah benda menggelinding dari A menuju B tan- pa gesekan, persoalannya adalah mencari bentuk kawat sehingga waktu yang diperlukan seminimal

mungkin.

Pada 1696, Johann Bernoulli mengusulkan persoalan ini dan mengalamatkan kepa-

da “kepada matematikawan paling cerdas di dunia” dan mengijinkan 6 bulan kepada semua orang untuk memberikan solusinya. Hal ini menandai ketertarikan umum da- lam kalkulus variasi. Lima buah solusi yang benar diberikan oleh Newton, Leibniz, L’Hospital, dirinya, dan saudaranya Jakob Bernoulli. Mereka bekerja dengan metode berbeda dan sampai pada hasil yang sama. Bentuk yang diinginkan adalah siklo- id, kurva yang dilewati sebuah titik pada pinggiran ban ketika menggelinding pada permukaan mendatar.

Kita dapat menjawab pertanyaan ini dengan meminimalkan integral (7.15). Ka- rena integrannya tidak bergantung eksplisit pada x, persamaan Euler-Lagrangenya

7.3. Solusi Persoalan Terkenal 377

dapat dituliskan dalam bentuk (7.9)

Kuadratkan kedua ruas

Dengan y ′

dy =

, persamaan ini dapat dituliskan sebagai dx

s 1−c 2 y

dy = dx.

Untuk mencari y(x), kita harus mengintegralkan kedua ruas persamaan. Kita dapat melakukan integrasi dengan perubahan variabel. Misalkan

sin θdθ.

2c 2

Karena

cos θ = cos 2 = cos 2 − sin 2

sin θ = sin 2 = 2 sin cos ,

7. Kalkulus Variasi

kita dapat menuliskan

Jadi s

c 2 cos (θ/2)

Kurvanya melalui (0, 0), yaitu ketika x = 0, y juga harus bernilai nol. Tetapi, dengan (7.16), y = (1 − cos θ)/2c 2 , sehingga ketika y = 0, θ harus sama dengan nol. Jadi x = θ = 0 haruslah memenuhi persamaan di atas. Sehingga c ′ = 0. Konstanta sisanya ditentukan oleh syarat bahwa kurva haruslah melalui titik ujung lainnya.

Sebagai hasilnya, kurva diberikan oleh persamaan parametrik:

Persamaan ini adalah persamaan sebuah sikloid yang dapat dilihat sebagai berikut. Misalkan sebuah lingkaran berjari-jari r menggelinding sepanjang sumbu−x seperti Gambar 7.3. Titik asal dipilih sedemikian rupa sehingga titik P bersinggungan dengan sumbu−x pada titik asal. Ketika lingkaran sudah bergerak sebesar sudut θ radian, maka titik P tersebut telah bergerak sejauh OC = rθ dari titik asal seperti Gambar

7.3. Sehingga pusat lingkaran berada pada titik (rθ, r). Jelas dari gambar bahwa koordinat x dari P adalah

x = rθ + r cos θ = rθ + r cos

2 = rθ − r sin θ = r (θ − sin θ)

7.3. Solusi Persoalan Terkenal 379

Gambar 7.3: Sikloid. Kurva yang dilalui oleh titik P pada sebuah lingkaran ketika lingkaran menggelinding pada sumbu−x.

dan koordinat y−nya

Jadi solusi persoalan Brachistochrone adalah sebuah sikloid, karena persamaan pa- rametrik untuk kurva yang diharapkan identik dengan dua buah persamaan terakhir

dengan r = 1/2c 2 . Perhatikan bahwa, karena kita mengambil arah y ke bawah ada- lah positif, lingkaran yang membangkitkan sikloid menggelinding sepanjang sumbu−x bagian bawah.

Lintasan minimum yang tepat diberikan oleh Gambar 7.2. Hal ini mengejutk- an bahwa berjalan ke dasar kurva kemudian kembali ke B lebih cepat dibandingkan dengan menuruni garis lurus dari A ke B.